1 ) Pour $$n=0$$ on a $$: U_{0}=1<2$$
Donc la relation est correcte pour $$n=0$$
Pour tout $$\mathrm{n}$$ de $$\mathbb{N}$$ on suppose que $$ u_{n}<2 $$ et on montre que $$u_{n+1}<2 $$
$$ \begin{aligned} u_{n+1}-2 &=\frac{3 U_{n}-8}{2 U_{n}-5}-2 \\ &=\frac{3 U_{n}-8-4 U_{n}+10}{2 U_{n}-5} \\ &=\frac{2-U_{n}}{2 U_{n}-5} \end{aligned} $$
Puisque $~U_{n}<2~$ Donc $~-U_{n}+2>0 $
Puisque $~2 U_{n}<4 ~$ Donc $~2 U_{n}-5<-1 $
Donc $~u_{n+1}<2$
- Donc par récurrence et pour tout $n $ de $\mathbb{ N}$ on déduit : $$u_{n}<2 $$
2) a) on a :
$$ \begin{aligned} V_{n+1}-V_{n} &=\frac{U_{n+1}-3}{U_{n+1}-2}-\frac{U_{n}-3}{U_{n}-2} \\[0.2cm] &=\frac{\frac{3 U_{n}-8}{2 U_{n}-5}-3}{\frac{3 U_{n}-8}{2 U_{n}-5}-2}-\frac{U_{n}-3}{U_{n}-2} \\[0.2cm] &=\frac{\frac{3 U_{n}-8-6 U_{n}+15}{2 U_{n}-5}}{\frac{3 U_{n}-8-4 U_{n}+10}{2 U_{n}-5}}-\frac{U_{n}-3}{U_{n}-2} \\[0.2cm] &=\frac{7-3 U n}{2-U_{n}}-\frac{3-U_{n}}{2-U_{n}} \\[0.2cm] &=\frac{7-3 U_{n}-3+U_{n}}{2-U_{n}} \\[0.2cm] &=\frac{4-2 U n}{2-U n}\\[0.2cm] &=\frac{2(2-U n)}{(2-U n)}=2 \end{aligned} $$
Donc on déduit que $\left(v_{n}\right) $ est une suite arithmétique de raison $$2 $$
2) b) puisque $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $2$ donc :
$$ V_{n}=V_{0}+n r $$
On a $$ V_{0}=\frac{U_{0}-3}{U_{0}-2}=\frac{1-3}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2 $$
Donc $$ V_{n}=2+2 n $$
Et on a :
$$ \begin{aligned} &V_{n}=\frac{U_{n}-3}{U_{n}-2} \\[0.2cm]& V_{n}\left(U_{n}-2\right)=U_{n}-3 \\[0.2cm]& V_{n} U_{n}-U_{n}=2 V_{n}-3 \\[0.2cm]& U_{n}=\frac{2 V_{n}-3}{V_{n}-1} \\[0.2cm] &U_{n}=\frac{2(2+2 n)-3}{2+2 n-1} \\[0.2cm] & U_{n}=\frac{4+4 n-3}{2 n+1} \end{aligned} $$
Donc $$ U_{n}=\frac{4 n+1}{2 n+1} $$
2) c)
$$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} U_{n}=\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \frac{4 n+1}{2 n+1} $$
$$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} U_{n}=\frac{4 n}{2 n}=2 $$
