1-On a E ≠ ∅ ~\mathrm{E} \neq \varnothing~ E = ∅ x = y = 0 ) x=y=0) x = y = 0 )
De plus, pour tout α , β ∈ R \alpha, \beta \in \mathbb{R} α , β ∈ R M ( a , b ) , M ( x , y ) ∈ E \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}),~ \mathrm{M}(x, \mathrm{y}) \in \mathrm{E} M ( a , b ) , M ( x , y ) ∈ E
α M ( a , b ) + β M ( x , y ) = ( α a − 3 α b α b α a ) + ( β x − 3 β y β y β a ) = ( α a + β x − 3 ( α b + β y ) α b + β y α a + β x ) \begin{aligned}\alpha \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b})+\beta \mathrm{M}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) & =\left(\begin{array}{rr}\alpha \mathrm{a} & -3 \alpha \mathrm{b} \\ \alpha \mathrm{b} & \alpha \mathrm{a}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}\beta \mathrm{x} & -3 \beta y \\ \beta \mathrm{y} & \beta \mathrm{a} \end{array}\right) \\& =\left(\begin{array}{lc} \alpha \mathrm{a}+\beta x & -3(\alpha \mathrm{b}+\beta \mathrm{y}) \\ \alpha \mathrm{b}+\beta \mathrm{y} & \alpha \mathrm{a}+\beta x \end{array}\right)\end{aligned} α M ( a , b ) + β M ( x , y ) = ( α a α b − 3 α b α a ) + ( β x β y − 3 β y β a ) = ( α a + β x α b + β y − 3 ( α b + β y ) α a + β x )
Alors: ∀ α , β ∈ R , ∀ M ( a , b ) , M ( x , y ) ∈ E , ~\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \quad \forall \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}), \mathrm{M}(x, \mathrm{y}) \in \mathrm{E}, ∀ α , β ∈ R , ∀ M ( a , b ) , M ( x , y ) ∈ E ,
α M ( a , b ) + β M ( x , y ) = M ( α a + β x ; α b + β y ) ∈ E \alpha \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b})+\beta \mathrm{M}(x, \mathrm{y})=\mathrm{M}(\alpha \mathrm{a}+\beta x ~;~ \alpha \mathrm{b}+\beta \mathrm{y}) \in \mathrm{E} α M ( a , b ) + β M ( x , y ) = M ( α a + β x ; α b + β y ) ∈ E
On en déduit donc que E \mathrm{E} E ( M 2 ( R ) , + , ⋅ ) \left(\mathrm{M}_2(\mathbb{R}),+, \cdot\right) ( M 2 ( R ) , + , ⋅ )
Montrons que : dim ( E ) = 2 ~\operatorname{dim}(E)=2 dim ( E ) = 2
On remarque facilement que : ∀ M ∈ E , M ( x , y ) = x I + y J ~\forall \mathrm{M} \in \mathrm{E}, ~~\mathrm{M}(x, \mathrm{y})=x \mathrm{I}+\mathrm{yJ}~ ∀ M ∈ E , M ( x , y ) = x I + yJ x , y x, \mathrm{y} x , y x I + y J = O 2 ~x \mathrm{I}+\mathrm{yJ}=\mathrm{O}_2 x I + yJ = O 2
(C'est-à-dire ( x − 3 y y x ) = ( 0 0 0 0 ) ~\left(\begin{array}{rr}x & -3 \mathrm{y} \\ \mathrm{y} & x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) ( x y − 3 y x ) = ( 0 0 0 0 )
Alors on a bien x = y = 0 ~x=y=0 x = y = 0
Donc la famille ( I , J ) (\mathrm{I}, \mathrm{J}) ( I , J ) E E E E E E
Par conséquent dim ( E ) = 2 ~\operatorname{dim}(\mathrm{E})=2 dim ( E ) = 2 ( I , J ) ) (\mathrm{I}, \mathrm{J}))\\[0.5cm] ( I , J ))
2-On a J 2 = ( 0 − 3 1 0 ) ( 0 − 3 1 0 ) = ( − 3 0 0 − 3 ) = − 3 I . ~J^2=\left(\begin{array}{cc}0 & -3 \\ 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0 & -3 \\ 1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3 & 0 \\ 0 & -3\end{array}\right)=-3 I. J 2 = ( 0 1 − 3 0 ) ( 0 1 − 3 0 ) = ( − 3 0 0 − 3 ) = − 3 I .
Alors pour tous M ( a , b ) , M ( x , y ) ∈ E ~\mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}), \mathrm{M}(x, \mathrm{y}) \in \mathrm{E}~ M ( a , b ) , M ( x , y ) ∈ E
M ( a , b ) × M ( x , y ) = ( a I + b J ) ( x I + y J ) = a x I + a y J + b x J − 3 b y I = M ( a x − 3 b y ; a y + b x ) ∈ E ( ∗ ) \begin{aligned} \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \times \mathrm{M}(x, \mathrm{y}) & =(\mathrm{aI}+\mathrm{bJ})(x \mathrm{I}+\mathrm{yJ})\\ &=\mathrm{axI}+\mathrm{ayJ}+\mathrm{b} x \mathrm{~J}-3 \mathrm{byI} \\ & =\mathrm{M}(\mathrm{ax}-3 \mathrm{by} ; \mathrm{ay}+\mathrm{b} x) \in \mathrm{E}\quad \quad (*)\end{aligned} M ( a , b ) × M ( x , y ) = ( aI + bJ ) ( x I + yJ ) = axI + ayJ + b x J − 3 byI = M ( ax − 3 by ; ay + b x ) ∈ E ( ∗ )
Alors, E \mathrm{E} E ( M 2 ( R ) , × ) \left(\mathrm{M}_2(\mathbb{R}), \times\right) ( M 2 ( R ) , × )
Autre méthode : Par un calcul direct (sans utiliser la base ( I , J ) (\mathrm{I}, \mathrm{J}) ( I , J ) \\[0.5cm]
b. De tout ce qui précède on déduit que :
- ( E , + ) (\mathrm{E},+) ( E , + ) E \mathrm{E} E ( M 2 ( R ) , + , ⋅ ) \left(\mathrm{M}_2(\mathbb{R}),+,\cdot \right) ( M 2 ( R ) , + , ⋅ )
- La loi × \times × + + + E E E ( E , + ) (\mathrm{E},+) ( E , + ) E E E ( M 2 ( R ) , × ) \left(M_2(\mathbb{R}), \times\right) ( M 2 ( R ) , × ) ( M 2 ( R ) , + , . ) \left(M_2(\mathbb{R})\right., +,.) ( M 2 ( R ) , + , . )
- La matrice unité I I I E E E I = M ( 1 , 0 ) . I = M(1,0). I = M ( 1 , 0 ) .
- La loi × \times × E \mathrm{E} E
En échangeant dans ( ∗ ) (*) ( ∗ ) ( a , b ) (\mathrm{a}, \mathrm{b}) ( a , b ) ( x , y ) (\mathrm{x}, \mathrm{y}) ( x , y )
M ( x , y ) × M ( a , b ) = M ( x a − 3 y b ; x b + y a ) = M ( a x − 3 b y ; a y + b x ) = M ( a , b ) × M ( x , y ) \begin{aligned} \mathrm{M}(x, \mathrm{y}) \times \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) & =\mathrm{M}(x \mathrm{a}-3 \mathrm{yb} ; x \mathrm{~b}+\mathrm{ya}) \\ & =\mathrm{M}(\mathrm{ax}-3 \mathrm{by} ; \mathrm{ay}+\mathrm{b} x) \\ & =\mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \times \mathrm{M}(x, \mathrm{y})\end{aligned} M ( x , y ) × M ( a , b ) = M ( x a − 3 yb ; x b + ya ) = M ( ax − 3 by ; ay + b x ) = M ( a , b ) × M ( x , y )
Tout cela montrer bien que : ( E , + , × ) (\mathrm{E},+, \times) ( E , + , × ) \\[0.5cm]
3 a. Pour tous complexes a + i b \mathrm{a}+\mathrm{ib} a + ib x + i y x+\mathrm{iy} x + iy
φ ( a + i b ) × φ ( x + i y ) = M ( a , b 3 ) × M ( x , y 3 ) = M ( a x − 3 b 3 y 3 ; a y + b x 3 ) = M ( a x − b y ; a y + b x 3 ) = φ ( ( a + i b ) × ( x + i y ) ) \begin{aligned} \varphi(a+i b) \times \varphi(x+i y) & =M\left(a, \frac{b}{\sqrt{3}}\right) \times M\left(x, \frac{y}{\sqrt{3}}\right) \\ & =M\left(a x-3 \frac{b}{\sqrt{3}} \frac{y}{\sqrt{3}} ; \frac{a y+b x}{\sqrt{3}}\right) \\ & =M\left(a x-b y ; \frac{a y+b x}{\sqrt{3}}\right) \\ & =\varphi((a+i b) \times(x+i y))\end{aligned} φ ( a + ib ) × φ ( x + i y ) = M ( a , 3 b ) × M ( x , 3 y ) = M ( a x − 3 3 b 3 y ; 3 a y + b x ) = M ( a x − b y ; 3 a y + b x ) = φ (( a + ib ) × ( x + i y ))
Alors φ \varphi φ ( C ∗ , × ) \left(\mathbb{C}^*, \times \right) ( C ∗ , × ) ( E ∗ , × ) . \left(E^*, \times \right). ( E ∗ , × ) .
Puis on a : φ ( C ∗ ) = { φ ( z ) / z ∈ C ∗ } = { φ ( x + i y ) / ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 } = { M ( x ; y 3 ) / ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 } = { M ( x , y ′ ) / ( x , y ′ ) ≠ ( 0 , 0 } = E ∗ . \begin{aligned}\text{Puis on a : }~~ \varphi\left(\mathbb{C}^*\right) & =\left\{\varphi(\mathrm{z}) / ~\mathrm{z} \in \mathbb{C}^*\right\} \\ & =\{\varphi(x+\mathrm{iy}) /(x, \mathrm{y}) \neq(0,0\} \\ & =\left\{\mathrm{M}\left(x ; \frac{\mathrm{y}}{\sqrt{3}}\right) /(x, \mathrm{y}) \neq(0,0\}\right. \\ & =\left\{\mathrm{M}\left(x, \mathrm{y}^{\prime}\right) /\left(x, \mathrm{y}^{\prime}\right) \neq(0,0\}\right. \\ & =\mathrm{E}^* .\end{aligned} Puis on a : φ ( C ∗ ) = { φ ( z ) / z ∈ C ∗ } = { φ ( x + iy ) / ( x , y ) = ( 0 , 0 } = { M ( x ; 3 y ) / ( x , y ) = ( 0 , 0 } = { M ( x , y ′ ) / ( x , y ′ ) = ( 0 , 0 } = E ∗ .
Donc φ \varphi φ ( C ∗ , × ) \left(\mathbb{C}^*, \times\right) ( C ∗ , × ) ( E ∗ , × ) \left(E^*, \times\right)\\[0.5cm] ( E ∗ , × )
b. Comme ( C ∗ , × ) \left(\mathbb{C}^*, \times\right) ( C ∗ , × ) φ \varphi φ ( C ∗ , × ) \left(\mathbb{C}^*, \times\right) ( C ∗ , × ) ( E ∗ , × ) \left(E^*, \times\right) ( E ∗ , × )
alors ( E ∗ , × ) \left(E^*, \times\right) ( E ∗ , × ) \\[0.5cm]
c. On a :
φ ( 3 1008 3 i ) = M ( 0 ; 3 1008 3 3 ) = M ( 0 ; 3 1008 ) = 3 1008 J \begin{aligned} \varphi\left(3^{1008} \sqrt{3} i\right) & =M\left(0 ; \frac{3^{1008} \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)=M\left(0 ; 3^{1008}\right) \\ & =3^{1008} \mathrm{~J}\end{aligned} φ ( 3 1008 3 i ) = M ( 0 ; 3 3 1008 3 ) = M ( 0 ; 3 1008 ) = 3 1008 J
Et on a :
J 2017 = J 2016 × J = ( J 2 ) 1008 × J = ( − 3 I ) 1008 × J = ( − 3 ) 1008 J = 3 100 J \begin{aligned} \mathrm{J}^{2017} & =\mathrm{J}^{2016} \times \mathrm{J}=\left(\mathrm{J}^2\right)^{1008} \times \mathrm{J} \\ & =(-3 \mathrm{I})^{1008} \times \mathrm{J} \\ & =(-3)^{1008} \mathrm{~J} \\ & =3^{100} \mathrm{~J}\end{aligned} J 2017 = J 2016 × J = ( J 2 ) 1008 × J = ( − 3 I ) 1008 × J = ( − 3 ) 1008 J = 3 100 J
Donc : J 2017 = φ ( 3 1008 3 i ) : \quad J^{2017}=\varphi\left(3^{1008} \sqrt{3} i\right) : J 2017 = φ ( 3 1008 3 i )
*Posons : A = M ( x , y ) ~A=M(x, y) A = M ( x , y ) E ∗ E^*~ E ∗ : J 2017 × A = I : ~J^{2017} \times A=I : J 2017 × A = I
J 2017 × A = I ⇔ φ ( 3 1008 3 i ) × M ( x , y ) = I ⇔ φ ( 3 1008 3 i ) × φ ( x + y 3 i ) = φ ( 1 ) ⇔ φ ( − 3 1009 y + 3 1008 × 3 i ) ) = φ ( 1 ) ⇔ − 3 1009 y + 3 1008 × 3 i = 1 ⇔ − 3 1009 y = 1 et 3 1008 × 3 = 0 ⇔ y = − 1 3 1009 et x = 0 \begin{aligned} \mathrm{J}^{2017} \times \mathrm{A}=\mathrm{I} & \Leftrightarrow \varphi\left(3^{1008} \sqrt{3} \mathrm{i}\right) \times \mathrm{M}(x, \mathrm{y})=\mathrm{I} \\ & \Leftrightarrow \varphi\left(3^{1008} \sqrt{3} \mathrm{i}\right) \times \varphi(x+\mathrm{y} \sqrt{3} \mathrm{i})=\varphi(1) \\ & \left.\Leftrightarrow \varphi\left(-3^{1009} \mathrm{y}+3^{1008} \times \sqrt{3} \mathrm{i}\right)\right)=\varphi(1) \\ & \Leftrightarrow-3^{1009} \mathrm{y}+3^{1008} \times \sqrt{3} \mathrm{i}=1 \\ & \Leftrightarrow-3^{1009} \mathrm{y}=1 \text { et } 3^{1008} \times \sqrt{3}=0 \\ & \Leftrightarrow \mathrm{y}=-\frac{1}{3^{1009}} \text { et } x=0\end{aligned} J 2017 × A = I ⇔ φ ( 3 1008 3 i ) × M ( x , y ) = I ⇔ φ ( 3 1008 3 i ) × φ ( x + y 3 i ) = φ ( 1 ) ⇔ φ ( − 3 1009 y + 3 1008 × 3 i ) ) = φ ( 1 ) ⇔ − 3 1009 y + 3 1008 × 3 i = 1 ⇔ − 3 1009 y = 1 et 3 1008 × 3 = 0 ⇔ y = − 3 1009 1 et x = 0
Donc: A = M ( 0 ; − 1 3 1009 ) \quad A=M\left(0 ; \frac{-1}{3^{1009}}\right)~ A = M ( 0 ; 3 1009 − 1 ) J 2017 ~J^{2017} J 2017 A . A.\\[0.5cm] A .
4-On a : ( E , + , × ) (\mathrm{E},+, \times) ( E , + , × )
D'où : ( E , + ) (\mathrm{E},+) ( E , + )
( E ∗ , × ) \left(\mathrm{E}^*, \times\right) ( E ∗ , × )
Donc ( E , + , × ) (E,+, \times) ( E , + , × )
Et la loi « × » \times » × » « + » « +» « + »