1-a- Calcul de $u_1$ et $u_2$ :

On $a: \quad u_1=\frac{1}{5} u_0+\frac{2}{5}=\frac{6}{5}+\frac{2}{5}=\frac{8}{5}$

et : $u_2=\frac{1}{5} u_1+\frac{2}{5}=\frac{1}{5} \cdot \frac{8}{5}+\frac{2}{5}=\frac{8+10}{25}=\frac{18}{25}$

1-b- Montrons par recurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}: u_n>\frac{1}{2}$

Pour $n=0$ on $a: u_0=6$

et $6>\frac{1}{2}$ donc $: u_0>\frac{1}{2}$

Supposons que: $u_n>\frac{1}{2}$

et montrons que: $u_{n+1}>\frac{1}{2}$

Càd que: $u_{n+1}-\frac{1}{2}>0$

On a: $u_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{5} u_n+\frac{2}{5}-\frac{1}{2}=\frac{1}{5} u_n-\frac{1}{10}$

                    $=\frac{1}{5}\left(u_n-\frac{1}{2}\right)>0$

car: $u_n>\frac{1}{2}$

Donc: $u_{n+1}>\frac{1}{2}$

D'où : $\forall n \in \mathbb{N}: u_n>\frac{1}{2}$

1-c- On a pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{5} u_n+\frac{2}{5}-u_n=\left(\frac{1}{5}-1\right) u_n+\frac{2}{5}$$

Càd: $u_{n+1}-u_n=\frac{-4}{5} u_n+\frac{2}{5}=\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}-u_n\right)$

1-d- Comme $u_n>\frac{1}{2}$ alors $\frac{1}{2}-u_n<0$

Donc: $u_{n+1}-u_n<0$

cela signifie que la suite $\left(u_n\right)_n$ est décroissante et puis qu'elle est minerée par $\frac{1}{2}$ alors elle est convergente.

2- On $a: \forall n \in \mathbb{N}: V_n=u_n-\frac{1}{2}$

2-a- On a:

$$v_{n+1}=u_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{5}\left(u_n-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{5} v_n$$

Donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\left(\frac{1}{5}\right)$

2-b- On a: $v_0=u_0-\frac{1}{2}=6-\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$

2-c- On a: $\forall n \in \mathbb{N} \quad \mathrm{v}_n=\mathrm{v}_0 . q^n=\frac{11}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n$

et comme $\mathrm{v}_n=u_n-\frac{1}{2}$

alors:

$u_n=v_n+\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(11\left(\frac{1}{5}\right)^n+1\right)$

2-d- On a: $\quad 0<\frac{1}{5}<1$

Donc: $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^n=0$

D'où: $\lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{2}\left(11\left(\frac{1}{5}\right)^n+1\right)=\frac{1}{2}$

3- On a: $\quad S_n=u_0+u_1+u_2+.............+u_{n-1}$

$\begin{aligned} & =\left(\mathrm{v}_0+\mathrm{v}_1 \ldots \ldots . .+\mathrm{v}_{n-1}\right)+(\underbrace{\frac{1}{2}+\ldots \ldots \ldots . .+\frac{1}{2}}_{n \text { terme }}) \\ & =\mathrm{v}_0 \cdot \frac{1-(q)^{[n-1-0+1]}}{1-q}+\frac{n}{2} \\ & =\frac{11}{2} \frac{1-\left(\frac{1}{5}\right)^n}{1-\frac{1}{5}}+\frac{n}{2}=\frac{11}{2} \cdot \frac{5}{4}\left(1-\left(\frac{1}{5}\right)^n\right)+\frac{n}{2} \\ & =\frac{55}{8}\left(1-\left(\frac{1}{5}\right)^n\right)+\frac{n}{2}\end{aligned}$