1 .a) Pour $$~ n=0 $$
on a : $$\{\begin{array}{l} u_{0}=2 \\ u_{0}>1 \end{array} $$
Donc la relation est correcte pour $~\mathrm{n}=0$
- Pour tout $n $ de $\mathbb{N}$ on suppose que $ u_{n}>1$ et on montre que $ u_{n+1}>1 $
On a :
$$ U_{n+1}-1=\frac{U_{n}}{16}+\frac{15}{16}-1=\frac{U_{n}}{16}+\frac{15-16}{16}=\frac{U_{n}}{16}-\frac{1}{16}=\frac{1}{16}\left(U_{n}-1\right) $$
On a : $$ ~U_{n}>1 \Rightarrow U_{n}-1>0 $$
Donc : $$ ~U_{n+1}-1>0 \Rightarrow U_{n+1}>1 $$
- Donc on déduit par récurrence que $~u_{n}>1~$ pour tout entier naturel $n$
1 .b) pour tout entier naturel $n$ , on a :
$\begin{aligned} U_{n+1-} U_{n} &=\frac{U_{n}}{16}+\frac{15}{16}-U_{n}=\frac{U_{n}-16 U_{n}}{16}+\frac{15}{16} \\ &=\frac{-15 U_{n}}{16}+\frac{15}{16}=\frac{-15}{16}\left(U_{n}-1\right) \end{aligned} $$
On a : $$~u_{n+1}-u_{n}=-\frac{15}{16}\left(u_{n}-1\right)$$ pour tout entier naturel $$n$$
Et on a trouvé que $$u_{n}>1$$ pour tout entier naturel $$n$$
Et on a : $$ \{\begin{array}{r} u_{n}-1>0 \\ \frac{-15}{16}\left(u_{n}-1\right)<0 \end{array} $$
Donc $$ u_{n+1}-u_{n}<0 $$
Donc on déduit que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. $\\[0.5cm]$
1 .c) On a la suite $(u_{n} )$ est décroissante et minorée par $1$ donc elle est convergente $\\[0.5cm]$
2 .a) pour tout entier naturel $n$ , on a:
$$ \begin{aligned} v_{n+1} &=u_{n+1}-1 \\ =& \frac{1}{16} u_{n}+\frac{15}{16}-1 \\ =& \frac{1}{16} u_{n}-\frac{1}{16} \\ =& \frac{1}{16}\left(u_{n}-1\right) \\ &=\frac{1}{16} v_{n} \end{aligned} $$
Donc on déduit que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $ \frac{1}{16}$
Et on a $$~ v_{n}=v_{0} \times q^{n} $$
Donc : $$~ v_{n}=1 \times\left(\frac{1}{16}\right)^{n} \\[0.5cm]$$
2 .b) pour tout entier naturel $n$ , on a: $$ v_{n}=u_{n}-1 $$
Donc : $$~ u_{n}=v_{n}+1 $$
D’où : $$~ u_{n}=v_{n}+1 $$
Et on a : $$ ~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} U_{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 1+\left(\frac{1}{16}\right)^{n}=1+0=1 $$
Car : $$~ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{16}\right)^{n}=0 $$
Puisque : $$~ -1<\frac{1}{16}<1 $$