1.1. $\mathrm{u}_{\mathrm{R}}+\mathrm{u}_{\mathrm{C}}=\mathrm{E}~$ (loi d'additivité des tensions)

$\mathrm{u}_{\mathrm{R}}=\mathrm{R} \cdot \mathrm{i}=\mathrm{R} \cdot\left(\mathrm{C} \cdot \frac{\mathrm{du}_{\mathrm{C}}}{\mathrm{dt}}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{R} \cdot \mathrm{C} \cdot \frac{\mathrm{du}_{\mathrm{C}}}{\mathrm{dt}}+\mathrm{u}_{\mathrm{C}}=\mathrm{E}~$: Équation différentielle vérifiée par $\mathrm{u}_{\mathrm{C}}\\[0.5cm]$

1.2.1. La courbe correspondante à $\mathrm{u_C(t)}$ est la courbe $(\mathbf{1})$ car le condensateur est initialement déchargé $\mathrm{\left(u_C(0)=0\right)}\\[0.5cm]$

1.2.2. a. La tangente à la courbe $(\mathbf{1})$ à $\mathrm{t}_{\mathrm{o}}=0$ rencontre l'asymptote $~\mathrm{u}_{\mathrm{C}}=\mathrm{E}~$ au point d'abscisse $~\mathrm{t}=\tau=5 \mathrm{~ms}.\\[0.5cm]$

b. $\mathrm{u}_{\mathrm{R}}(0)+\mathrm{u}_{\mathrm{C}}(0)=\mathrm{E} \Rightarrow \mathrm{u}_{\mathrm{R}}(0)=\mathrm{E}-\mathrm{u}_{\mathrm{C}}(0)=\mathrm{E}~~\left(\right.$ car $\left._{\mathrm{C}}(0)=0\right)$

Sur la courbe $(\mathbf{2})$, on lit $~~\mathrm{E=u_R(0)=2 \times 5=10} \mathrm{~V}\\[0.5cm]$

1.2.3. $\tau=\mathrm{R} \cdot \mathrm{C} \Rightarrow \mathrm{C}=\frac{\tau}{\mathrm{R}}=\frac{5 \cdot 10^{-3}}{100}=5 \cdot 10^{-5} \mathrm{~F}\\[0.5cm]$

1.2.4. $\mathrm{u}_{\mathrm{R}}(0)=\mathrm{R} \cdot \mathrm{i}(0)=\mathrm{E} \Rightarrow \mathrm{I}_{\max }=\mathrm{i}(0)=\frac{\mathrm{E}}{\mathrm{R}}=\frac{10}{100}=0,1 \mathrm{~A}\\[0.5cm]$

1.2.5. $\mathrm{u}_{\mathrm{C}}(\mathrm{t})=\mathrm{E} \cdot\left(1-\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{t}}{\tau}}\right)=10 \cdot\left(1-\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{t}}{5 \cdot 10^{-3}}}\right)=10 \cdot\left(1-\mathrm{e}^{-200 \mathrm{t}}\right)$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{du}_{\mathrm{C}}}{\mathrm{dt}}=2000 \cdot \mathrm{e}^{-200 \mathrm{t}}$

$\mathrm{i}=\mathrm{C} \cdot \frac{\mathrm{du}_{\mathrm{C}}}{\mathrm{dt}}=5 \cdot 10^{-5} \times 2000 \cdot \mathrm{e}^{-200 \mathrm{t}}=0,1 \cdot \mathrm{e}^{-200 \mathrm{t}}$ :

la lettre correspondante à la proposition vraie est A. $\\[0.5cm]$

1.2.5. Pour charger plus rapidement ce condensateur, il faut diminuer la valeur de $~\tau=\mathrm{R} \cdot \mathrm{C}~$ c'est-à-dire la valeur de $\mathrm{R}$ qui est réglable.$\\[0.5cm]$

2.1. Régime pseudo périodique. $\\[0.5cm]$

2.2. $\mathrm{T}=\mathrm{T}_{\mathrm{o}}=2 \pi \sqrt{\mathrm{L} \cdot \mathrm{C}} \Rightarrow \mathrm{L}=\frac{\mathrm{T}^2}{4 \pi^2 \cdot \mathrm{C}}=\frac{\left(20 \cdot 10^{-3}\right)^2}{4 \times 10 \times 5 \cdot 10^{-5}}=0,2 \mathrm{H}\\[0.5cm]$

2.3.1. $\left\{\begin{array}{l}\mathscr{E}_{\mathrm{eo}}=\frac{1}{2} \mathrm{C} \cdot \mathrm{u}_{\mathrm{C}}^2\left(\mathrm{t}_{\mathrm{o}}\right)=\frac{1}{2} \times 5 \cdot 10^{-5} \times 10^2=2,5 \cdot 10^{-3} \mathrm{~J} \\[0.2cm] \mathscr{E}_{\mathrm{el}}=\frac{1}{2} \mathrm{C} \cdot \mathrm{u}_{\mathrm{C}}^2\left(\mathrm{t}_1\right)=\frac{1}{2} \times 5 \cdot 10^{-5} \times 5^2=6,25 \cdot 10^{-4} \mathrm{~J}\end{array}\right.\\[0.5cm]$

2.3.2. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}_{\mathrm{C}}^2\left(\mathrm{t}_{\mathrm{o}}=0\right)=10 \mathrm{~V} \text { et } \mathrm{i}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{o}}\right)=0 \Rightarrow \mathscr{E}_{\text {totale }}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{o}}\right)=\mathscr{E}_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{o}}\right)+\mathscr{E}_{\mathrm{m}}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{o}}\right)=\mathscr{E}_{\mathrm{eo}} \\[0.2cm] \mathrm{u}_{\mathrm{C}}^2\left(\mathrm{t}_1=\mathrm{T}\right)=10 \mathrm{~V} \text { et } \mathrm{i}\left(\mathrm{t}_1\right)=0 \Rightarrow \mathscr{E}_{\text {totale }}\left(\mathrm{t}_1\right)=\mathscr{E}_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{t}_1\right)+\mathscr{E}_{\mathrm{m}}\left(\mathrm{t}_1\right)=\mathscr{E}_{\mathrm{el}}\end{array}\right.\\[0.5cm]$

Donc $\Delta \mathscr{E}_{\mathrm{e}}=\mathscr{E}_{\mathrm{el}}-\mathscr{E}_{\mathrm{e} o}=6,25 \cdot 10^{-4}-2,5 \cdot 10^{-3}=-1,875 \cdot 10^{-3} \mathrm{~J}$

Il y a dissipation d'énergie par effet joule à cause de la résistance $\mathrm{r}$ de la bobine.