PC 2BAC| Quiz 3| Dérivabilité et étude des fonctions

Déterminer $f^{\prime}$ de la fonction $f(x)=(-2 x^{3} +7 x^{2} – x +4)^{5}$

$f^{\prime}(x)=5(-2 x^{3} +7 x^{2} – x +4)^{4}$
$ f^{\prime}(x)=5(-6 x^{2} + 14x -1)(-2 x^{3} +7 x^{2} – x +4)^{4}$
$ f^{\prime}(x)=5(-6 x^{2} + 14x -1)(-2 x^{3} +7 x^{2} – x +4)^{6}$
$f^{\prime}(x)=5(-3 x^{2} + 14x -1)(-2 x^{3} +7 x^{2} – x +4)^{4}$

Déterminer $f^{\prime}(x)$ de la fonction $f(x)=\cos(3x^{2}-5x+7)$ sur $ \mathbb{R} $

$(\forall x \in \mathbb{R}) f^{\prime}(x)=-\sin(3x^{2}-5x+7)$
$(\forall x \in \mathbb{R}) f^{\prime}(x)=(6x-5)\cos(3x^{2}-5x+7)$
$(\forall x \in \mathbb{R}) f^{\prime}(x)=-(6x-5)\sin(3x^{2}-5x+7)$
$(\forall x \in \mathbb{R}) f^{\prime}(x)=(6x-5)\sin(3x^{2}-5x+7)$

Calculer $f^{\prime}$ de la fonction définie par $f(x)=x^{3}-\sqrt{x} \tan x+\frac{\sin x}{x}$

$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-\left(\frac{\tan x}{2 \sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\cos ^{2} x}\right)+\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}$
$f^{\prime}(x)=3 x^{3}-\left(\frac{\cos x}{2 \sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\cos ^{2} x}\right)+\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}$
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-\left(\frac{\tan x}{2 \sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\cos x}\right)+\frac{x \cos x-\tan}{x^{2}}$
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-\left(\frac{\tan x}{2 x}+\frac{\sqrt{x}}{\cos ^{2} x}\right)+\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}$

Calculer $f^{\prime}$ de la fonction définie par $f(x)=\left(\frac{x+1}{x^{2}+3 x+7}\right)^{3}$

$\left(\forall x \in D_{f}\right) f^{\prime}(x)=\frac{3\left(x^{2}+2 x-4\right)(x+1)^{2}}{\left(x^{2}+3 x+7\right)^{4}}$
$\left(\forall x \in D_{f}\right) f^{\prime}(x)=-\frac{3\left(x^{2}+2 x-4\right)(x+1)}{\left(x^{2}+3 x+7\right)^{4}}$
$\left(\forall x \in D_{f}\right) f^{\prime}(x)=-\frac{3\left(x^{2}+2 x-4\right)(x+1)^{2}}{\left(x^{2}+3 x+7\right)^{3}}$
$\left(\forall x \in D_{f}\right) f^{\prime}(x)=-\frac{3\left(x^{2}+2 x-4\right)(x+1)^{2}}{\left(x^{2}+3 x+7\right)^{4}}$

On considère la fonction $f$ définie par $\begin{cases}f(x)=-\frac{x^{3}}{x^{2}+1} & \text { si } x \leq 0 \\ f(x)=x+\sqrt{x^{2}+2 x} & \text { si } x>0\end{cases}$ .Calculer $f^{\prime}$

$\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=-\frac{x^{4}+3 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \text { si } x>0 \\ f^{\prime}(x)=1+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x}} \text { si } x<0\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}+3 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \text { si } x<0 \\ f^{\prime}(x)=1+\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+2 x}} \text { si } x>0\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=\frac{x^{4}+3 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \text { si } x<0 \\ f^{\prime}(x)=1+\frac{x+1}{\sqrt{x^{3}+2 3}} \text { si } x>0\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=-\frac{x^{4}+3 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \text { si } x<0 \\ f^{\prime}(x)=1+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x}} \text { si } x>0\end{array}\right.$

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par

$f(x)=x(\sqrt{x}-2)^{2}$ la fonction $f$ vérifiant

$f^{\prime}(x)=2(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)$ et $f$ croissante sur $[0;1]$
$f^{\prime}(x)=2(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)$ et $f$ croissante sur $[1;4]$
$f^{\prime}(x)=2(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3)$ et $f$ croissante sur $[0;1]$
$f^{\prime}(x)=2(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)$ et $f$ décroissante sur $[0;1]$

Soit $f$ la fonction définie dans la question 6

$f$ est concave sur $]0;\frac{9}{4}]$ et convexe sur $[\frac{9}{4};+\infty[$
$f$ est convexe sur $]0;\frac{9}{4}]$ et concave sur $[\frac{9}{4};+\infty[$
$f$ est concave sur $]0;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$
$f$ est concave sur $]0;4]$ et convexe sur $[4;+\infty[$

Soit $\mathbb{C}_{f}$ la courbe de la fonction $f$ ;définie dans la question 6; admet un unique point d’inflexion qui est

$I(4;f(4))$
$I(1;f(1))$
$I(\frac{9}{2};f(\frac{9}{2}))$
$I(\frac{9}{4};f(\frac{9}{4}))$

Résoudre l’équation $f(x)=x$ avec $f$ est la fonction définie dans la question 6

$S=\{0 ; 1\}$
$S=\{1 ; 9\}$
$S=\{0 ; 1 ; 9\}$
$S=\{0 ; 2 ; 9\}$

Soit $g$ la restriction de la fonction f sur $[4;+\infty[$ ;$f$ est la fonction définie dans la question 6;Déterminer $g^{-1}(x)$

$g^{-1}(x)=(\sqrt{1+\sqrt{x}}+1)^{2}$
$g^{-1}(x)=(\sqrt{2+\sqrt{x}}+1)^{2}$
$g^{-1}(x)=(\sqrt{2+x}+1)^{2}$
$g^{-1}(x)=(\sqrt{1+\sqrt{x}})^{2}$

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