1 .a) On a :

$M(x, y, z) \in(S)  \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-2 z-1=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-2 x+y^{2}-2 y+z^{2}-2 z=1$

$\Leftrightarrow x^{2}-2(1) x+(1)^{2}+ y^{2}-2(1) y+(1)^{2}+z^{2}-2(1) z+(1)^{2}=1+(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}$

$\Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=4$

$\Leftrightarrow (x-(1))^{2}+(y-(1))^{2}+(z-(1))^{2}=(2)^{2}$

Donc: la sphère $(S)$ a pour centre le point $\Omega(1,1,1)$ et pour rayon $2$

1 .b) on a :

$d(\Omega,(P))=\frac{|(1)-(1)|}{\sqrt{(0)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}}}=0$

$\begin{array}{l} \text { puisque: }~ \mathrm{d}(\Omega, \mathrm{P})<\mathrm{R}(\mathrm{R}=2) \\[0.2cm] \text { alors : le plan} (P) \text{coupe la sphère} (S) \text{suivant un cercle} (C) \end{array}$  

1 .c) puisque: $~\mathrm{d}(\Omega, \mathrm{P})=0$

alors: le plan $\mathrm{P}$ coupe la sphère $(S)$ suivant un grand cercle $(C)$.  

Le centre du grand cercle $(C)$ est la projection orthogonale du point $\Omega$ (centre de la sphère $(S)$) sur le plan $(P)$ c'est le point $\Omega(1,1,1)$ car $(\Omega \in(\mathrm{P}))$. 

Le rayon du grand cercle (C):

$r=\sqrt{R^{2}-d^{2}(\Omega,(P))}=\sqrt{2^{2}-0^{2}}=2$.  

On conclue: la cercle $(C)$ a pour centre le point $\Omega(1,1,1)$ et pour rayon $2$. 

2 .a) on a le plan $(P)$ d'équation $y-z=0$. 

d' où: $\vec{u}(0,1,-1)$ est un vecteur normal du plan $(P)$. 

on a aussi:

$(\Delta)$ orthogonale au plan $(P)$. 

Donc: $\vec{u}(0,1,-1)$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.  

2 .b)

on a: $\Omega(1,1,1) \mathrm{~A}(1,-2,2) \rightarrow \overrightarrow{\Omega A}(0,-3,1)$ et $\vec{u}(0,1,-1)$

d' où: $\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}=\left|\begin{array}{cc} -3 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right| \vec{i}-\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -3 & 1 \end{array}\right| \vec{k}=2 \cdot \vec{i}$

Alors: $|| \overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u} \|=2$

puisque: $\|\vec{u}\|=\sqrt{(0)^{2}+(1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$

Donc: $|| \overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|=\sqrt{2}|| \vec{u}\|$

On a: $d(\Omega, \Delta)=\frac{\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$

puisque: $|| \overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|=\sqrt{2}\| \vec{u} \|$

Alors: $d(\Omega, \Delta)=\sqrt{2}$

d'où $\mathrm{d}(\Omega, \Delta)<\mathrm{R}(\mathrm{R}=2)$

Donc: la droite $(\Delta)$  coupe la sphère $(S)$ en deux points d'intersection.   

Donc on déduit que la droite $(\Delta)$ coupe la sphère $(S)$ en deux points.

2 .c) on a : une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ :

$\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2+t ~(\text { avec } ~t \in \mathbb{R}) \\ z=2-t\end{array}\right.$

Déterminons les coordonnées du point $M$ d'intersection de la droite $(\Delta)$ et de la sphère $(\mathrm{S})$.

On remplace les inconnues $x, y$ et $z$ de l'équation de la sphère (S) par celles de la droite $(\Delta)$.

On trouve:

$t^{2}-4 t+3=0$. en effet: $\Delta=4$

d' où: $t=1$ ou $t=3$.

alors:

pour $\mathrm{t}=1$

$\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2+1=-1 \\ z=2-1=1\end{array}\right.$ pour $t=3$ $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2+3=1 \\ z=2-3=-1\end{array}\right.$

Donc:

$(\Delta) \cap(S)=\left\{A_{1}(1,-1,1) ; A_{2}(1,1,-1)\right\}$.