1- On $a: U_0=0$ et $U_{n+1}=\frac{U_n-1}{U_n+3}$

Donc: $U_1=\frac{U_0-1}{U_0+3}=-\frac{1}{3}$

$U_2=\frac{U_1-1}{U_1+3}=\frac{-\frac{4}{3}}{\frac{8}{3}}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$

2-a- On a:

$\begin{aligned}(\forall n \in \mathbb{N}) ; U_{n+1}+1 & =\frac{U_n-1}{U_n+3}+1 \\ & =\frac{U_n-1+U_n+3}{U_n+3} \\ & =\frac{2 U_n+2}{U_n+3}=\frac{2\left(U_n+1\right)}{U_n+3}\end{aligned}$

b- Pour $n=0$, on a $U_0=0$; donc $U_0>-1$

Supposons que: $U_n>-1$

et montrons que: $U_{n+1} \geqslant-1$

On a $U_{n+1}+1=\frac{2\left(U_n+1\right)}{U_n+3}$

et puis que: $\quad U_n>-1$

Alors: $U_n+1>0$ et $U_n+3>2>0$

Donc $U_{n+1}+1>0$ alors $U_{n+1}>-1$

Par la suite: $\quad(\forall n \in \mathbb{N}) ; U_n>-1$

c- $(\forall n \in \mathbb{N})$ on $a: U_{n+1}-U_n=\frac{U_n-1}{U_n+3}-U_n$

$\begin{aligned} & =\frac{U_n-1-U_n\left(U_n+3\right)}{U_n+3} \\ & =\frac{U_n-1-U_n^2-3 U_n}{U_n+3} \\ & =\frac{-U_n^2-2 U_n-1}{U_n+3}=-\frac{\left(U_n+1\right)^2}{U_n+3}\end{aligned}$

d- Puisque $U_{n+1}-U_n=-\frac{\left(U_n+1\right)^2}{U_n+3}$ et $U_n+3>0$

et $\left(U_n+1\right)^2>0$ alors $U_{n+1}-U_n<0$

D'où la suite $\left(U_n\right)_n$ est décroissante ; et puis qu'elle est minorée par $-1$; alors elle est convergente.

3-a- On a $V_n=\frac{U_n+2}{U_n+1} ;$ donc $V_0=\frac{U_0+2}{U_0+1}=2$

b- On a: $\quad(\forall n \in \mathbb{N}) ; V_{n+1}=\frac{U_{n+1}+2}{U_{n+1}+1}$

et puis que : $U_{n+1}+1=\frac{2\left(U_n+1\right)}{U_n+3}$

et $\quad U_{n+1}+2=\frac{2\left(U_n+1\right)}{U_n+3}+1$

                    $=\frac{2 U_n+2+U_n+3}{U_n+3}=\frac{3 U_n+5}{U_n+3}$

alors: $\quad V_{n+1}=\frac{3 U_n+5}{2\left(U_n+1\right)}$

c- On a: $V_{n+1}-V_n=\frac{3 U_n+5}{2\left(U_n+1\right)}-\frac{U_n+2}{U_n+1}$

$\begin{aligned} & =\frac{3 U_n+5-2\left(U_n+2\right)}{2\left(U_n+1\right)} \\ & =\frac{U_n+1}{2\left(U_n+1\right)}=\frac{1}{2}\end{aligned}$

D'où la suite $\left(V_n\right)_n$ est arithmétique de raison $r=\frac{1}{2}$$

d- On a:

$(\forall n \in \mathbb{N}) ; V_n=V_0+r n=2+\frac{1}{2} n=\frac{4+n}{2}$

4-a- On a $\quad(\forall n \in \mathbb{N}) ; V_n=\frac{U_n+2}{U_n+1}$

$\begin{aligned} & \Leftrightarrow V_n\left(U_n+1\right)=U_n+2 \\ & \Leftrightarrow V_n \cdot U_n+V_n=U_n+2 \\ & \Leftrightarrow V_n \cdot U_n-U_n=-V_n+2 \\ & \Leftrightarrow U_n\left(V_n-1\right)=-V_n+2 \\ & \Leftrightarrow U_n=\frac{-V_n+2}{V_n-1}\end{aligned}$     $(cqfd)$

b- On a: $V_n=\frac{4+n}{2}$ et $U_n=\frac{-V_n+2}{V_n-1}$

Donc: 

$$(\forall n \in \mathbb{N}) ; U_n=\frac{-\frac{4+n}{2}+2}{\frac{4+n}{2}-1}=\frac{-4-n+4}{4+n-2}$$

                            $=\frac{-n}{n+2}$

c- On a $\quad a: U_n=\frac{-n}{n+2} \quad ;$ donc:

$\lim _{n \rightarrow+\infty} U_n=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{-n}{n+2}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{-n}{n\left(1+\frac{2}{n}\right)}$

                              $=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{-1}{1+\frac{2}{n}}=-1 \quad\left(\right.$ car $\left.\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{2}{n}=0\right)$