1- Calcul de $u_1$ et $u_2$

$\begin{aligned} * u_1 & =u_{0+1}+\frac{1}{3} u_0-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}(-1)-\frac{1}{2}=\frac{-5}{6} \\ * u_2 & =u_{1+1}+\frac{1}{3} u_1-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\left(\frac{-5}{6}\right)-\frac{1}{2} \\ & =\frac{-28}{36}=\frac{-14}{18}=\frac{-7}{9}\end{aligned}$

2- Pour $n=0$ on $a: u_0=-1$ et $-1<\frac{-3}{4}$

donc : $u_0<\frac{-3}{4}$

Supposons $u_n<\frac{-3}{4}$

et démontrons que $u_{n+1}<\frac{-3}{4}$

On a: $\begin{aligned} u_{n+1} & -\left(\frac{-3}{4}\right)=u_{n+1}+\frac{3}{4}=\frac{1}{3} u_n-\frac{1}{2}+\frac{3}{4} \\ = & \frac{1}{3} u_n+\frac{1}{4}<0 \quad\left(\text { car } \frac{1}{3} u_n<-\frac{1}{4}\right)\end{aligned}$

D'où $: \forall n \in \mathbb{N} u_n<-\frac{3}{4}$

3- a- On $a: \forall n \in \mathbb{N} ; u_n<\frac{-3}{4}$ càd $u_n+\frac{3}{4}<0$ et comme $\frac{-2}{3}<0$, alors $u_{n+1}-u_n \geqslant 0$ donc la suite $\left(u_n\right)_n$ est croissante.

4- On a la suite $\left(u_n\right)_n$ est croissante, majorée par $\frac{-3}{4}$ donc elle est convergente.

5- a- On a: $v_0=u_0+\frac{3}{4}=-1+\frac{3}{4}=\frac{-4+3}{4}=\frac{-1}{4}$

b- On a $\forall n \in \mathbb{N}$ :

$v_{n+1}=u_{n+1}+\frac{3}{4}=\frac{1}{3} u_n-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

$=\frac{1}{3} u_n+\frac{3-2}{4}=\frac{1}{3} u_n+\frac{1}{4}$

Donc: $v_{n+1}=\frac{1}{3}\left(u_n+\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}\right)=\frac{1}{3}\left(u_n+\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{3} v_n$

D'où la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$

c- On a: $v_n=v_0 \cdot q^n=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^n$

d- On a $\forall n \in \mathbb{N}$ :

$v_n=u_n+\frac{3}{4} \Rightarrow u_n=v_n-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^n-\frac{3}{4}$

                         $=-\frac{1}{4}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^n+3\right)$

6- On $a-1<\frac{1}{3}<1$ donc $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n=0$

d'où: $\lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=-\frac{1}{4}(3)=\frac{-3}{4}$