I- On considère, dans $~\left(M_2(\mathbb{R}),+, x\right)$, les matrices :

$$I=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad  \text { et }\quad  A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 & 0 \\0 & -2 & -1 \\0 & 1 & 1\end{array}\right)$$

1. On a:

$I-A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3-\sqrt{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right)$

Et:

$\begin{aligned}: A^2&=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 & 0 \\0 & -2 & -1 \\0 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2} & 0 & 0 \\0 & -2 & -1 \\0 & 1 & 1\end{array}\right) \\& =\left(\begin{array}{ccc}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2 & 0 & 0 \\0 & 4-1 & 2-1 \\0 & -2+1 & -1+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3-\sqrt{5}}{2} & 0 & 0 \\0 & 3 & 1 \\0 & -1 & 0\end{array}\right) \\&\end{aligned}\\[0.5cm]$

2. On trouve $~\mathrm{A}^2=\mathrm{I}-\mathrm{A}~$. ce qui équivaut à :

$$A(A+1)=I=(A+I) A $$

Cela montrer bien que $A$ est inversible dans $\left(M_2(\mathbb{R}),+, x\right)$ et que : $~\mathrm{A}^{-1}=\mathrm{A}+\mathrm{I}$.

II- Pour tous réel $a , b$ de l'intervalle $\mathrm{I}=] 1,+\infty[$ on pose :

$$a * b=\sqrt{a^2 b^2-a^2-b^2+2}$$

1. On a $~(\forall x \in \mathbb{R}),$

$\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)+1=x^2 y^2-x^2-y^2+1+1=y^2 x^2-x^2-y^2+2~$ Cqfd.$\\[0.5cm]$

2. De la question précédente, on déduit que :

$\forall ~a , b \in \mathrm{I},~ a^2 b^2-a^2-b^2+2=\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)+1>1$,

car: $~a^2-1>0~$ et $~b^2-1>0$.

Par conséquent: $\forall a, b \in \mathrm{I},~a * b \in \mathrm{I}$ et donc $*$ est une loi de composition interne sur $I\\[0.5cm]$

3. On rappelle que $\left(\mathbb{R}^*, \times\right)$ est un groupe commutatif.

a. L'application $\varphi$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^*$,

donc $\varphi$ est une injection de $\mathbb{R}_{+}^*$ sur $~\varphi\left(\mathbb{R}_{+}^*\right)= ] \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \varphi(x), \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \varphi(x)[=] 1,+\infty[=I$

* Montrons que $\varphi$ est un homomorphisme :

On a: $\quad \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{* 2}$;

$\begin{aligned} \varphi(x) * \varphi(y) & =\sqrt{(x+1)(y+1)-(x+1)-(y+1)+2} \\ & =\sqrt{x y+x+y+1-x-y}=\varphi(x \times y)\end{aligned}$

Donc $\varphi$ est un isomorphisme de $\left(\mathbb{R}_{+}^*, \times\right)$ sur $\left(\mathrm{I}, *\right)\\[0.5cm]$

b. D'après la question 3- a. on a $\left(\mathbb{R}_{+}^*, \times\right)$ et $\left(I, *\right)$ sont isomorphes ;

donc puisque $\left(\mathbb{R}_+^*, \times\right)$ est un groupe commutatif alors $\left(I,*\right)$ est un groupe commutatif.$\\[0.5cm]$

c. On a $: ~\Gamma=\left\{\sqrt{1+2^{\mathrm{m}}} / ~\mathrm{m} \in \mathbb{Z}\right\}=\varphi\left(\left\{2^{\mathrm{m}} / ~\mathrm{m} \in \mathbb{Z}\right\}\right)$

et l'ensemble $~\left\{2^{\mathrm{m}} /~ \mathrm{m} \in \mathbb{Z}\right\}~$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif $\left(\mathbb{R}_{+}^*, \times\right)$ donc son image $\Gamma$ est un sous-groupe du groupe $(\mathrm{I}, *)~$ (comme image par $\varphi$ de $\left\{2^{\mathrm{m}} / ~\mathrm{m} \in \mathbb{Z}\right\}$ ).