1 ) Pour $n=0$ on a $: U_{0}=1<2$

Donc la relation est correcte pour $n=0$

Pour tout $\mathrm{n}$ de $\mathbb{N}$ on suppose que $u_{n}<2$ et on montre que $u_{n+1}<2$

$\begin{aligned} u_{n+1}-2 &=\frac{3 U_{n}-8}{2 U_{n}-5}-2 \\ &=\frac{3 U_{n}-8-4 U_{n}+10}{2 U_{n}-5} \\ &=\frac{2-U_{n}}{2 U_{n}-5} \end{aligned}$

Puisque $~U_{n}<2~$ Donc $~-U_{n}+2>0$

Puisque $~2 U_{n}<4 ~$ Donc $~2 U_{n}-5<-1$

Donc $~u_{n+1}<2$

- Donc par récurrence et pour tout $n$ de $\mathbb{ N}$ on déduit : $u_{n}<2$

2) a) on a :

$\begin{aligned} V_{n+1}-V_{n} &=\frac{U_{n+1}-3}{U_{n+1}-2}-\frac{U_{n}-3}{U_{n}-2} \\[0.2cm] &=\frac{\frac{3 U_{n}-8}{2 U_{n}-5}-3}{\frac{3 U_{n}-8}{2 U_{n}-5}-2}-\frac{U_{n}-3}{U_{n}-2} \\[0.2cm] &=\frac{\frac{3 U_{n}-8-6 U_{n}+15}{2 U_{n}-5}}{\frac{3 U_{n}-8-4 U_{n}+10}{2 U_{n}-5}}-\frac{U_{n}-3}{U_{n}-2} \\[0.2cm] &=\frac{7-3 U n}{2-U_{n}}-\frac{3-U_{n}}{2-U_{n}} \\[0.2cm] &=\frac{7-3 U_{n}-3+U_{n}}{2-U_{n}} \\[0.2cm] &=\frac{4-2 U n}{2-U n}\\[0.2cm] &=\frac{2(2-U n)}{(2-U n)}=2 \end{aligned}$

Donc on déduit que $\left(v_{n}\right)$  est une suite arithmétique de raison $2$  

2) b) puisque $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $2$ donc :

$V_{n}=V_{0}+n r$

On a $V_{0}=\frac{U_{0}-3}{U_{0}-2}=\frac{1-3}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2$

Donc $V_{n}=2+2 n$

Et on a :

$\begin{aligned} &V_{n}=\frac{U_{n}-3}{U_{n}-2} \\[0.2cm]& V_{n}\left(U_{n}-2\right)=U_{n}-3 \\[0.2cm]& V_{n} U_{n}-U_{n}=2 V_{n}-3 \\[0.2cm]& U_{n}=\frac{2 V_{n}-3}{V_{n}-1} \\[0.2cm] &U_{n}=\frac{2(2+2 n)-3}{2+2 n-1} \\[0.2cm] & U_{n}=\frac{4+4 n-3}{2 n+1} \end{aligned}$

Donc $U_{n}=\frac{4 n+1}{2 n+1}$

2) c)

$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} U_{n}=\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \frac{4 n+1}{2 n+1}$

$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} U_{n}=\frac{4 n}{2 n}=2$