1 .a) On a :
AB(3−1;−1−2;6−2)AB(2;−3;4)AC(1−1;1−2;3−2)AC(0;−1;1)
Donc :
AB∧AC=⎝⎛2−34⎠⎞∧⎝⎛0−11⎠⎞=∣∣−34−11∣∣−∣∣2401∣∣+∣∣2−30−1∣∣k=(−3+4)−(2−0)+(−2+0)k=−2−2k
Donc on déduit que AB∧AC=i−2j−2k
1 .b) On sait que l'équation d'un plan est de la forme: ax+by+cz+d=0
On a le vecteur
AB∧AC(1,−2,−2) est un vecteur normal au plan (ABC)
donc l'équation du plan (ABC) est de la forme :
(ABC):x−2y−2z+d=0
Puisque : A(1;2;2)∈(ABC)
Donc : 1−2×2−2×2+d=0
d=7
Donc on déduit que x−2y−2z+7=0 est une équation cartésienne du plan (ABC)
2 . On a :
M∈(S)⇔ME⋅MF=0⇔⎝⎛x−5y−1z−4⎠⎞⋅⎝⎛x+1y−1z−12⎠⎞=0⇔ (x−5)(x+1)+(y−1)(y−1)+(z−4)(z−12)=0⇔x2−4x−5+y2−2y+1+z2−16z+48=0⇔x2−4x+y2−2y+z2−16z+44=0⇔(x−2)2−4+(y−1)2−1+(z−8)2−64+44=0⇔(x−2)2+(y−1)2+(z−8)2−25=0⇔(x−2)2+(y−1)2+(z−8)2=25
On déduit que (S) est la sphère de centre Ω(2,1,8) et de rayon R=5
3 .a) on a :
d(Ω;(ABC))=a2+b2+c2∣axΩ+byΩ+czΩ+d∣d(Ω;(ABC))=12+(−2)2+(−2)2∣1×2−2×1−2×8+7∣d(Ω;(ABC))=9∣−9∣=39=3
3 .b) puisque d(Ω;(ABC))<R ,
Donc le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle (Γ)
Et on a : r=R2−d2=25−9=4