L'ordre dans IR

Fiche de cours

Ordre et opération dans l'ensemble des nombres réels R

$$a$$ et $$b$$ de l'ensemble $$\mathbb{R}$$.

Trouver une comparaison entre $$a$$ et $$b$$ dans les cas suivants :

Réponse :

$$(b-a)$$ appartient à $$\mathbb{R^{+}}$$ , signifie que $$b-a \geq 0$$
Donc : $$b \geq a$$.
$$(b-a)$$ appartient à $$\mathbb{R^{+*}}$$ , signifie que $$b-a>0$$
Donc : $$b>a$$.

تعريف

Soient $$a$$ et $$b$$ de l'ensemble $$\mathbb{R}$$.

$$a$$ est inférieur ou égal à $$b$$ équivaut à $$(b-a) \in \mathbb{R^+}$$, on écrit également $$a \leq b$$
$$a$$ est strictement inférieur à $$b$$ équivaut à $$(b-a) \in \mathbb{R^{+*}}$$, on écrit également $$a < b$$
$$a$$ est supérieur ou égal à $$b$$ équivaut à $$(a-b) \in \mathbb{R^+}$$, on écrit également $$a \geq b$$
$$a$$ est strictement supérieur à $$b$$ équivaut à $$(a-b) \in \mathbb{R^{+*}}$$, on écrit également $$a > b$$

On a $$ \frac{5}{9} > \frac{2}{9}$$ et $$\sqrt{2} > 1$$.

خاصية

Soient $$a$$,$$b$$ , $$c$$ et $$d$$ des éléments de $$\mathbb{R}$$.

Si $$ ( a \leq b )$$ et $$ ( b \leq c )$$ alors $$ a \leq c $$. On dit que l'ordre est transitif.
Si $$ ( a \leq b )$$ et $$ ( c \in \mathbb{R} )$$ alors : $$ a+c \leq b+c $$ et $$ a - c \leq b - c $$
Si $$ ( a \leq b )$$ et $$ ( c \leq d )$$ alors $$ a+c \leq b+d $$. ( l'ordre est compatible avec l'addition).
Si $$ ( c > 0 )$$ et $$ ( a \leq b )$$ alors $$ a.c \leq b.c $$ et $$ \frac{a}{c} \leq \frac{b}{c} $$
Si $$ ( c < 0 )$$ et $$ ( a \leq b )$$ alors $$ a.c \geq b.c $$ et $$ \frac{a}{c} \geq \frac{b}{c} $$
Si $$a$$ et $$b$$ sont non nuls et de même signe on a : $$ a \leq b$$ équivaut à $$\frac{1}{a} geq \frac{1}{b}$$.
Si $$a$$ et $$b$$ sont positifs on a : $$a \leq b$$ équivaut à $$a^2 \leq b^2$$.
Si $$a$$ et $$b$$ sont positifs on a : $$a \leq b$$ équivaut à $$a^n \leq b^n$$ avec $$ n \in \mathbb{N}$$
Si $$a$$ et $$b$$ sont positifs on a : $$a \leq b$$ équivaut à $$\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$$