1) On a $$\overrightarrow{A B}\left(\begin{array}{c} 1-0 \\ -2-(-2) \\ -4-(-2) \end{array}\right)$$

alors : $$\overrightarrow{A B}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right)$$

Et on a : $$\overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{c} -3-0 \\ -1-(-2) \\ 2-(-2) \end{array}\right),$$

alors : $$\overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{c} -3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)$$

D'où : $$\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=\left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -2 & 4 \end{array}\right| \vec{i}-\left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{array}\right| \vec{k}$$

c-à-d:  $$~ \overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=(0+2) \vec{i}-(4-6) \vec{j}+(1-0) \vec{k}$$

Ce qui donne : $$~\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=2 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k} $$

On a

$$\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=2 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}$$

Alors le vecteur $$\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$$ est normal au plan $$(A B C)$$.

Donc une équation cartésienne du plan $$(A B C)$$ s'écrit:

$$ (A B C):~~ 2 x+2 y+z+d=0 ~$$ avec $$~d \in \mathbb{R}$$.

Déterminons la valeur de $$d$$.

Puisque $$A(0,-2,-2) \in(A B C)$$

Alors en remplaçant dans l'équation précédente on trouve:

$$ 2 \times 0+2 \times(-2)+(-2)+d=0 $$

C-à-d : $$ ~~-6+d=0 $$

D'où : $$~d=6$$

Et par suite : $$~(A B C): ~2 x+2 y+z+6=0$$

2) Soit $$M(x, y, z)$$ un point de l'espace.

On a

$$ \begin{aligned} M \in(S) & \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 z-23=0 \\ & \Leftrightarrow\left(x^{2}-2 x\right)+y^{2}+\left(z^{2}-2 z\right)=23 \\ & \Leftrightarrow\left(x^{2}-2 x+1\right)+y^{2}+\left(z^{2}-2 z+1\right)=23+1+1 \\ & \Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-0)^{2}+(z-1)^{2}=5^{2} \end{aligned} $$

D'où $$(S)$$ est une sphère de centre $$\Omega(1,0,1)$$ et de rayon $$R=5$$.  

3). A  La droite $$(\Delta)$$ est perpendiculaire au plan $$(A B C)$$.

Alors tout vecteur normal au plan $$(A B C)$$ est un vecteur directeur de la droite $$(\Delta)$$.

On sait que la le vecteur $$\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$$ est normal au plan $$(A B C)$$,

alors $$\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$$ est un vecteur directeur de la droite $$(\Delta)$$.

Et puisque la droite

$$(\Delta)$$ passe par le point $$\Omega(1,0,1)$$,alors une représentation paramétrique de $$(\Delta)$$ est :

$$\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=0+2 t \quad ; ~ (t \in \mathbb{R}) \\ z=1+t\end{array}\right.$$

3) .B Soit

$$H(x, y, z)$$ le point d'intersection de la droite $$(\Delta)$$ et du plan $$(A B C)$$.

On a

$$(A B C): 2 x+2 y+z+6=0 \quad$$ et $$\quad\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=2 t \\ z=1+t\end{array} \quad ;~(t \in \mathbb{R})\right.$$.

Alors:

$$H \in(\Delta) \cap(A B C) \Leftrightarrow \exists t \in \mathbb{R}:~ 2(1+2 t)+2(2 t)+(1+t)+6=0$$

On a :

$$ \begin{aligned} 2(1+2 t)+2(2 t)+(1+t)+6=0 & \Leftrightarrow 2+4 t+4 t+1+t+6=0 \\ & \Leftrightarrow 9 t=-9 \\ & \Leftrightarrow t=-1 \end{aligned} $$

D'où $$~x=1+2 \times(-1), y=2 \times(-1) ~\text { et } ~z =1+(-1) $$

C-à-d : $$H(-1,-2,0)$$

4) On a:

$$(A B C): ~2 x+2 y+z+6=0~$$ et $$~\Omega(1,0,1)$$,

alors

$$ \begin{aligned} d(\Omega,(A B C)) &=\frac{\left|2 x_{\Omega}+2 y_{\Omega}+z_{\Omega}+6\right|}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}\\ &=\frac{|2 \times 1+2 \times 0+1+6|}{\sqrt{9}} \\ &=\frac{|9|}{3}=3 \end{aligned} $$

On a : $$~d(\Omega,(A B C))=3 ~$$ et $$~R=5$$.

Donc $$~d(\Omega,(A B C))<R~$$, ce qui implique que le plan $$(A B C)$$ coupe la sphère $$(S)$$ selon un cercle de rayon $$r$$ tel que:

$$ r=\sqrt{R^{2}-3^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4 $$

Le centre de ce cercle est l'intersection la droite passant par $$\Omega$$ et perpendiculaire au plan $$(A B C)$$, c'est la droite $$(\Delta) .$$

Donc le centre est le point $$H(-1,-2,0)$$ trouvé à la question 3) $$\mathrm{b}$$ ).