1) On a $\overrightarrow{A B}\left(\begin{array}{c} 1-0 \\ -2-(-2) \\ -4-(-2) \end{array}\right)$

alors : $\overrightarrow{A B}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right)$

Et on a : $\overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{c} -3-0 \\ -1-(-2) \\ 2-(-2) \end{array}\right),$

alors : $\overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{c} -3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)$

D'où : $\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=\left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -2 & 4 \end{array}\right| \vec{i}-\left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{array}\right| \vec{k}$

c-à-d:  $~ \overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=(0+2) \vec{i}-(4-6) \vec{j}+(1-0) \vec{k}$

Ce qui donne : $~\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=2 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}$

On a

$\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=2 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}$

Alors le vecteur $\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$ est normal au plan $(A B C)$.

Donc une équation cartésienne du plan $(A B C)$ s'écrit:

$(A B C):~~ 2 x+2 y+z+d=0 ~$ avec $~d \in \mathbb{R}$.

Déterminons la valeur de $d$.

Puisque $A(0,-2,-2) \in(A B C)$

Alors en remplaçant dans l'équation précédente on trouve:

$2 \times 0+2 \times(-2)+(-2)+d=0$

C-à-d : $~~-6+d=0$

D'où : $~d=6$

Et par suite : $~(A B C): ~2 x+2 y+z+6=0$

2) Soit $M(x, y, z)$ un point de l'espace.

On a

$\begin{aligned} M \in(S) & \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 z-23=0 \\ & \Leftrightarrow\left(x^{2}-2 x\right)+y^{2}+\left(z^{2}-2 z\right)=23 \\ & \Leftrightarrow\left(x^{2}-2 x+1\right)+y^{2}+\left(z^{2}-2 z+1\right)=23+1+1 \\ & \Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-0)^{2}+(z-1)^{2}=5^{2} \end{aligned}$

D'où $(S)$ est une sphère de centre $\Omega(1,0,1)$ et de rayon $R=5$.  

3). A  La droite $(\Delta)$ est perpendiculaire au plan $(A B C)$.

Alors tout vecteur normal au plan $(A B C)$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.

On sait que la le vecteur $\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$ est normal au plan $(A B C)$,

alors $\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.

Et puisque la droite

$(\Delta)$ passe par le point $\Omega(1,0,1)$,alors une représentation paramétrique de $(\Delta)$ est :

$\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=0+2 t \quad ; ~ (t \in \mathbb{R}) \\ z=1+t\end{array}\right.$

3) .B Soit

$H(x, y, z)$ le point d'intersection de la droite $(\Delta)$ et du plan $(A B C)$.

On a

$(A B C): 2 x+2 y+z+6=0 \quad$ et $\quad\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=2 t \\ z=1+t\end{array} \quad ;~(t \in \mathbb{R})\right.$.

Alors:

$H \in(\Delta) \cap(A B C) \Leftrightarrow \exists t \in \mathbb{R}:~ 2(1+2 t)+2(2 t)+(1+t)+6=0$

On a :

$\begin{aligned} 2(1+2 t)+2(2 t)+(1+t)+6=0 & \Leftrightarrow 2+4 t+4 t+1+t+6=0 \\ & \Leftrightarrow 9 t=-9 \\ & \Leftrightarrow t=-1 \end{aligned}$

D'où $~x=1+2 \times(-1), y=2 \times(-1) ~\text { et } ~z =1+(-1)$

C-à-d : $H(-1,-2,0)$

4) On a:

$(A B C): ~2 x+2 y+z+6=0~$ et $~\Omega(1,0,1)$,

alors

$\begin{aligned} d(\Omega,(A B C)) &=\frac{\left|2 x_{\Omega}+2 y_{\Omega}+z_{\Omega}+6\right|}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}\\ &=\frac{|2 \times 1+2 \times 0+1+6|}{\sqrt{9}} \\ &=\frac{|9|}{3}=3 \end{aligned}$

On a : $~d(\Omega,(A B C))=3 ~$ et $~R=5$.

Donc $~d(\Omega,(A B C))<R~$, ce qui implique que le plan $(A B C)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle de rayon $r$ tel que:

$r=\sqrt{R^{2}-3^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$

Le centre de ce cercle est l'intersection la droite passant par $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(A B C)$, c'est la droite $(\Delta) .$

Donc le centre est le point $H(-1,-2,0)$ trouvé à la question 3) $\mathrm{b}$ ).