1. On a 

$$ u_{1}=\frac{2 u_{0}}{2 u_{0}+5}=\frac{2 \times \frac{3}{2}}{2 \times \frac{3}{2}+5}=\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8} $$

2. On montre par récurrence que pour tout n de N ,  $$u_{n}>0$$

Pour $n=0$  on a $u_{0}=\frac{3}{2}$

donc $u_{0}>0$

Donc la relation est correcte pour $$n=0$$

Soit $$ n \in \mathbb{N} $$

On suppose que $$u_{n}>0$$ et on montre que $$u_{v+1}>0$$

D’après la supposition , on a $$u_{n}>0$$

Donc

$$2 u_{n}+5>0 \quad \text{et}\quad 2 u_{n}>0$$

Donc $$~\frac{2 u_{n}}{2 u_{n}+5}>0 $$

Alors $~u_{n+1}>0$

La relation est correcte pour $$n+1$$

On déduit alors par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

$$0<u_{n+1} \leq \frac{2}{5} u_{n} $$  

3. a) 

* On sait que $U_{n} \geqslant 0 \Rightarrow 2 U_{n} \geqslant 0$

$\Rightarrow 2 U_{n}+5 \geqslant 0 \Rightarrow \frac{1}{2 U_{n}+5} \leqslant \frac{1}{5}$

$\Rightarrow \frac{2 U_{n}}{2 U_{n}+5} \leqslant \frac{2}{5} U_{n} $

$\Rightarrow U_{n+1} \leqslant \frac{2}{5} U_{n}$

$\Rightarrow 0 \leqslant U_{n+1} \leqslant \frac{2}{5} U_{n}$

* On montre par récurrence que $0 \leqslant \bigcup_{n} \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} $

On a pour $n=0, \quad U_{0}=\frac{3}{2} ~\text { et } ~0 \leqslant \frac{3}{2} \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{0}$

La relation est correcte pour $n=0$

On suppose que $~0 \leqslant U_{n} \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$

et on montre que $~ \mid 0 \leqslant U_{n+1} \leqslant\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}$

D'après la supposition, on a $0<U_{n} \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$

Donc $0<\frac{2}{5} U_{n}+1 \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}$

Et on sait que $\quad 0<U_{n+1} \leqslant \frac{2}{5} U_{n}$

Donc $0\left< U_{n+1} \leqslant \frac{2}{5} U_{n} \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}\right.$

Alors $\quad 0<U_{n}+1 \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}$  

b) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , on a $0<U_{n} \leqslant \frac{2}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$

Puisque $-1<\frac{2}{5}\langle 1 ~$ donc $~\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}=0$

Donc $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \frac{2}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}=0$

Et d'après la régle des gendarmes on déduit que : 

$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} U_{n}=0$

4. a) soit $n$ de $\mathbb{N}$, on a :

$$ \begin{aligned} v_{n+1} &=\frac{4 u_{n+1}}{2 u_{n+1}+3} \\ &=\frac{4\left(\frac{2 u_{s}}{2 u_{n}+5}\right)}{2\left(\frac{2 u_{n}}{2 u_{n}+5}\right)+3} \\ &=\frac{\frac{8 u_{n}}{2 u_{n}+5}}{\frac{4 u_{n}+6 u_{s}+15}{2 u_{n}+5}} \\ &=\frac{8 u_{n}}{10 u_{n}+15} \\ &=\frac{2 \times 4 u_{n}}{5 \times\left(2 u_{n}+3\right)} \\ &=\frac{2}{5} \times v_{n} \end{aligned} $$

Donc $$ \left(v_{n}\right)$$ est une suite géométrique de raison $$\frac{2}{5} $$  

b) On a $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{5}$ et on a

$$V_{0}=\frac{4 U_{0}}{2 U_{0}+5}=\frac{6}{6}=1$$

Alors $~V_{n}=V_{0} \times q^{n}=1 \times\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$

Donc $~V_{n}=\left(\frac{2}{5}\right)^{n}~$  pour tout $n$ de $\mathbb{N}$$

Et on a :

$$ \begin{aligned} v_{n}=\frac{4 u_{n}}{2 u_{n}+3} & \Leftrightarrow 4 u_{n}=2 u_{n} v_{n}+3 v_{n} \\ & \Leftrightarrow 4 u_{n}-2 u_{n} v_{n}=3 v_{n} \\ & \Leftrightarrow u_{n}\left(4-2 v_{n}\right)=3 v_{n} \\ & \Leftrightarrow  u_{n}=\frac{3 v_{n}}{4-2 v_{n}} \end{aligned} $$  

Donc pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ :

$$ u_{n}=\frac{3\left(\frac{2}{5}\right)^{n}}{4-2\left(\frac{2}{5}\right)^{n}} $$