I . 1. a. On a: (z1)2−4(1+32i)z1+35+4i
=(1+32i)2−4(1+32i)(1+32i)+35+4i=−3(1+32i)2+35+4i=−3(1−34+34i)+35+4i=−35−4i+35+4i=0
donc le nombre z1 est solution de l'équation (E).
b. D'après la relation qui existe entre les solutions d'une équation de 2ème degré on a :
z2+z1=a−b=4(1+32i)=4z1 caˋd z2=3z1
2. On a : z2+z1=ac=35+4i
d'où 35+4i=3z1z1=3∣z1∣2eiθ
Et on a : ∣z1∣2=1+94=913
donc 913(cosθ+sinθ) est une forme trigonométrique du nombre complexe 35+4i
II. 1. a. On a l'expression complexe de la rotation r est : z′=ei3π(z−ω)+ω
et puisque p=r(A) alors p=ei3π(a−ω)+ω=ω+ei3π(a−ω)
et puisque B=r(Q) alors b=ei3π(q−ω)+ω=ω+ei3π(q−ω)
D’ouˋ b−ω=ei3π(q−ω)⇔q−ω=ei3π(b−ω)⇔q=ω+e−i3π⇔(b−ω)
b. On a : 1−e−i3π1−ei3π=(ei6π−e−i6π)e−i6π(e−i6π−ei6π)ei6π=2isin6π−2isin6π⋅e−i6πei6π=−ei3π=eiπei3π=ei34π
c. On a : q−bp−a=ω+e−i3π(b−ω)−bω+i3π(a−ω)−a=(ω−b)(1−e−i3π)(ω−a)(1−e−i3π)=ω−bω−aei34π
2. a. Si ω−bω−a=ei32π
On a: q−bp−a=ei32πei34π=1
cela signifie que : q−bp−a=1
Càd: AP=BQ
donc APQB est un parallélogramme.
b. On a : p=ω+ei3π(a−ω) et on déduit que ω−bω−a=ei32π
et que b=ω+(a−ω)ei32π
donc : p−ab−a=3ei2π càd arg(p−ab−a)≡2π[2π]
d'où les droites (BA) et (BQ) sont perpendiculaires, par conséquent le parallélogramme APQB est un rectangle.