1 . a) On sait qu'équation cartésienne d'un plan est de la forme:

$a x+b y+c z+d=0$

On a le vecteur $\vec{u}(1,0,-1)$ est un vecteur normal au plan $(P)$

donc l'équation du plan $(P)$  est de la forme : $\quad x-z+d=0$

Et on a :

$A \in(P) \Leftrightarrow x_{A}-z_{A}+d=0 \Leftrightarrow 0-1 + d=0 \Leftrightarrow d=1$

Donc on déduit que $x-z+1=0$  est une équation cartésienne du plan $(P)$  

1 .b) on a :

$\begin{aligned} d[\Omega ;(P)] &=\frac{\left|x_{\Omega}-z_{\Omega}+1\right|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} \\ &=\frac{|0+1+1|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \end{aligned}$

Et on a :

$d[\Omega ;(P)]=R$

Donc on déduit que le plan $(P)$  est tangent à la sphère $(S)$

Puisque on a :

$x_{B}-z_{B}+1=-1+1=0$

Donc :

$B \in(P)$

Et puisqu on a :

$\Omega B=\sqrt{(0+1)^{2}+(1-1)^{2}+(-1-0)^{2}}=\sqrt{2}=R$

Donc :

$B \in(S)$

Donc on déduit que $B(-1,1,0)$ est le point de contact. 

2 .a) On a la droite $(\Delta)$ passe par le point $A$

Et puisque le vecteur $\vec{u}(1,0,-1)$ est un vecteur normal au plan $(P)$ et la droite $(\Delta)$ est perpendiculaire au plan $(P)$

Donc le vecteur $\vec{u}(1,0,-1)$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$

Donc une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ est :

$\left\{\begin{array} { l }  { x = 0 + 1 t } \\ { y = 1 + 0 t } \\ { z = 1 + ( - 1 ) t } \end{array} \quad t \in \mathbb { R } \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=t \\ y=1 \\ z=1-t \end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.\right.$  

2 .b) on a :

$\begin{aligned} d\left(\Omega,(\Delta)\right) &=\frac{\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|} \\ &=\frac{\sqrt{0^{2}+2^{2}+0^{2}}}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \end{aligned}$

 la droite $(\Delta)$  est tangente à la sphère $(S)$  au point $C(1,1,0)$

On a

$C(1,1,0)~ \text { et }~~(S): x^{2}+(y-1)^{2}+(z+1)^{2}=2$

Par remplacement on trouve :

$2=2 \Leftrightarrow 1^{2}+(1-1)^{2}+(0+1)^{2}=2$

Donc : $C \in(S)$

Et on  a :

$(\Delta):\left\{\begin{array} { l }  { x = 0 + 1 t } \\ { y = 1 + 0 t } \\ { z = 1 - 1 t } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l }  { 1 = 0 + 1 t } \\ { 1 = 1 + 0 t } \\ { 0 = 1 - 1 t } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} t=1 \\ 1=1 \\ t=1 \end{array}\right.\right.\right.$

Donc : $C \in(\Delta)$

Donc on déduit que $C(1,1,0)$ est le point de contact.

3 . On a :

$\begin{aligned} \overrightarrow{O C} \wedge \overrightarrow{O B} &=\left|\begin{array}{rr} 1 & -1 & \vec{i} \\ 1 & 1 & \vec{j} \\ 0 & 0 & \vec{k} \end{array}\right| \\ &=\left|\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right| \vec{i}-\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right| \vec{k} \\ &=0 \vec{i}-0 \vec{j}+2 \vec{k}=2 \vec{k} \end{aligned}$

Donc :

$S=\frac{\|\overrightarrow{O C} \wedge \overrightarrow{O B}\|}{2}=\frac{2}{2}=1$