1- a. On a $~(\forall ~\mathrm{n}, \mathrm{y} \in \mathbb{Z}), ~x * \mathrm{y}=x+\mathrm{y}-2=\mathrm{y}+x-2=\mathrm{y} * x$

Donc $*$ est commutative.

$(x * y) * z=(x+y-2) * z=x+y+z-4$

On a aussi, $~(\forall ~n, y, z \in \mathbb{Z})$

$x *(\mathrm{y} * \mathrm{z})=x  *(\mathrm{y}+\mathrm{z}-2)=x+\mathrm{y}+\mathrm{z}-4$

Alors $~(\forall x, \mathrm{y}, \mathrm{z} \in \mathbb{Z}),~~(x *(\mathrm{y} * \mathrm{z})=(x * \mathrm{y}) * \mathrm{z}$

et donc, la loi $*$ est associative.$\\[0.5cm]$

b. Supposons que $\left(\mathbb{Z},*\right)$ possède un élément neutre $e$, Alors : $"e$ est l'élément neutre de $\left(\mathbb{Z},*\right)"$

équivaut, puisque $*$ est commutative, à $~(\forall x \in \mathbb{Z}),~ x * \mathrm{e}=x$

équivaut à $~(\forall x \in \mathbb{Z}), ~x+\mathrm{e}-2=x$

équivaut à $~\mathrm{e}=2$

Alors, $2$ est l'élément neutre de $(\mathbb{Z} , *)$.$\\[0.5cm]$

c. On a montré que $*$ est commutative et associative et que $2$ est son élément neutre.

Montons maintenant que tout élément de $\left(\mathbb{Z}, *\right)$ est symétrisable.

Soit alors $~x \in \mathbb{Z}$.

$\begin{aligned}« x \text { est symétrisable dans }\left(\mathbb{Z},{ }^*\right) »&\Leftrightarrow\left(\exists x^{\prime} \in \mathbb{Z}\right), x * x^{\prime}=2 \\& \Leftrightarrow\left(\exists x^{\prime} \in \mathbb{Z}\right), x+x^{\prime}-2=2 \\& \Leftrightarrow x^{\prime}=4-x \end{aligned}$

Alors, tout élément $x$ est symétrisable dans $(\mathbb{Z}, *)$, son symétrique est $4-x~$; cela montre que $\left(\mathbb{Z} , *\right)$ est un groupe commutatif.$\\[0.5cm]$

2- a. Il est clair que $f$ est bijective, sa bijection réciproque est donnée par $~(\forall x \in \mathbb{Z}), ~f^{-1}(x)=x-2$.

Montrons maintenant que $f$ est un homomorphisme de $(\mathbb{Z}, \times)$ dans $(\mathbb{Z}, T)$.

$(\forall x, y) \in \mathbb{Z}^2$

$\begin{aligned} \text{On a : }~~ f(x) \mathrm{T} f(\mathrm{y}) & =(x+2)(\mathrm{y}+2)-2(x+2)-2(\mathrm{y}+2)+6 \\ & =x y+2 x+2 y+4-2 x-4-2 y-4+6 \\ & =x y+2=f x y)\end{aligned}$

D'où $f$ est un homomorphisme de $(\mathbb{Z}, \times)$ dans $(\mathbb{Z}, \mathrm{T})$ et comme $f$ est bijective, alors c'est un isomorphisme de $(\mathbb{Z}, \times)$ vers $(\mathbb{Z}, \mathrm{T}).\\[0.5cm]$

b. On a $~\forall(x, y, z) \in \mathbb{Z}^3$

$\begin{aligned}(x * y) \mathrm{T}z & =(x+y-2) \mathrm{T}z \\ & =(x+y-2) z-2(x+y-2)-2 x+6 \\ & =(x z-2 x-2 z+6)+(y z-2 y-2 z+6)-2 \\ & =(x T y) *(y T z)\quad \quad \text{(Cqdf)}\end{aligned}\\[0.5cm]$

3- On déduit de ce qui précède que :

- $\left(\mathbb{Z},*\right)$ est un groupe commutatif.

- La loi « $T$ » est commutative et associative et $f(1)=3$ est l'élément neutre de $(\mathbb{Z}, T)$  , puisque $(\mathbb{Z}, \times)$ et $(\mathbb{Z}, T)$ sont isomorphisme et « $\times$ » est commutative et associative dans $\mathbb{Z}$ et $1$ est l'élément neutre de $(\mathbb{Z}, \times)$.

- La loi « $\mathrm{T}$ » est distributive par rapport à $* ;$ donc $\left(\mathbb{Z},*, \mathrm{T}\right)$ est un anneau unitaire.$\\[0.5cm]$

4- a. On a: $~\forall(x, y) \in \mathbb{Z}^2$

$\begin{array}{rlrl}x \mathrm{~T} \mathrm{y}=2 & \Leftrightarrow x \mathrm{y}-2 x+6=2 \\ & \Leftrightarrow x y-2 x-2 \mathrm{y}+4=0 \\ & \Leftrightarrow (x-2)(x-2)=0 \\ & \Leftrightarrow x=2~~ \text { ou }~~ \mathrm{y}=2\quad \quad \text{(Cqfd)}\end{array}\\[0.5cm]$

b. Comme $2$ est l'élément neutre de $« * »$ et d'après le résultat de la question 4- a. ; on déduit que $\left(\mathbb{Z},*, T\right)$ est un anneau intègre. $\\[0.5cm]$

c. Si on suppose que $\left(\mathbb{Z}, *, \mathrm{~T}\right)$ est un corps, alors tout $x$ différent de $2$ serait inversible pour la loi $\mathrm{T}$; et comme $f$ : $~(\mathbb{Z},\times) \rightarrow(\mathbb{Z}, T)$ est un isomorphisme et $3$ n'est pas inversible dans $(\mathbb{Z}, \times)$

donc : $f(3)=5$ ne l'est pas non plus dans $(\mathbb{Z}, T)$ ce qui prouve que $\left(\mathbb{Z},*, \mathrm{T}\right)$ n'est pas un corps.