L'ordre dans IR

Fiche de cours

Ordre et opération dans l'ensemble des nombres réels R

$a$ et $b$ de l'ensemble $\mathbb{R}$ .

Trouver une comparaison entre $a$ et $b$ dans les cas suivants :

Réponse :

$(b-a)$ appartient à $\mathbb{R^{+}}$ , signifie que $b-a \geq 0$
Donc : $b \geq a$ .
$(b-a)$ appartient à $\mathbb{R^{+*}}$ , signifie que $b-a>0$
Donc : $b>a$ .

Soient $a$ et $b$ de l'ensemble $\mathbb{R}$ .

$a$ est inférieur ou égal à $b$ équivaut à $(b-a) \in \mathbb{R^+}$ , on écrit également $a \leq b$
$a$ est strictement inférieur à $b$ équivaut à $(b-a) \in \mathbb{R^{+*}}$ , on écrit également $a < b$
$a$ est supérieur ou égal à $b$ équivaut à $(a-b) \in \mathbb{R^+}$ , on écrit également $a \geq b$
$a$ est strictement supérieur à $b$ équivaut à $(a-b) \in \mathbb{R^{+*}}$ , on écrit également $a > b$

On a $\frac{5}{9} > \frac{2}{9}$ et $\sqrt{2} > 1$ .

Propriété

Soient $a$ , $b$ , $c$ et $d$ des éléments de $\mathbb{R}$ .

Si $( a \leq b )$ et $( b \leq c )$ alors $a \leq c$ . On dit que l'ordre est transitif.
Si $( a \leq b )$ et $( c \in \mathbb{R} )$ alors : $a+c \leq b+c$ et $a - c \leq b - c$
Si $( a \leq b )$ et $( c \leq d )$ alors $a+c \leq b+d$ . ( l'ordre est compatible avec l'addition).
Si $( c > 0 )$ et $( a \leq b )$ alors $a.c \leq b.c$ et $\frac{a}{c} \leq \frac{b}{c}$
Si $( c < 0 )$ et $( a \leq b )$ alors $a.c \geq b.c$ et $\frac{a}{c} \geq \frac{b}{c}$
Si $a$ et $b$ sont non nuls et de même signe on a : $a \leq b$ équivaut à $\frac{1}{a} geq \frac{1}{b}$ .
Si $a$ et $b$ sont positifs on a : $a \leq b$ équivaut à $a^2 \leq b^2$ .
Si $a$ et $b$ sont positifs on a : $a \leq b$ équivaut à $a^n \leq b^n$ avec $n \in \mathbb{N}$
Si $a$ et $b$ sont positifs on a : $a \leq b$ équivaut à $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$

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Remarque

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