1-On a $~\mathrm{E} \neq \varnothing~$, il contient la matrice nulle (il suffit de prendre $x=y=0)$

De plus, pour tout $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ et pour tout $\mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}),~ \mathrm{M}(x, \mathrm{y}) \in \mathrm{E}$ on a:

$\begin{aligned}\alpha \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b})+\beta \mathrm{M}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) & =\left(\begin{array}{rr}\alpha \mathrm{a} & -3 \alpha \mathrm{b} \\ \alpha \mathrm{b} & \alpha \mathrm{a}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}\beta \mathrm{x} & -3 \beta y \\ \beta \mathrm{y} & \beta \mathrm{a} \end{array}\right) \\& =\left(\begin{array}{lc} \alpha \mathrm{a}+\beta x & -3(\alpha \mathrm{b}+\beta \mathrm{y}) \\ \alpha \mathrm{b}+\beta \mathrm{y} & \alpha \mathrm{a}+\beta x \end{array}\right)\end{aligned}$

Alors: $~\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \quad \forall \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}), \mathrm{M}(x, \mathrm{y}) \in \mathrm{E},$

$\alpha \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b})+\beta \mathrm{M}(x, \mathrm{y})=\mathrm{M}(\alpha \mathrm{a}+\beta x ~;~ \alpha \mathrm{b}+\beta \mathrm{y}) \in \mathrm{E}$.

On en déduit donc que $\mathrm{E}$ est un sous-espace vectoriel de $\left(\mathrm{M}_2(\mathbb{R}),+, \cdot\right)$

Montrons que : $~\operatorname{dim}(E)=2$ :

On remarque facilement que : $~\forall \mathrm{M} \in \mathrm{E}, ~~\mathrm{M}(x, \mathrm{y})=x \mathrm{I}+\mathrm{yJ}~$, et que s'il existe deux réels $x, \mathrm{y}$ tels que $~x \mathrm{I}+\mathrm{yJ}=\mathrm{O}_2$

(C'est-à-dire $~\left(\begin{array}{rr}x & -3 \mathrm{y} \\ \mathrm{y} & x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$

Alors on a bien $~x=y=0$.

Donc la famille $(\mathrm{I}, \mathrm{J})$ est à la fois libre et génératrice de $E$, donc est une base de $E$.

Par conséquent $~\operatorname{dim}(\mathrm{E})=2$. (le nombre d'éléments de la famille $(\mathrm{I}, \mathrm{J}))\\[0.5cm]$

2-On a $~J^2=\left(\begin{array}{cc}0 & -3 \\ 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0 & -3 \\ 1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3 & 0 \\ 0 & -3\end{array}\right)=-3 I.$

Alors pour tous $~\mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}), \mathrm{M}(x, \mathrm{y}) \in \mathrm{E}~$ on a :

$\begin{aligned} \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \times \mathrm{M}(x, \mathrm{y}) & =(\mathrm{aI}+\mathrm{bJ})(x \mathrm{I}+\mathrm{yJ})\\ &=\mathrm{axI}+\mathrm{ayJ}+\mathrm{b} x \mathrm{~J}-3 \mathrm{byI} \\ & =\mathrm{M}(\mathrm{ax}-3 \mathrm{by} ; \mathrm{ay}+\mathrm{b} x) \in \mathrm{E}\quad \quad (*)\end{aligned}$

Alors, $\mathrm{E}$ est une partie stable de $\left(\mathrm{M}_2(\mathbb{R}), \times\right)$.

Autre méthode : Par un calcul direct (sans utiliser la base $(\mathrm{I}, \mathrm{J})$ ) On retrouve aussi ce résultat.$\\[0.5cm]$

b. De tout ce qui précède on déduit que :

- $(\mathrm{E},+)$ est un groupe commutatif, car $\mathrm{E}$ est un sous-espace vectoriel de $\left(\mathrm{M}_2(\mathbb{R}),+,\cdot \right)$.

- La loi $\times$ est distributive par rapport à la loi $+$ et associative dans $E$. Ce résultat provient du fait que $(\mathrm{E},+)$ est un groupe et que $E$ est une partie stable de $\left(M_2(\mathbb{R}), \times\right)$ et que $\left(M_2(\mathbb{R})\right., +,.)$ est un anneau.

- La matrice unité $I$ appartient à $E$, car $I = M(1,0).$

- La loi $\times$ est commutative dans $\mathrm{E}$.

En échangeant dans $(*)$ "voir question 2- a.)" les couples $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ et $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ on obtient facilement :

$\begin{aligned} \mathrm{M}(x, \mathrm{y}) \times \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) & =\mathrm{M}(x \mathrm{a}-3 \mathrm{yb} ; x \mathrm{~b}+\mathrm{ya}) \\ & =\mathrm{M}(\mathrm{ax}-3 \mathrm{by} ; \mathrm{ay}+\mathrm{b} x) \\ & =\mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \times \mathrm{M}(x, \mathrm{y})\end{aligned}$

Tout cela montrer bien que : $(\mathrm{E},+, \times)$ est un anneau unitaire commutatif.$\\[0.5cm]$

3 a. Pour tous complexes $\mathrm{a}+\mathrm{ib}$ et $x+\mathrm{iy}$ non nuls donnés par leur forme algébrique on a :

$\begin{aligned} \varphi(a+i b) \times \varphi(x+i y) & =M\left(a, \frac{b}{\sqrt{3}}\right) \times M\left(x, \frac{y}{\sqrt{3}}\right) \\ & =M\left(a x-3 \frac{b}{\sqrt{3}} \frac{y}{\sqrt{3}} ; \frac{a y+b x}{\sqrt{3}}\right) \\ & =M\left(a x-b y ; \frac{a y+b x}{\sqrt{3}}\right) \\ & =\varphi((a+i b) \times(x+i y))\end{aligned}$

Alors $\varphi$ est un homomorphisme de $\left(\mathbb{C}^*, \times \right)$ sur $\left(E^*, \times \right).$

$\begin{aligned}\text{Puis on a : }~~ \varphi\left(\mathbb{C}^*\right) & =\left\{\varphi(\mathrm{z}) / ~\mathrm{z} \in \mathbb{C}^*\right\} \\ & =\{\varphi(x+\mathrm{iy}) /(x, \mathrm{y}) \neq(0,0\} \\ & =\left\{\mathrm{M}\left(x ; \frac{\mathrm{y}}{\sqrt{3}}\right) /(x, \mathrm{y}) \neq(0,0\}\right. \\ & =\left\{\mathrm{M}\left(x, \mathrm{y}^{\prime}\right) /\left(x, \mathrm{y}^{\prime}\right) \neq(0,0\}\right. \\ & =\mathrm{E}^* .\end{aligned}$

Donc $\varphi$ est un homomorphisme bijectif de $\left(\mathbb{C}^*, \times\right)$ vers $\left(E^*, \times\right)\\[0.5cm]$

b. Comme $\left(\mathbb{C}^*, \times\right)$ est un groupe commutatif et $\varphi$ est un homomorphisme bijectif de $\left(\mathbb{C}^*, \times\right)$ vers $\left(E^*, \times\right)$

alors $\left(E^*, \times\right)$ est un groupe commutatif.$\\[0.5cm]$

c. On a :

$\begin{aligned} \varphi\left(3^{1008} \sqrt{3} i\right) & =M\left(0 ; \frac{3^{1008} \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)=M\left(0 ; 3^{1008}\right) \\ & =3^{1008} \mathrm{~J}\end{aligned}$

Et on a :

$\begin{aligned} \mathrm{J}^{2017} & =\mathrm{J}^{2016} \times \mathrm{J}=\left(\mathrm{J}^2\right)^{1008} \times \mathrm{J} \\ & =(-3 \mathrm{I})^{1008} \times \mathrm{J} \\ & =(-3)^{1008} \mathrm{~J} \\ & =3^{100} \mathrm{~J}\end{aligned}$

Donc $: \quad J^{2017}=\varphi\left(3^{1008} \sqrt{3} i\right)$

*Posons : $~A=M(x, y)$ de $E^*~$ tel que $: ~J^{2017} \times A=I$

$\begin{aligned} \mathrm{J}^{2017} \times \mathrm{A}=\mathrm{I} & \Leftrightarrow \varphi\left(3^{1008} \sqrt{3} \mathrm{i}\right) \times \mathrm{M}(x, \mathrm{y})=\mathrm{I} \\ & \Leftrightarrow \varphi\left(3^{1008} \sqrt{3} \mathrm{i}\right) \times \varphi(x+\mathrm{y} \sqrt{3} \mathrm{i})=\varphi(1) \\ & \left.\Leftrightarrow \varphi\left(-3^{1009} \mathrm{y}+3^{1008} \times \sqrt{3} \mathrm{i}\right)\right)=\varphi(1) \\ & \Leftrightarrow-3^{1009} \mathrm{y}+3^{1008} \times \sqrt{3} \mathrm{i}=1 \\ & \Leftrightarrow-3^{1009} \mathrm{y}=1 \text { et } 3^{1008} \times \sqrt{3}=0 \\ & \Leftrightarrow \mathrm{y}=-\frac{1}{3^{1009}} \text { et } x=0\end{aligned}$

Donc: $\quad A=M\left(0 ; \frac{-1}{3^{1009}}\right)~$ d'où l'inverse de la matrice $~J^{2017}$ est $A.\\[0.5cm]$

4-On a : $(\mathrm{E},+, \times)$ est un anneau commutatif unitaire ;

D'où : $(\mathrm{E},+)$ est un groupe commutatif.

$\left(\mathrm{E}^*, \times\right)$ est un groupe commutatif.

Donc $(E,+, \times)$ est un corps commutatif.

Et la loi « $\times »$ est distributive par rapport à la loi $« +»$