SM 2BAC | Dérivation et étude des fonctions | Quiz 3

Déterminer $f^{\prime}(x)$ de la fonction $f(x)=(-2 x^{3} +7 x^{2} – x +4)^{5}$

1. $(\forall x \in \mathbb{R}) f^{\prime}=5(-2 x^{3} +7 x^{2} – x +4)^{4}$
2. $(\forall x \in \mathbb{R}) f^{\prime}=5(-6 x^{2} + 14x -1)(-2 x^{3} +7 x^{2} – x +4)^{4}$
3. $(\forall x \in \mathbb{R}) f^{\prime}=5(-6 x^{2} + 14x -1)(-2 x^{3} +7 x^{2} – x +4)^{6}$
4. $(\forall x \in \mathbb{R}) f^{\prime}=5(-3 x^{2} + 14x -1)(-2 x^{3} +7 x^{2} – x +4)^{4}$

Déterminer $f^{\prime}(x)$ de la fonction $f(x)=\cos(3x^{2}-5x+7)$ sur $\mathbb{R}$

1. $(\forall x \in \mathbb{R}) f^{\prime}=-\sin(3x^{2}-5x+7)$
2. $(\forall x \in \mathbb{R}) f^{\prime}=(6x-5)\cos(3x^{2}-5x+7)$
3. $(\forall x \in \mathbb{R}) f^{\prime}=-(6x-5)\sin(3x^{2}-5x+7)$
4. $(\forall x \in \mathbb{R}) f^{\prime}=(6x-5)\sin(3x^{2}-5x+7)$

Calculer $f^{\prime}$ de la fonction définie par $f(x)=x^{3}-\sqrt{x} \tan x+\frac{\sin x}{x}$

1. $\left(\forall x \in D_{f}\right) f^{\prime}(x)=3 x^{2}-\left(\frac{\tan x}{2 \sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\cos ^{2} x}\right)+\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}$
2. $\left(\forall x \in D_{f}\right) f^{\prime}(x)=3 x^{3}-\left(\frac{\cos x}{2 \sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\cos ^{2} x}\right)+\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}$
3. $\left(\forall x \in D_{f}\right) f^{\prime}(x)=3 x^{2}-\left(\frac{\tan x}{2 \sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\cos x}\right)+\frac{x \cos x-\tan}{x^{2}}$
4. $\left(\forall x \in D_{f}\right) f^{\prime}(x)=3 x^{2}-\left(\frac{\tan x}{2 x}+\frac{\sqrt{x}}{\cos ^{2} x}\right)+\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}$

Calculer $f^{\prime}$ de la fonction définie par $f(x)=\left(\frac{x+1}{x^{2}+3 x+7}\right)^{3}$

1. $\left(\forall x \in D_{f}\right) f^{\prime}(x)=\frac{3\left(x^{2}+2 x-4\right)(x+1)^{2}}{\left(x^{2}+3 x+7\right)^{4}}$
2. $\left(\forall x \in D_{f}\right) f^{\prime}(x)=-\frac{3\left(x^{2}+2 x-4\right)(x+1)}{\left(x^{2}+3 x+7\right)^{4}}$
3. $\left(\forall x \in D_{f}\right) f^{\prime}(x)=-\frac{3\left(x^{2}+2 x-4\right)(x+1)^{2}}{\left(x^{2}+3 x+7\right)^{3}}$
4. $\left(\forall x \in D_{f}\right) f^{\prime}(x)=-\frac{3\left(x^{2}+2 x-4\right)(x+1)^{2}}{\left(x^{2}+3 x+7\right)^{4}}$

On considère la fonction $f$ définie par $\begin{cases}f(x)=-\frac{x^{3}}{x^{2}+1} & \text { si } x \leq 0 \\ f(x)=x+\sqrt{x^{2}+2 x} & \text { si } x>0\end{cases}$ .Calculer $f^{\prime}$

1. $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=-\frac{x^{4}+3 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \text { si } x>0 \\ f^{\prime}(x)=1+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x}} \text { si } x<0\end{array}\right.$
2. $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}+3 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \text { si } x<0 \\ f^{\prime}(x)=1+\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+2 x}} \text { si } x>0\end{array}\right.$
3. $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=\frac{x^{4}+3 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \text { si } x<0 \\ f^{\prime}(x)=1+\frac{x+1}{\sqrt{x^{3}+2 3}} \text { si } x>0\end{array}\right.$
4. $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=-\frac{x^{4}+3 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \text { si } x<0 \\ f^{\prime}(x)=1+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x}} \text { si } x>0\end{array}\right.$

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $f(x)=x(\sqrt{x}-2)^{2}$ la fonction $f$ vérifiant

1. $\left(\forall x \in mathbb{R}^{+}\right) f^{\prime}(x)=2(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)$ et $f$ croissante sur $[0;1]$
2. $\left(\forall x \in mathbb{R}^{+}\right) f^{\prime}(x)=2(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)$ et $f$ croissante sur $[1;4]$
3. $\left(\forall x \in mathbb{R}^{+}\right) f^{\prime}(x)=2(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3)$ et $f$ croissante sur $[0;1]$
4. $\left(\forall x \in mathbb{R}^{+}\right) f^{\prime}(x)=2(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)$ et $f$ décroissante sur $[0;1]$

Soit $f$ la fonction définie dans la question 6

1. $f$ est concave sur $]0;\frac{9}{4}]$ et convexe sur $[\frac{9}{4};+\infty[$
2. $f$ est convexe sur $]0;\frac{9}{4}]$ et concave sur $[\frac{9}{4};+\infty[$
3. $f$ est concave sur $]0;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$
4. $f$ est concave sur $]0;4]$ et convexe sur $[4;+\infty[$

Soit $\mathbb{C}_{f}$ la courbe de la fonction $f$ ;définie dans la question 6; admet un unique point d’inflexion qui est

1. $I(4;f(4))$
2. $I(1;f(1))$
3. $I(\frac{9}{2};f(\frac{9}{2}))$
4. $I(\frac{9}{4};f(\frac{9}{4}))$

Résoudre l’équation $f(x)=x$ avec $f$ est la fonction définie dans la question 6

1. $S=\{0 ; 1\}$
2. $S=\{1 ; 9\}$
3. $S=\{0 ; 1 ; 9\}$
4. $S=\{0 ; 2 ; 9\}$

Soit $g$ la restriction de la fonction f sur $[4;+\infty[$ ; $f$ est la fonction définie dans la question 6;Déterminer $g^{-1}(x)$

1. $g^{-1}(x)=(\sqrt{1+\sqrt{x}}+1)^{2}$
2. $g^{-1}(x)=(\sqrt{2+\sqrt{x}}+1)^{2}$
3. $g^{-1}(x)=(\sqrt{2+x}+1)^{2}$
4. $g^{-1}(x)=(\sqrt{1+\sqrt{x}})^{2}$

Soit f la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=-x+\sqrt{x^2+1}$ si $x \ge0$ et $f(x)=\frac{4}{\pi}Arctan(-x+\sqrt{x^2+1})$ si $x<0$ . Choisir la bonne réponse:

1. $(\forall x \in \mathbb{R}^*)$ $f'(x)<0$
2. $(\forall x \in \mathbb{R}^*)$ $f'(x) \le 0$
3. $(\forall x \in \mathbb{R}^*)$ $f'(x)=0$
4. $(\forall x \in \mathbb{R}^*)$ $f'(x)>0$

$(\forall x \in \mathbb{R^+})$ $f(x)=x^3+4x^2+6x-1$ . Choisir la bonne réponse:

1. f s'annule une fois et une seule sur $[0;+\infty[$ en un point $\alpha$ t.q: $\alpha \in ]\frac{1}{2},1[$
2. f ne s'annule pas sur $[0;+\infty[$
3. f s'annule 2 fois sur $[0;+\infty[$
4. f s'annule une fois et une seule sur $[0;+\infty[$ en un point $\alpha$ t.q: $\alpha \in ]0;\frac{1}{2}[$

$g(x)=Arctan(\frac{1}{x-1})-\frac{x}{(x-1)^2+1}$ . Choisir la bonne réponse:

1. $g'(x)=\frac{x-3}{((x-1)^2+5)^2}$ $(\forall x \in D_g)$
2. $g'(x)=\frac{2x-4}{((x-1)^2+1)^2}$ $(\forall x \in D_g)$
3. $g'(x)=\frac{x-4}{((x-2)^2+1)^2}$ $(\forall x \in D_g)$
4. $g'(x)=\frac{2x-2}{((x-2)^2+1)^2}$ $(\forall x \in D_g)$

Soit g une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et dérivable en 0,telle que: $\lim \limits_{x \rightarrow 0 } \frac{g(2x)-g(x)}{x}=l$ .Alors:

1. $g'(0)=l$
2. $g'(0)=2l$
3. $g'(0)=-l$
4. $g'(0)=\frac{l}{2}$

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