1) a)

 On a: $\overrightarrow{A B}\left(\begin{array}{c} 0-1 \\ -2+1 \\ 1+1 \end{array}\right)=\overrightarrow{A B}\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)$

et $~ \overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{c} 1-1 \\ -2+1 \\ 0+1 \end{array}\right)=\overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)$

$\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{AB}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{AC}}&=\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)\\ &=\left|\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array}\right| \overrightarrow{\mathrm{i}}-\left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}\right| \overrightarrow{\mathrm{j}}+\left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -1 & -1 \end{array}\right| \overrightarrow{\mathrm{k}}\\ &=(-1+2) \overrightarrow{\mathrm{i}}-(-1+0) \overrightarrow{\mathrm{j}}+(1+0) \overrightarrow{\mathrm{k}} . \end{aligned}$

Donc on déduit que $\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$

1 ) b) on a le vecteur $~\overrightarrow{\mathrm{AB}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{AC}}(1,1,1)~$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{ABC})$

donc l'équation du plan $(ABC)$ est de la forme:

$\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}+\mathrm{d}=0$

Le point $\mathrm{A}(1,-1,-1)$ appartient au plan $(\mathrm{ABC})$

donc :

$1 \times 1+1 \times(-1)+1 \times(-1)+\mathrm{d}=0$

d'où $\mathrm{d}=1$.

Donc on déduit que $~ x+y+z+1=0$ est une équation cartésienne du plan $(A B C)$

2) on a :

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+2 y-2 z+1=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-4 x+4-4+y^{2}+2 y+1-1+z^{2}-2 z+1-1+1=0$

$\Leftrightarrow (x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1+(z-1)^{2}-1+1=0$

$\Leftrightarrow (x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=5=\sqrt{5}^{2}$

Donc le centre de la sphère $(S)$ est $\Omega(2,-1,1)$  et son rayon est $R=\sqrt{5}$

3) a) on a :

$d(\Omega,(A B C))=\frac{\left|x_{\Omega}+y_{\Omega}+z_{\Omega}+1\right|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{|2-1+1+1|}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

3) b) Puisque le rayon du cercle est $R=\sqrt{5}$ et on a

$\mathrm{d}(\Omega,(\mathrm{ABC}))=\sqrt{3}<\sqrt{5}$

D'où l'intersection du plan $(ABC)$ et la sphère $(S)$ sera un cercle $(T).$