1 .a) On a :
$M(x, y, z) \in(S) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-2 z-1=0$
$ \Leftrightarrow x^{2}-2 x+y^{2}-2 y+z^{2}-2 z=1 $
$\Leftrightarrow x^{2}-2(1) x+(1)^{2}+ y^{2}-2(1) y+(1)^{2}+z^{2}-2(1) z+(1)^{2}=1+(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}$
$\Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=4$
$\Leftrightarrow (x-(1))^{2}+(y-(1))^{2}+(z-(1))^{2}=(2)^{2}$
Donc: la sphère $(S)$ a pour centre le point $\Omega(1,1,1)$ et pour rayon $2$
1 .b) on a :
$$ d(\Omega,(P))=\frac{|(1)-(1)|}{\sqrt{(0)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}}}=0 $$
$$ \begin{array}{l} \text { puisque: }~ \mathrm{d}(\Omega, \mathrm{P})<\mathrm{R}(\mathrm{R}=2) \\[0.2cm] \text { alors : le plan} (P) \text{coupe la sphère} (S) \text{suivant un cercle} (C) \end{array} $$
1 .c) puisque: $$~\mathrm{d}(\Omega, \mathrm{P})=0$$
alors: le plan $$\mathrm{P}$$ coupe la sphère $(S)$ suivant un grand cercle $(C)$.
Le centre du grand cercle $(C)$ est la projection orthogonale du point $$\Omega$$ (centre de la sphère $(S)$) sur le plan $$(P)$$ c'est le point $$\Omega(1,1,1)$$ car $$(\Omega \in(\mathrm{P}))$$.
Le rayon du grand cercle (C):
$$r=\sqrt{R^{2}-d^{2}(\Omega,(P))}=\sqrt{2^{2}-0^{2}}=2$$.
On conclue: la cercle $(C)$ a pour centre le point $$\Omega(1,1,1)$$ et pour rayon $$2$$.
2 .a) on a le plan $$(P)$$ d'équation $$y-z=0$$.
d' où: $$\vec{u}(0,1,-1)$$ est un vecteur normal du plan $$(P)$$.
on a aussi:
$$(\Delta)$$ orthogonale au plan $$(P)$$.
Donc: $$\vec{u}(0,1,-1)$$ est un vecteur directeur de la droite $$(\Delta)$$.
2 .b)
on a: $\Omega(1,1,1) \mathrm{~A}(1,-2,2) \rightarrow \overrightarrow{\Omega A}(0,-3,1) $ et $\vec{u}(0,1,-1)$
d' où: $ \overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}=\left|\begin{array}{cc} -3 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right| \vec{i}-\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -3 & 1 \end{array}\right| \vec{k}=2 \cdot \vec{i}$
Alors: $|| \overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u} \|=2 $
puisque: $\|\vec{u}\|=\sqrt{(0)^{2}+(1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} $
Donc: $|| \overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|=\sqrt{2}|| \vec{u}\| $
On a: $d(\Omega, \Delta)=\frac{\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$
puisque: $|| \overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|=\sqrt{2}\| \vec{u} \| $
Alors: $d(\Omega, \Delta)=\sqrt{2}$
d'où $\mathrm{d}(\Omega, \Delta)<\mathrm{R}(\mathrm{R}=2)$
Donc: la droite $(\Delta)$ coupe la sphère $(S)$ en deux points d'intersection.
Donc on déduit que la droite $(\Delta)$ coupe la sphère $(S)$ en deux points.
2 .c) on a : une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ :
$$\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2+t ~(\text { avec } ~t \in \mathbb{R}) \\ z=2-t\end{array}\right.$$
Déterminons les coordonnées du point $$M$$ d'intersection de la droite $$(\Delta)$$ et de la sphère $$(\mathrm{S})$$.
On remplace les inconnues $$x, y$$ et $$z$$ de l'équation de la sphère (S) par celles de la droite $$(\Delta)$$.
On trouve:
$$t^{2}-4 t+3=0$$. en effet: $$\Delta=4$$
d' où: $$t=1$$ ou $$t=3$$.
alors:
pour $$\mathrm{t}=1$$
$$\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2+1=-1 \\ z=2-1=1\end{array}\right.$$ pour $$t=3$$ $$\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2+3=1 \\ z=2-3=-1\end{array}\right.$$
Donc:
$$(\Delta) \cap(S)=\left\{A_{1}(1,-1,1) ; A_{2}(1,1,-1)\right\}$$.
