1) a)
On a: $$\overrightarrow{A B}\left(\begin{array}{c} 0-1 \\ -2+1 \\ 1+1 \end{array}\right)=\overrightarrow{A B}\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) $$
et $$~ \overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{c} 1-1 \\ -2+1 \\ 0+1 \end{array}\right)=\overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) $$
$$\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{AB}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{AC}}&=\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)\\ &=\left|\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array}\right| \overrightarrow{\mathrm{i}}-\left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}\right| \overrightarrow{\mathrm{j}}+\left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -1 & -1 \end{array}\right| \overrightarrow{\mathrm{k}}\\ &=(-1+2) \overrightarrow{\mathrm{i}}-(-1+0) \overrightarrow{\mathrm{j}}+(1+0) \overrightarrow{\mathrm{k}} . \end{aligned} $$
Donc on déduit que $$\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} $$
1 ) b) on a le vecteur $$~\overrightarrow{\mathrm{AB}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{AC}}(1,1,1)~$$ est un vecteur normal au plan $$(\mathrm{ABC})$$
donc l'équation du plan $(ABC)$ est de la forme:
$$\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}+\mathrm{d}=0$$
Le point $$\mathrm{A}(1,-1,-1)$$ appartient au plan $$(\mathrm{ABC})$$
donc :
$$1 \times 1+1 \times(-1)+1 \times(-1)+\mathrm{d}=0$$
d'où $$\mathrm{d}=1$$.
Donc on déduit que $$~ x+y+z+1=0$$ est une équation cartésienne du plan $$(A B C) $$
2) on a :
$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+2 y-2 z+1=0 $$
$$\Leftrightarrow x^{2}-4 x+4-4+y^{2}+2 y+1-1+z^{2}-2 z+1-1+1=0 $$
$$ \Leftrightarrow (x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1+(z-1)^{2}-1+1=0 $$
$$\Leftrightarrow (x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=5=\sqrt{5}^{2} $$
Donc le centre de la sphère $(S)$ est $\Omega(2,-1,1)$ et son rayon est $$R=\sqrt{5} $$
3) a) on a :
$$ d(\Omega,(A B C))=\frac{\left|x_{\Omega}+y_{\Omega}+z_{\Omega}+1\right|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{|2-1+1+1|}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} $$
3) b) Puisque le rayon du cercle est $R=\sqrt{5}$ et on a
$\mathrm{d}(\Omega,(\mathrm{ABC}))=\sqrt{3}<\sqrt{5}$
D'où l'intersection du plan $(ABC)$ et la sphère $(S)$ sera un cercle $(T).$
