1 .a) Pour $~ n=0$

on a : $\{\begin{array}{l} u_{0}=2 \\ u_{0}>1 \end{array}$

Donc la relation est correcte pour $~\mathrm{n}=0$

- Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ on suppose que $u_{n}>1$ et on montre que $u_{n+1}>1$

On a :

$U_{n+1}-1=\frac{U_{n}}{16}+\frac{15}{16}-1=\frac{U_{n}}{16}+\frac{15-16}{16}=\frac{U_{n}}{16}-\frac{1}{16}=\frac{1}{16}\left(U_{n}-1\right)$

On a : $~U_{n}>1 \Rightarrow U_{n}-1>0$

Donc : $~U_{n+1}-1>0 \Rightarrow U_{n+1}>1$

- Donc on déduit par récurrence que $~u_{n}>1~$  pour tout entier naturel $n$ 

 1 .b) pour tout entier naturel $n$ , on a : 

$\begin{aligned} U_{n+1-} U_{n} &=\frac{U_{n}}{16}+\frac{15}{16}-U_{n}=\frac{U_{n}-16 U_{n}}{16}+\frac{15}{16} \\ &=\frac{-15 U_{n}}{16}+\frac{15}{16}=\frac{-15}{16}\left(U_{n}-1\right) \end{aligned}$$

On a : $~u_{n+1}-u_{n}=-\frac{15}{16}\left(u_{n}-1\right)$ pour tout entier naturel $n$

Et on a trouvé que $u_{n}>1$ pour tout entier naturel $n$

Et on a : $\{\begin{array}{r} u_{n}-1>0 \\ \frac{-15}{16}\left(u_{n}-1\right)<0 \end{array}$

Donc $u_{n+1}-u_{n}<0$

Donc on déduit que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. $\\[0.5cm]$

1 .c)  On a la suite $(u_{n} )$ est décroissante et minorée par $1$ donc elle est convergente $\\[0.5cm]$

2  .a) pour tout entier naturel $n$  , on a:

$\begin{aligned} v_{n+1} &=u_{n+1}-1 \\ =& \frac{1}{16} u_{n}+\frac{15}{16}-1 \\ =& \frac{1}{16} u_{n}-\frac{1}{16} \\ =& \frac{1}{16}\left(u_{n}-1\right) \\ &=\frac{1}{16} v_{n} \end{aligned}$

Donc on déduit que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{16}$

Et on a $~ v_{n}=v_{0} \times q^{n}$

Donc : $~ v_{n}=1 \times\left(\frac{1}{16}\right)^{n} \\[0.5cm]$

2 .b) pour tout entier naturel $n$  , on a: $v_{n}=u_{n}-1$

Donc : $~ u_{n}=v_{n}+1$

D’où : $~ u_{n}=v_{n}+1$

Et on a : $~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} U_{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} 1+\left(\frac{1}{16}\right)^{n}=1+0=1$

Car : $~ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{16}\right)^{n}=0$

Puisque : $~ -1<\frac{1}{16}<1$