I- On considère, dans ( M 2 ( R ) , + , x ) ~\left(M_2(\mathbb{R}),+, x\right) ( M 2 ( R ) , + , x )
I = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) et A = ( 5 − 1 2 0 0 0 − 2 − 1 0 1 1 ) I=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad \text { et }\quad A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 & 0 \\0 & -2 & -1 \\0 & 1 & 1\end{array}\right) I = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ et A = ⎝ ⎛ 2 5 − 1 0 0 0 − 2 1 0 − 1 1 ⎠ ⎞
1. On a:
I − A = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) − ( 5 − 1 2 0 0 0 − 2 − 1 0 1 1 ) = ( 3 − 5 2 0 0 0 3 1 0 − 1 0 ) I-A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3-\sqrt{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right) I − A = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 2 5 − 1 0 0 0 − 2 1 0 − 1 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 2 3 − 5 0 0 0 3 − 1 0 1 0 ⎠ ⎞
Et:
: A 2 = ( 5 − 1 2 0 0 0 − 2 − 1 0 1 1 ) ( 5 − 1 2 0 0 0 − 2 − 1 0 1 1 ) = ( ( 5 − 1 2 ) 2 0 0 0 4 − 1 2 − 1 0 − 2 + 1 − 1 + 1 ) = ( 3 − 5 2 0 0 0 3 1 0 − 1 0 ) \begin{aligned}: A^2&=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 & 0 \\0 & -2 & -1 \\0 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 & 0 \\0 & -2 & -1 \\0 & 1 & 1\end{array}\right) \\& =\left(\begin{array}{ccc}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2 & 0 & 0 \\0 & 4-1 & 2-1 \\0 & -2+1 & -1+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3-\sqrt{5}}{2} & 0 & 0 \\0 & 3 & 1 \\0 & -1 & 0\end{array}\right) \\&\end{aligned}\\[0.5cm] : A 2 = ⎝ ⎛ 2 5 − 1 0 0 0 − 2 1 0 − 1 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 5 − 1 0 0 0 − 2 1 0 − 1 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ ( 2 5 − 1 ) 2 0 0 0 4 − 1 − 2 + 1 0 2 − 1 − 1 + 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 2 3 − 5 0 0 0 3 − 1 0 1 0 ⎠ ⎞
2. On trouve A 2 = I − A ~\mathrm{A}^2=\mathrm{I}-\mathrm{A}~ A 2 = I − A
A ( A + 1 ) = I = ( A + I ) A A(A+1)=I=(A+I) A A ( A + 1 ) = I = ( A + I ) A
Cela montrer bien que A A A ( M 2 ( R ) , + , x ) \left(M_2(\mathbb{R}),+, x\right) ( M 2 ( R ) , + , x ) A − 1 = A + I ~\mathrm{A}^{-1}=\mathrm{A}+\mathrm{I} A − 1 = A + I
II- Pour tous réel a , b a , b a , b I = ] 1 , + ∞ [ \mathrm{I}=] 1,+\infty[ I = ] 1 , + ∞ [
a ∗ b = a 2 b 2 − a 2 − b 2 + 2 a * b=\sqrt{a^2 b^2-a^2-b^2+2} a ∗ b = a 2 b 2 − a 2 − b 2 + 2
1. On a ( ∀ x ∈ R ) , ~(\forall x \in \mathbb{R}), ( ∀ x ∈ R ) ,
( x 2 − 1 ) ( y 2 − 1 ) + 1 = x 2 y 2 − x 2 − y 2 + 1 + 1 = y 2 x 2 − x 2 − y 2 + 2 \left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)+1=x^2 y^2-x^2-y^2+1+1=y^2 x^2-x^2-y^2+2~ ( x 2 − 1 ) ( y 2 − 1 ) + 1 = x 2 y 2 − x 2 − y 2 + 1 + 1 = y 2 x 2 − x 2 − y 2 + 2 \\[0.5cm]
2. De la question précédente, on déduit que :
∀ a , b ∈ I , a 2 b 2 − a 2 − b 2 + 2 = ( a 2 − 1 ) ( b 2 − 1 ) + 1 > 1 \forall ~a , b \in \mathrm{I},~ a^2 b^2-a^2-b^2+2=\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)+1>1 ∀ a , b ∈ I , a 2 b 2 − a 2 − b 2 + 2 = ( a 2 − 1 ) ( b 2 − 1 ) + 1 > 1
car: a 2 − 1 > 0 ~a^2-1>0~ a 2 − 1 > 0 b 2 − 1 > 0 ~b^2-1>0 b 2 − 1 > 0
Par conséquent: ∀ a , b ∈ I , a ∗ b ∈ I \forall a, b \in \mathrm{I},~a * b \in \mathrm{I} ∀ a , b ∈ I , a ∗ b ∈ I ∗ * ∗ I I\\[0.5cm] I
3. On rappelle que ( R ∗ , × ) \left(\mathbb{R}^*, \times\right) ( R ∗ , × )
a. L'application φ \varphi φ R ∗ \mathbb{R}^* R ∗
donc φ \varphi φ R + ∗ \mathbb{R}_{+}^* R + ∗ φ ( R + ∗ ) = ] lim x → 0 + φ ( x ) , lim x → + ∞ φ ( x ) [ = ] 1 , + ∞ [ = I ~\varphi\left(\mathbb{R}_{+}^*\right)= ] \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \varphi(x), \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \varphi(x)[=] 1,+\infty[=I φ ( R + ∗ ) = ] x → 0 + lim φ ( x ) , x → + ∞ lim φ ( x ) [ = ] 1 , + ∞ [ = I
* Montrons que φ \varphi φ
On a: ∀ ( x , y ) ∈ R ∗ 2 \quad \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{* 2} ∀ ( x , y ) ∈ R ∗ 2
φ ( x ) ∗ φ ( y ) = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − ( x + 1 ) − ( y + 1 ) + 2 = x y + x + y + 1 − x − y = φ ( x × y ) \begin{aligned} \varphi(x) * \varphi(y) & =\sqrt{(x+1)(y+1)-(x+1)-(y+1)+2} \\ & =\sqrt{x y+x+y+1-x-y}=\varphi(x \times y)\end{aligned} φ ( x ) ∗ φ ( y ) = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − ( x + 1 ) − ( y + 1 ) + 2 = x y + x + y + 1 − x − y = φ ( x × y )
Donc φ \varphi φ ( R + ∗ , × ) \left(\mathbb{R}_{+}^*, \times\right) ( R + ∗ , × ) ( I , ∗ ) \left(\mathrm{I}, *\right)\\[0.5cm] ( I , ∗ )
b. D'après la question 3- a. on a ( R + ∗ , × ) \left(\mathbb{R}_{+}^*, \times\right) ( R + ∗ , × ) ( I , ∗ ) \left(I, *\right) ( I , ∗ )
donc puisque ( R + ∗ , × ) \left(\mathbb{R}_+^*, \times\right) ( R + ∗ , × ) ( I , ∗ ) \left(I,*\right) ( I , ∗ ) \\[0.5cm]
c. On a : Γ = { 1 + 2 m / m ∈ Z } = φ ( { 2 m / m ∈ Z } ) : ~\Gamma=\left\{\sqrt{1+2^{\mathrm{m}}} / ~\mathrm{m} \in \mathbb{Z}\right\}=\varphi\left(\left\{2^{\mathrm{m}} / ~\mathrm{m} \in \mathbb{Z}\right\}\right) : Γ = { 1 + 2 m / m ∈ Z } = φ ( { 2 m / m ∈ Z } )
et l'ensemble { 2 m / m ∈ Z } ~\left\{2^{\mathrm{m}} /~ \mathrm{m} \in \mathbb{Z}\right\}~ { 2 m / m ∈ Z } ( R + ∗ , × ) \left(\mathbb{R}_{+}^*, \times\right) ( R + ∗ , × ) Γ \Gamma Γ ( I , ∗ ) (\mathrm{I}, *)~ ( I , ∗ ) φ \varphi φ { 2 m / m ∈ Z } \left\{2^{\mathrm{m}} / ~\mathrm{m} \in \mathbb{Z}\right\} { 2 m / m ∈ Z }