1- a. Montrons que la loi $*$ est commutative.

Pour tout $Z$ et $Z^{\prime}$ de $\mathbb{C}$ tels que : $~Z=x+ iy~$ et $~Z^{\prime}=a+bi~$; avec $~(x ; y ; a ; b) \in \mathbb{R}^4$

$\begin{aligned}\text{On a} : ~ \mathrm{Z}^* \mathrm{Z}^{\prime} & =(x+y \mathrm{i}) *(\mathrm{a}+\mathrm{bi}) \\ & =x \mathrm{a}+\left(x^2 \mathrm{~b}+\mathrm{a}^2 \mathrm{y}\right) \mathrm{i} \\ & =\mathrm{ax}+\left(\mathrm{a}^2 \mathrm{y}+x^2 \mathrm{~b}\right) \mathrm{i} \\ & =(\mathrm{a}+\mathrm{bi}) *(x+\mathrm{yi})=\mathrm{Z}^{\prime} * \mathrm{Z}\end{aligned}$

( Car la somme et la multiplication sont commutatives dans $\mathbb{R}$ ).

D'où le résultat. $\\[0.5cm]$

b. Montrons que la loi $*$ est associative.

$\forall\left(Z ; Z^{\prime} ; Z^{\prime \prime}\right) \in \mathbb{C}^3~~$ $\left\{\begin{array}{lll}\mathrm{Z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} & ; & (\mathrm{a}, \mathrm{b}) \in \mathbb{R}^2 \\ \mathrm{Z}^{\prime}=x+\mathrm{yi} & ; & (x, \mathrm{y}) \in \mathbb{R}^2 \\ Z^{\prime \prime}=\mathrm{c}+\mathrm{di} & ; & (\mathrm{c}, \mathrm{d}) \in \mathbb{R}^2\end{array}\right.$

On a d'une part :

$\begin{aligned}\left(\mathrm{Z}* \mathrm{Z}^{\prime}\right) * \mathrm{Z}^{\prime \prime} & =[(\mathrm{a}+\mathrm{bi}) *(x+\mathrm{yi})] *(\mathrm{c}+\mathrm{di}) \\ & =\left(\mathrm{ax}+\left(\mathrm{a}^2 \mathrm{y}+x^2 \mathrm{~b}\right) \mathrm{i}\right) *(\mathrm{c}+\mathrm{di}) \\ & =a x \mathrm{c}+\left[(\mathrm{ax})^2 \mathrm{c}+\mathrm{c}^2\left(\mathrm{a}^2 \mathrm{y}+x^2 \mathrm{~b}\right)\right] \mathrm{i} \\ & =a x \mathrm{c}+\left[\mathrm{a}^2 x^2 \mathrm{c}+\mathrm{c}^2 \mathrm{a}^2 y+\mathrm{c}^2 x^2 \mathrm{~b}\right] \mathrm{i}\end{aligned}$

Et d'autre part

$\begin{aligned} Z *\left(Z^{\prime} * Z^{\prime \prime}\right) & =(a+b i) *[(x+y i) *(c+d i)] \\ & =(a+b i) *\left[x c+\left(x^2 c+c^2 y\right) i\right] \\ & =a x c+\left[a^2\left(x^2 c+c^2 y\right)+(x c)^2 b\right] i \\ & =a x c+\left[x^2 c^2 b+a^2 x^2 c+a^2 c^2 y\right] i\end{aligned}$

Donc: $~\left(\mathrm{Z} * \mathrm{Z}^{\prime}\right) * \mathrm{Z}^{\prime \prime} =\mathrm{Z} *\left(\mathrm{Z}^{\prime} * \mathrm{Z}^{\prime \prime}\right)$

D'où le résultat.$\\[0.5cm]$

c. Montrons que la loi $*$ admet un élément neutre $e$ :

On a : $\quad \forall \mathrm{Z} \in \mathbb{C} / \mathrm{Z}=x+y i ; \quad(x, y) \in \mathbb{R}^2$

$1 *(x+y i)=(x+y i) * 1$

D'où l'élément neutre $e$ c'est $1 .\\[0.5cm]$

d. Montrons que le symétrique de $x+$ yi est $~\frac{1}{x}-\frac{y}{x^4} \mathrm{i}~$ pour la loi $*$.

On a la loi $*$ est commutative et $~\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2$

$\begin{aligned}(x+y i) *\left(\frac{1}{x}-\frac{y}{x^4} \mathrm{i}\right) & =1+\left(x^2 \cdot \frac{-y}{x^4}+\left(\frac{1}{x}\right) 2 \mathrm{y}\right) \mathrm{i} \\ & =1+\left(-\frac{y}{x^2}+\frac{y}{x^2}\right) \mathrm{i}=1\end{aligned}$

D'où le résultat.$\\[0.5cm]$

2- a. Montrons que $\mathrm{E}$ est stable pour la loi $*$ dans $\mathbb{C}$.

On a : $~\mathrm{E} \subset \mathbb{C}~$ et $~\mathrm{E} \neq \varnothing ~$ (car $1=1+0$ i)

et $~\forall(x+y i) \in \mathrm{E}~$ et $~\forall(a+b i) \in \mathrm{E}$;

$(x+y i) *(a+b i)=a x+\left(x^2 b+a^2 y\right) i \in E$

Car $~(a x) \in \mathbb{R}^* ~;~\left(x^2 \mathrm{~b}+\mathrm{a}^2 \mathrm{y}\right) \in \mathbb{R}$

D'où le résultat.$\\[0.5cm]$

b. Montrons que $\left(\mathrm{E},*\right)$ est un groupe commutatif.

On a $E$ est une partie stable de $\mathbb{C}$ pour la loi $*$.

Donc $*$ est associative dans $\mathrm{E}$

et On a : $~1 \in \mathrm{E}$, et pour tout : $~(x+\mathrm{iy}) \in \mathrm{E}~$; tel que : $~x \in \mathbb{R}_{+}^{*}~$ et $~\mathrm{y} \in \mathbb{R}$;

son symétrique est $~\left(\frac{1}{x}-\frac{y}{x^4} \mathrm{i}\right) \in E~\left(\text{car}~ \frac{1}{x} \in \mathbb{R}_{+}^*\right.~$ et $~\left.-\frac{y}{x^4} \in \mathbb{R}\right)~$ et la loi $*$ est commutative dans $\mathrm{E}$.

D'où $\left(E,*\right)$ est un groupe commutative. $\\[0.5cm]$

3- Montrons que $\mathrm{G}$ est un sous-groupe de $\left(\mathrm{E},*\right)$.

On a: $~G \subset E~$ et $~1=1+0 i \in E~$

donc $:~ E \neq \varnothing~$ et $~\forall(1+y i) \in G~$ et $~\forall\left(1+y^{\prime} i\right) \in G$.

On a: $~(1+y i) *\left(1-y^{\prime} i\right)=1+\left(y-y^{\prime}\right) i \in G$

(Rappelons que le symétrique de $1+y^{\prime} i$ est $~1-y^{\prime} i~$; voir $~1 / d$.).

D'où le résultat.$\\[0.5cm]$

4- a. Montrons que $F$ est une partie stable de $M_2(\mathbb{R})$ pour la loi $\times$.

On a: $~~ \mathrm{F} \subset \mathrm{M}_2(\mathbb{R})~$ et $~\mathrm{F} \neq \varnothing~~(\text{car} ~\mathrm{M}(1,0) \in \mathrm{F})$

et $~\forall \mathrm{M}(x, y)~$ et $~\forall \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b})~$ de $~\mathrm{F}$ on a :

$\begin{aligned} \mathrm{M}(x, \mathrm{y}) \times \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) & =\left(\begin{array}{ll}x & \mathrm{y} \\ 0 & x\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{ll}a & \mathrm{~b} \\ 0 & a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}x a & x \mathrm{~b}+\mathrm{ya} \\ 0 & x a\end{array}\right) \\ & =\mathrm{M}(x a ; x \mathrm{~b}+\mathrm{ya}) \in \mathrm{F}\end{aligned}$

$\left.\begin{array}{r}\left(\text { Car : } x \in \mathbb{R}_{+}^*\right. \\ a \in \mathbb{R}_{+}^*\end{array}\right\} \Rightarrow x a \in \mathbb{R}_{+}^*$ et $\left.(x b+y a) \in \mathbb{R}\right)$

D'où le résultat. $\\[0.5cm]$

b. - Montrons que $\varphi$ est un morphisme de $\left(E,{ }^*\right)$ vers $(F, \times)$

$\forall(x+y i) \in \mathrm{E}~$ et $~\forall(\mathrm{a}+\mathrm{bi}) \in \mathrm{E}$

$\begin{aligned}\text{On a :}~ \varphi[(x+y i) *(a+b i)] & =\varphi\left[x a+\left(x^2 b+a^2 y\right) i\right] \\ & =M\left(x^2 a^2 ; x^2 b+a^2 y\right)\end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{Et}: ~ \varphi(x+y i) \times \varphi(\mathrm{a}+\mathrm{bi}) & =\mathrm{M}\left(x^2, \mathrm{y}\right) \times \mathrm{M}\left(\mathrm{a}^2, \mathrm{~b}\right) \\ & =\mathrm{M}\left(x^2 \mathrm{a}^2 ; x^2 \mathrm{~b}+\mathrm{a}^2 \mathrm{y}\right)\end{aligned}$

Donc: $~\varphi[(x+y i) *(\mathrm{a}+\mathrm{bi})]=\varphi(x+\mathrm{yi}) \times \varphi(\mathrm{a}+\mathrm{bi})$

D'où $\varphi$ est un morphisme de $(\mathrm{E}, *)$ vers $(\mathrm{F}, \times)$.

- Montrons que : $\varphi$ est bijective.

$\forall \mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \in \mathrm{F}$

On a : $~\varphi(x+\mathrm{yi})=\mathrm{M}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$

$\begin{aligned} & \Leftrightarrow M\left(x^2, y\right)=M(a, b) \\ & \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x ^ { 2 } = a~ ; ~~x > 0 } \\ { y = b }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{a} \\ \text { et } \\y=b\end{array}\right.\right.\end{aligned}$

D'où $\varphi$ est bijective.$\\[0.5cm]$

c. On a $\left(E,{ }^*\right)$ est un groupe commutatif et $\varphi$ est un isomorphisme de $\left(\mathrm{E},^*\right)$ vers $(\mathrm{F}, \times)$.

Donc $(\mathrm{F}, \times)$ est un groupe commutatif.