1- On $a: \quad u_0=2$

et $u_{n+1}=\frac{1}{2} u_n+\frac{1}{7}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$

Donc : $u_1=\frac{1}{2} u_0+\frac{1}{7}=\frac{1}{2} \times 2+\frac{1}{7}=1+\frac{1}{7}=\frac{8}{7}$

et $u_2=\frac{1}{2} u_1+\frac{1}{7}=\frac{1}{2} \times \frac{8}{7}+\frac{1}{7}=\frac{4}{7}+\frac{1}{7}=\frac{5}{7}$

2- a- Pour $n=0 ;$ on $a: u_0=2$ et $2-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}>0$

D'où: $\quad u_0-\frac{2}{7} \geqslant 0$

Soit $n \in \mathbb{N} ;$ supposons que $u_n-\frac{2}{7} \geqslant 0$

et montrons que : $u_{n+1}-\frac{2}{7} \geqslant 0$

On $a: u_{n+1}-\frac{2}{7}=\frac{1}{2} u_n+\frac{1}{7}-\frac{2}{7}=\frac{1}{2} u_n-\frac{1}{7}$

$=\frac{1}{2}\left(u_n-\frac{2}{7}\right)$

Et puis que : $u_n-\frac{2}{7} \geqslant 0 \quad$ et $\quad \frac{1}{2}>0$

Alors: $u_{n+1}-\frac{2}{7} \geqslant 0$

Par la suite pour tout $n \in \mathbb{N} ; u_n-\frac{2}{7} \geqslant 0$

b- Pour tout $n \in \mathbb{N}$; on $a$ :

$\begin{aligned} u_{n+1}-u_n & =\frac{1}{2} u_n+\frac{1}{7}-u_n=-\frac{1}{2} u_n+\frac{1}{7} \\ & =-\frac{1}{2}\left(u_n-\frac{2}{7}\right)\end{aligned}$

Et puisque : $u_n-\frac{2}{7} \geqslant 0 \quad$ et $\quad-\frac{1}{2}<0$

Alors: $u_{n+1}-u_n \leqslant 0$

Par la suite $\left(u_n\right)_n$ est décroissante.

3- La suite $\left(u_n\right)_n$ est décroissante et puis que pour tout $n \in \mathbb{N} ; u_n-\frac{2}{7} \geqslant 0 \quad$ càd $u_n \geqslant \frac{2}{7}$

Alors $\left(u_n\right)_n$ est minorée par $\frac{2}{7}$.

Donc la suite $\left(u_n\right)_n$ est convergente.

4- a- On a pour tout $n \in \mathbb{N} ; v_n=u_n-\frac{2}{7}$

D'où : $\quad v_0=u_0-\frac{2}{7}=2-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}$

b- On $a ;$ pour tout $n \in \mathbb{N}$;

$v_{n+1}=u_{n+1}-\frac{2}{7}=\frac{1}{2}\left(u_n-\frac{2}{7}\right) \quad($ voir 2- a)

D'où: $v_{n+1}=\frac{1}{2} v_n$

Donc la suite $\left(v_n\right)_n$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.

c- * $\left(v_n\right)_n$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=\frac{12}{7}$; donc pour tout $n \in \mathbb{N} ; v_n=v_0\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{12}{7}\left(\frac{1}{2}\right)^n$

* On sait que pour tout $n \in \mathbb{N} ; v_n=u_n-\frac{2}{7}$

Donc $u_n=v_n+\frac{2}{7}=\frac{12}{7}\left(\frac{1}{2}\right)^n+\frac{2}{7}$

5- On a; pour tout $n \in \mathbb{N} ; u_n=\frac{12}{7}\left(\frac{1}{2}\right)^n+\frac{2}{7}$

et puis que $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=0$; car $-1<\frac{1}{2}<1$

Alors $\lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=\frac{2}{7}$