1 .a) On a :
$$ \begin{array}{l} \overrightarrow{A B}(3-1 ;-1-2 ; 6-2) \\ \overrightarrow{A B}(2 ;-3 ; 4) \\ \overrightarrow{A C}(1-1 ; 1-2 ; 3-2) \\ \overrightarrow{A C}(0 ;-1 ; 1) \end{array} $$
Donc :
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C} &=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \\ &=\left|\begin{array}{cc} -3 & -1 \\ 4 & 1 \end{array}\right| \vec{\imath}-\left|\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{array}\right| \vec{\jmath}+\left|\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ -3 & -1 \end{array}\right| \vec{k} \\ &=(-3+4) \vec{\imath}-(2-0) \vec{\jmath}+(-2+0) \vec{k} \\ &=\vec{\imath}-2 \vec{\jmath}-2 \vec{k} \end{aligned} $$
Donc on déduit que $$ \overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=\vec{i}-2 \vec{j}-2 \vec{k} $$
1 .b) On sait que l'équation d'un plan est de la forme: $$\quad a x+b y+cz+d=0$$
On a le vecteur
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{A C}}(1,-2,-2)$$ est un vecteur normal au plan $$(\mathrm{ABC})$$
donc l'équation du plan $( \mathrm{ABC} )$ est de la forme :
$$ (A B C): x-2 y-2 z+d=0 $$
Puisque : $$ A(1 ; 2 ; 2) \in(A B C) $$
Donc : $$1-2 \times 2-2 \times 2+d=0 $$
$$d=7 $$
Donc on déduit que $$x-2 y-2 z+7=0$$ est une équation cartésienne du plan $$(A B C) $$
2 . On a :
$$ \begin{aligned} M \in(S) &\Leftrightarrow \overrightarrow{M E} \cdot \overrightarrow{M F}=0 \\ &\Leftrightarrow\left(\begin{array}{c} x-5 \\ y-1 \\ z-4 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} x+1 \\ y-1 \\ z-12 \end{array}\right)=0 \\ &\Leftrightarrow (x-5)(x+1)+(y-1)(y-1)+(z-4)(z-12)=0 \\ &\Leftrightarrow x^{2}-4 x-5+y^{2}-2 y+1+z^{2}-16 z+48=0 \\ &\Leftrightarrow x^{2}-4 x+y^{2}-2 y+z^{2}-16 z+44=0 \\ &\Leftrightarrow (x-2)^{2}-4+(y-1)^{2}-1+(z-8)^{2}-64+44=0 \\ &\Leftrightarrow (x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-8)^{2}-25=0 \\ &\Leftrightarrow (x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-8)^{2}=25 \end{aligned} $$
On déduit que $(S)$ est la sphère de centre $\Omega(2,1,8)$ et de rayon $$R=5 $$
3 .a) on a :
$$ \begin{array}{l} d(\Omega ;(\mathrm{ABC}))=\frac{\left|a x_{\Omega}+b y_{\Omega}+c z_{\Omega}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \\[0.2cm] d(\Omega ;(\mathrm{ABC}))=\frac{|1 \times 2-2 \times 1-2 \times 8+7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+(-2)^{2}}} \\[0.2cm] d(\Omega ;(\mathrm{ABC}))=\frac{|-9|}{\sqrt{9}}=\frac{9}{3}=3 \end{array} $$
3 .b) puisque $$ d(\Omega ;(\mathrm{ABC}))<R $$ ,
Donc le plan $(A B C)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle $$(\Gamma) $$
Et on a : $$~ r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}=\sqrt{25-9}=4 $$
