Limites et continuité 2BAC SPC

Fiche de cours

Limite d'une fonction en un point (Rappels)

Limites usuelles

خاصية

Soit $n$ un entier naturel non nul et $k$ un nombre réel. Alors:

$\lim\limits_{x \rightarrow 0}~ k x^{n}=0\\[0.2cm]$
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} ~k \sqrt{|x|}=0\\[0.2cm]$
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} ~k\left(x-x_{0}\right)^{n}=0\\[0.2cm]$
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} ~k \sqrt{\left|x-x_{0}\right|}=0\\[0.2cm]$
$\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} ~\frac{1}{x^{n}}=+\infty ~~$ et $~~\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty\\[0.2cm]$
$\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}}~ \frac{1}{x^{n}}=+\infty~$ si l'entier $n$ est pair. $\\[0.2cm]$
$\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} ~\frac{1}{x^{n}}=-\infty~$ si l'entier $n$ est impair.

خاصية

Soit $n$ un entier naturel non nul et $k$ un nombre réel. Alors:

$\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x^{n}=+\infty ~~$ et $~~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}=+\infty \\[0.2cm]$
$\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} x^{n}=+\infty~$ si l'entier $n$ est pair $\\$ et $~\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} x^{n}=-\infty~$ si l'entier $n$ est impair. $\\[0.2cm]$
$\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} ~\frac{k}{x^{n}}=0 \\[0.2cm]$
$\lim\limits _{x \rightarrow-\infty}~ \frac{k}{x^{n}}=0 \\[0.2cm]$
$\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} ~\frac{k}{\sqrt{x}}=0 \\[0.2cm]$
$\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} ~\frac{k}{\sqrt{-x}}=0.$

Remarque

- La limite d'une fonction en un point est une notion locale ; c'est-à-dire que cette notion ne dépend de la fonction qu'au voisinage de ce point. $\\[0.2cm]$ - Soit $\ell \in \mathbb{R} .\\[0.2cm]$ En posant $x-x_{0}=h$ , on obtient:

$\lim\limits _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\ell \Leftrightarrow \lim\limits _{h \rightarrow 0} f\left(x_{0}+h\right)=\ell.\\$

- Si la limite d'une fonction numérique $f$ existe en un point, alors elle est unique. $\\[0.2cm]$ - Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ . On a les limites suivantes:

$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}}~ \frac{1}{x-x_{0}}=+\infty$
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} ~\frac{1}{x-x_{0}}=-\infty$
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} ~\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{2}}=+\infty$
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}}~ \frac{1}{\sqrt{x-x_{0}}}=+\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} ~\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{n}}=+\infty~$ si $~n$ est un entier pair.
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} ~\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{n}}=+\infty~$ et $~\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{n}}=-\infty~$ si $~n$ est un entier impair.

Limites Des Fonctions Usuelles

خاصية

Soit $P$ et $Q$ deux fonctions polynomiales et $x_{0} \in \mathbb{R}.$ Alors: $\\[0.2cm]$

$\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} P(x)=P\left(x_{0}\right)\\[0.2cm]$
Si $~Q\left(x_{0}\right) \neq 0~$ alors $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P\left(x_{0}\right)}{Q\left(x_{0}\right)}\\[0.2cm]$
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \sin x=\sin x_{0}\\[0.2cm]$
Si $x_{0} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi~$ avec $~k \in \mathbb{Z},~$ alors $~~\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \tan x=\tan x_{0}\\[0.2cm]$
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \cos x=\cos x_{0}\\[0.2cm]$
Si $x_{0} \geq 0~$ alors $~~\lim\limits_{x \rightarrow 4} \sqrt{x}=\sqrt{x_{0}}\\[0.2cm]$
$\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\\[0.2cm]$
$\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}=1\\[0.2cm]$
$\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}$

Opérations sur les limites

خاصية

Soit $f$ et $g$ deux fonctions numériques et $x_{0} \in \mathbb{R} .\\[0.2cm]$ Si $~\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\ell~$ et $~\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=\ell^{\prime}~$ alors: $\\[0.2cm]$

$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}(f+g)(x)=\ell+\ell^{\prime}\\[0.2cm]$
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}(f g)(x)=\ell \ell^{\prime}\\[0.2cm]$
$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}|f(x)|=|\ell|\\[0.2cm]$
Si $~\ell '\neq 0~$ alors $~\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}(\frac{1}{g})(x)= \frac{1}{\ell '}~$ et $~\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}(\frac{f}{g})(x)= \frac{\ell}{\ell '} \\[0.2cm]$
Si $~k \in \mathbb{R}~$ alors $~ ~\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}(k f)(x)=k l.\\[0.2cm]$
Si $~\ell \geq 0~$ alors $~~\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \sqrt{f(x)}=\sqrt{\ell}$ .

Remarque

Ces propriétés restent aussi valables quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ ou vers $x_{0}$ à droite ou à gauche.

خاصية

Soit $P$ et $Q$ deux fonctions polynômes définies par : $\\$

$P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0} \\[0.2cm]$ et $Q(x)=b_{p} x^{p}+b_{p-1} x^{p-1}+\ldots+b_{1} x+b_{0}\\$

où $a_{n}, \ldots, a_{1}, a_{0}, b_{p}, \ldots, b_{0}$ des réels tels que : $a_{n} \neq 0$ et $b_{p} \neq 0.\\$

$\bullet$ La limite d'une fonction polynôme en $+\infty$ et $-\infty$ est la limite du monôme de plus haut degré : $\\[0.2cm]\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} a_{n} x^{n} \quad \quad \text { et } \quad \quad \lim\limits_{x \rightarrow-\infty} P(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} a_{n} x^{n}\\[0.2cm]$ $\bullet$ La limite d'une fonction rationnelle en $+\infty$ et $-\infty$ est la limite du quotient des monômes de plus haut degré: $\\[0.2cm] \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{b_{p} x^{p}} \quad \quad$ et $\quad \quad \lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{b_{p} x^{p}}$

Opérations sur les limites infinies

On admet toutes les opérations suivantes. Dans ce qui suit, $x_{0}$ est un nombre réel ou $+\infty$ ou $-\infty~ ;~ \ell$ et $\ell^{\prime}$ sont deux nombres réels. Ces opérations restent valables pour les limites à droite et à gauche en $x_{0}\\[0.2cm]$ L'abréviation $F.I$ " signifie : Forme indéterminée ", c'est-à-dire qu'on ne peut pas déterminer la limite immédiatement et tout résultat est possible.

Limite d'une somme de deux fonction:

$\lim\limits _{x \rightarrow a} f(x)$	$l$	$l$	$l$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim\limits _{x \rightarrow a} g(x)$	$l^{\prime}$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim\limits _{x \rightarrow a} (f+g)(x)$	$l+l^{\prime}$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$F.I$

Limite d'un produit de deux fonctions :

$\lim\limits _{x \rightarrow a} f(x)$	$l$	$l<0$	$l>0$	$l<0$	$l>0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$-\infty ~$ ou $~+\infty$
$\lim\limits _{x \rightarrow a} g(x)$	$l^{\prime}$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$0$
$\lim\limits _{x \rightarrow a} (f.g)(x)$	$l.l^{\prime}$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$F.I$

Limite d'un quotient de deux fonctions:

$\lim\limits _{x \rightarrow a} f(x)$	$l$	$l$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty ~$ ou $~ +\infty$
$\lim\limits _{x \rightarrow a} g(x)$	$\ell' \neq 0$	$-\infty$ ou $+\infty$	$\ell>0$ ou $0^{+}$	$\ell>0$ ou $0^{+}$	$\ell<0$ ou $0^{-}$	$\ell<0$ ou $0^{-}$	$-\infty ~$ ou $~+\infty$
$\lim\limits _{x \rightarrow a} (\frac{f}{g})(x)$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$F.I$

\lim\limits _{x \rightarrow a} f(x)

l

l

+\infty

-\infty

+\infty

-\infty

-\infty ~

~ +\infty

\lim\limits _{x \rightarrow a} g(x)

\ell' \neq 0

$-\infty$

$+\infty$

$\ell>0$

$0^{+}$

$\ell>0$

$0^{+}$

$\ell<0$

$0^{-}$

$\ell<0$

$0^{-}$

-\infty ~

~+\infty

\lim\limits _{x \rightarrow a} (\frac{f}{g})(x)

\frac{\ell}{\ell'}

0

+\infty

-\infty

-\infty

+\infty

F.I

Limite de l'inverse d'une fonction:

$\lim\limits _{x \rightarrow a} f(x)$	$\ell \neq 0$	$0^{+}$	$0^{-}$	$-\infty ~$ ou $~+\infty$
$\lim\limits _{x \rightarrow a}\left(\frac{1}{f}\right)(x)$	$\frac{1}{\ell}$	$+\infty$	$-\infty$	$0$

Limite et ordre

خاصية

Soit $f, g$ et $h$ des fonctions numériques définies sur un intervalle $I$ et $\\ \ell \in \mathbb{R}\\[0.2cm]$

1. Si $f(x) \geq g(x)$ au voisinage de $x_{0}~$ et $~\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=+\infty$ , alors:

$\\ \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty\\[0.2cm]$

2. Si $f(x) \leq g(x)$ au voisinage de $x_{0}~$ et $~\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=-\infty$ , alors:

$\\ \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=-\infty\\[0.2cm]$

3. Si $~h(x) \leq f(x) \leq g(x)~$ au voisinage de $x_{0}\\$ et $~\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} h(x)=\ell$ , alors:

$\\ \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\ell \\[0.2cm]$

4. Si $~|f(x)-\ell| \leq g(x)~$ au voisinage de $x_{0}~$ et $~\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=0$ , alors:

$\\ \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\ell$ .

Remarque

- Les résultats de la proposition précédente restent aussi valables quand $x$ tend vers $x_{0}$ à droite ou à gauche ou vers $+\infty$ ou $-\infty\\[0.2cm]$ - Si $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ , alors $~~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{f(x)}=+\infty$

Ensemble de définition

Un petit rappel de cette notion qui nous suivra tout au long de ce cours sur la vidéo suivante

Vidéo Ensemble de définition

15 min

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Continuité d'une fonction numérique

Continuité d'une fonction en un point

تعريف

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_{0}$ un élément de $I$ . On dit que la fonction $f$ est continue au point $x_{0}$ si :

$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})$ .

Remarque

Si la fonction $f$ est définie au point $x_{0}$ et n'admet pas de limite en $x_{0}$ ou sa limite est infinie au point $x_{0}$ . on dit que $f$ est discontinue au point $x_{0}$ .

مثال

1) Soit $n \in \mathbb{N}^{*}\\[0.2cm]$ La fonction $f: x \mapsto x^{n}$ est continue en zéro $\\[0.2cm]$ car: $\lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0} x^{n}=0=f(0)\\[0.5cm]$ 2) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par:

$\\[0.2cm]\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{x^{2}-6 x+5}{x-1} ~~\text { si } x \neq 1 \\ f(1)=-4\end{array}\right.\\[0.2cm]$

Montrons que la fonction $f$ est continue au point $x_{0}=1\\[0.2cm]$ On a: $~\lim\limits _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x-5)}{x-1}=\lim\limits _{x \rightarrow 1}(x-5)=-4 .\\[0.2cm]$ D'où : $~\lim\limits _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1)\\[0.2cm]$ Par suite, la fonction $f$ est continue au point $x_{0}=1\\[0.5cm]$ 3) Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ par :

$\\[0.2cm]\left\{\begin{array}{l}g(x)=\frac{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{2 x}}{x-\sqrt{x}} ~~\text { si } x \neq 1 \\[0.2cm] g(1)=m\end{array}\right.$

où $m$ un paramètre réel.

Déterminons la valeur de $m$ pour que la fonction $g$ soit continue en $1 : \\[0.2cm]$ Soit $x$ un élément de l'intervalle $] 0 ;+\infty[$ distinct de $1 .$ On a : $\\[0.2cm] g(x)=\frac{\left(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{2 x}\right)\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2 x}\right)(x+\sqrt{x})}{\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2 x}\right)(x-\sqrt{x})(x+\sqrt{x})}=\frac{\left(1+x^{2}-2 x\right)(x+\sqrt{x})}{\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2 x}\right)\left(x^{2}-x\right)}\\[0.2cm]$ Par conséquent: $\\[0.2cm]g(x)=\frac{(x-1)^{2}(x+\sqrt{x})}{x(x-1)\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2 x}\right)}=\frac{(x-1)(x+\sqrt{x})}{x\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2 x}\right)}\\[0.2cm]$ Il s'ensuit donc que: $\\[0.2cm]\lim\limits _{x \rightarrow 1} g(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+\sqrt{x})}{x\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2 x}\right)}=\frac{0 \times 2}{1(\sqrt{2}+\sqrt{2})}=\frac{0}{2 \sqrt{2}}=0\\[0.2cm]$ Pour que la fonction $g$ soit continue en $1$ , il faut et il suffit que $\\ \lim\limits _{x \rightarrow 1} g(x)=g(1),~$ c'est à dire : $~m=0. \\[0.5cm]$ 4) Soit $h$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par :

$\\[0.2cm]\left\{\begin{array}{l}h(x)=x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right) \text { si } x \neq 0 \\[0.2cm] h(0)=0\end{array}\right.\\[0.2cm]$

Montrons que la fonction $h$ est continue en $0: \\[0.2cm]$ On sait que pour tout $x \in \mathbb{R}^{}: \sin \left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 \\[0.2cm]$ donc $~\left|x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq x^{2} .\\[0.2cm]$ D'où $:~\left(\forall x \in \mathbb{R}^{}\right)|h(x)| \leq x^{2}. \\[0.2cm]$ Comme $\lim\limits _{x \rightarrow 0} x^{2}=0$ , alors : $~\lim\limits _{x \rightarrow 0} h(x)=0=h(0). \\[0.2cm]$ Ainsi, la fonction $h$ est continue en $0.\\[0.5cm]$ 5) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par:

$\\[0.2cm]\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{(1-\cos (3 x)) \sin (2 x)}{x^{3}} \text { si } x \neq 0 \\[0.2cm] f(0)=\frac{35}{4}\end{array}\right.\\[0.2cm]$

Étudions la continuité de $f$ en $0$ : On a: $\\[0.2cm]\begin{aligned} \lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x) &=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos (3 x)) \sin (2 x)}{x^{3}} \\[0.2cm] &=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (3 x)}{(3 x)^{2}} \times(3 x)^{2} \times \frac{\sin (2 x)}{2 x} \times \frac{2 x}{x^{3}} \end{aligned}\\[0.2cm]$ Donc: $\\[0.2cm] \lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0} 18 \times \frac{1-\cos (3 x)}{(3 x)^{2}} \times \frac{\sin (2 x)}{2 x}=18 \times \frac{1}{2} \times 1=9\\[0.2cm]$ Puisque $\lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x) \neq f(0)$ , alors la fonction $f$ n'est pas continue en $0$ .

تطبيق

1. Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction $f$ au point $x_{0}:\\[0.2cm]$

a) $\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{-2 x^{2}-x+1}{x+1} ~~\text { si } ~x \neq-1 \\f(-1)=1 \;\;~\text{ et }~ x_{0}=-1 \end{array}\right .\\[0.2cm]$

b) $\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{x+\tan (2 x)}{\sin (3 x)} ~~\text { si } ~x \neq 0 \\[0.2cm] f(0)=1\end{array}\right.\\[0.2cm]$

c) $\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+x+2}-2}{x-1} ~~\text { si }~ x \neq 1 \\ f(1)=\frac{3}{4}\end{array}\right.\\[0.2cm]$

d) $\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x+1}-1} ~~\text { si } ~x \neq 0 \\f(0)=2\;\;~\text{ et }~ x_{0}=0\end{array}\right.\\[0.5cm]$

2. Soit $g$ la fonction numérique définie par:

$\\\left\{\begin{array}{l}g(x)=\frac{x^{3}-2 x^{2}-x+2}{x^{2}-4}~~ \text { si }~ x \neq 2 \\[0.2cm] g(2)=\lambda\end{array}\right.\\$

où $\lambda \in \mathbb{R}. \\[0.2cm]$

Déterminons la valeur du réel $\lambda$ pour que la fonction $g$ soit continue au point $x_{0}=2$ .

Vidéo Continuité en un point

15 min

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Continuité à droite et à gauche

تعريف

1) Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $\left[x_{0}, x_{0}+\alpha\left[\right.\right.$ où $\alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*}\\[0.2cm]$ On dit que $f$ est continue à droite en $x_{0}$ si : $\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} \atop x>x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)\\[0.3cm]$ 2) Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $\left.] x_{0}-\alpha, x_{0}\right]$ où $\alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*}.\\[0.2cm]$ On dit que $f$ est continue à gauche en $x_{0}$ si : $\lim\limits _{x \rightarrow x_{0} \atop x < x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$

خاصية

Une fonction numérique $f$ est continue au point $x_{0}$ si, et seulement si elle est continue à droite et à gauche au point $x_{0} .\\[0.2cm]$ En d'autres termes :

$\left(f\right.$ est continue au point $\left.x_{0}\right) \Leftrightarrow \lim\limits _{x \rightarrow x_{0} \atop x<x_{0}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow x_{0} \atop x>x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$

مثال

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par:

$\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}~~ \text { si } ~x>0 \\[0.2cm] f(x)=\frac{\cos x+\sin x-1}{4 x} ~~\text { si }~ x<0 \\[0.2cm] f(0)=\frac{1}{4}\end{array}\right.\\[0.2cm]$

Montrons que la fonction $f$ est continue en $0 :\\[0.2cm]$ Continuité à droite en $0 : \\[0.2cm]$ On a : $\begin{aligned}\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} &=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}\\ &=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} \end{aligned} \\[0.2cm]$ Donc: $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{4}\\[0.2cm]$ Puisque $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=f(0)$ , alors la fonction $f$ est continue à droite $\\$ en $0 .\\[0.2cm]$ - Continuité à gauche en $0.\\[0.2cm]$ On a: $\\[0.2cm] \begin{aligned}\lim\limits _{x \rightarrow 0^{\circ}} f(x)& =\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos x+\sin x-1}{4 x} =\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{\sin x}{4 x}-\frac{1-\cos x}{4 x}\right) \\[0.2cm] &=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{4} \times \frac{\sin x}{x}-\frac{1-\cos x}{x^{2}} \times \frac{x}{4}\right)\end{aligned} \\[0.2cm]$ Donc: $~\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\frac{1}{4} \times 1-\frac{1}{2} \times \frac{0}{4}=\frac{1}{4} .\\[0.2cm]$ Puisque $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=f(0)$ , alors $f$ est continue à gauche en $0 .\\[0.2cm]$ Puisque la fonction $f$ est continue à droite et à gauche en 0 , alors elle est continue en ce point.

Vidéo Continuité à gauche et à droite d'un point

15 min

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Continuité d'une fonction sur un intervalle

تعريف

1) Une fonction $f$ est continue sur un intervalle ouvert $I$ si elle est continue en tout point de $I$ . $\\[0.2cm]$ En particulier: $f$ est continue sur $] a ; b[$ si elle est continue en tout point de $] a ; b[. \\[0.3cm]$ 2) Une fonction $f$ est continue sur $[a ; b]$ si elle est continue sur $] a ; b[$ et continue à droite en $a$ et à gauche en $b.\\[0.3cm]$ 3) Une fonction $f$ est continue sur $[a ; b[$ si elle est continue sur $] a ; b[$ et continue à droite en $a.\\[0.3cm]$ 4) Une fonction $f$ est continue sur $] a ; b]$ si elle est continue sur $] a ; b[$ et continue à gauche en $b$ .

مثال

1) Toute fonction constante est continue sur $\mathbb{R}.\\[0.2cm]$ 2) Toute fonction polynomiale $P$ est continue sur $\mathbb{R}$ car pour tout $x_{0} \in \mathbb{R}: \lim\limits_{x \rightarrow x{0}} P(x)=P\left(x_{0}\right)\\[0.2cm]$ 3) Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition. $\\[0.2cm]$ 4) Les fonctions $x \mapsto \sin x$ et $x \mapsto \cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}.\\[0.2cm]$ 5) La fonction $x \mapsto \tan x$ est continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition. $\\[0.2cm]$ 6) La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}$

Vidéo Continuité sur un intervalle

15 min

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Opérations sur les fonctions continues

خاصية

Soit $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel. Alors: $\\[0.2cm]$

(1) Les fonctions $f+g ~, ~k . f~$ et $~ f . g$ sont continues sur $I. \\[0.2cm]$

(2) Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ , la fonction $f^{n}: x \mapsto(f(x))^{n}$ est continue sur $I.\\[0.2cm]$

(3) Si la fonction $g$ ne s'annule pas sur $I$ , alors $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues sur $1.\\[0.2cm]$ (4) La fonction $|f|$ est continue sur $I.\\[0.2cm]$ (5) Si la fonction $f$ est positive sur $I$ , alors $\sqrt{f}$ est continue sur $I$ .

Vidéo Opérations sur les fonctions continues

15 min

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Continuité de la composée de deux fonctions

خاصية

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$ , et soit $x_{0}$ un élément de $I.\\[0.2cm]$ Si $f$ est continue au point $x_{0}$ et $g$ est continue au point $f\left(x_{0}\right)$ , alors la fonction $g \circ f$ est continue en $x_{0}$ .

Corollaire

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $g$ est continue sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$ alors la fonction $g \circ f$ est continue sur l'intervalle $I$ .

مثال

1) Soit $f$ la fonction numérique définie par: $f(x)=\cos \left(2 x^{2}-3 x+4\right)\\[0.2cm]$ Montrons que la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ : $\\[0.2cm]$ Puisque les fonctions $f_{1}: x \mapsto 2 x^{2}-3 x+4~$ et $~f_{2}: x \mapsto \cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$ et $f_{1}(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R},~$ alors la fonction $f=f_{2} \circ f_{1}$ est continue sur $\mathbb{R}.\\[0.2cm]$ Soit $g$ la fonction numérique définie par: $g(x)=\sqrt{\frac{x}{1+\sin ^{2} x}}\\[0.2cm]$ Etudions la continuité de $g$ sur $\mathbb{R}^{*}: \\[0.2cm]$ La fonction $g_{1} : ~x \mapsto \frac{x}{1+\sin ^{2} x}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}$ et $g_{1}\left(\mathbb{R}^{+}\right) \subset \mathbb{R}^{+}, \\[0.2cm]$ et la fonction $g_{2} :~ x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}. \\[0.2cm]$ Il s'ensuit donc que la fonction $g=g_{2} \circ g_{1}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}$ .

Vidéo Continuité de la composée de deux fonctions

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Image d'un intervalle par une fonction continue

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