Fonctions exponentielles 2BAC BIOF- Kezakoo

Fiche de cours

Bnti liya mafhmti waloo! wa zid(i) kmml l cours ou ghatfhm(i) l blan!

La fonction exponentielle népérienne

Définition

La fonction réciproque de la fonction logarithme népérienne est appelée la fonction exponentielle népérienne, et on la note exp.

Exemple

$\ln(1)=0 \Leftrightarrow \exp(0)=1 \\[0.2cm]$
$\ln(e)=1 \Leftrightarrow \exp(1)=e \\[0.2cm]$
$\ln(3)=1.1 \Leftrightarrow \exp(1.1)=3$

Propriété

La fonction $\exp$ est une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^*_+ \\$
( $\forall x \in \mathbb{R}$ ) $\quad \exp(x)>0 \\$
( $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$ ) $\quad \exp(x)=\exp(y) \Leftrightarrow x=y \\$
La fonction $\exp$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}\\$
( $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$ ) $\quad \exp(x)>\exp(y) \Leftrightarrow x>y \\$
( $\forall x \in \mathbb{R}$ ) $\quad \ln(\exp(x))=x \\$
( $\forall x > 0$ ) $\quad \exp(\ln(x))=x$

Propriété

Soient $x$ et $y$ des éléments de $\mathbb{R}$ et $r$ un élément de $\mathbb{Q}$

$\exp(x+y)=\exp(x).\exp(y)\\[0.2cm]$
$\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\\[0.2cm]$
$\exp(x-y)=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}\\[0.2cm]$
$\exp(r.x)= (\exp(x))^r$

Application

Prouver, que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $~\exp(-x)-\exp(-2x)=\frac{\exp(x)-1}{\exp(2x)}\\$

Correction

$\exp(-x)-\exp(-2x) = \exp(-2x)\left(\frac{ \exp(-x)}{ \exp(-2x)}-1\right)=\frac{\exp(x)-1}{\exp(2x)}$

Une nouvelle écriture de la fonction $~\exp$

Sachant que: $~~\exp(1)=e\\$

On a: $~(\forall r \in Q$ ) $\quad \exp(r)=\exp(r.1)=(\exp(1))^r=e^r \\$

On prolongera cette écriture en notant pour tout $~x\in \mathbb{R}: \quad \exp(x)=e^x$

Propriété

Avec cette nouvelle notation, on résume les résultats vus précédemment par:

( $\forall x \in \mathbb{R}$ ) $\quad e^x>0\\[0.2cm]$
( $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$ ) $\quad e^x=e^y \Leftrightarrow x=y \\[0.2cm]$
( $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$ ) $\quad e^x>e^y \Leftrightarrow x>y \\[0.2cm]$
( $\forall x \in \mathbb{R}$ ) $\quad \ln(e^x)=x \\[0.2cm]$
( $\forall x > 0$ ) $\quad e^{\ln(x)}=x \\[0.2cm]$
$e^{x+y}=e^x.e^y \\[0.2cm]$
$e^{-x}=\frac{1}{e^x} \\[0.2cm]$
$e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}\\[0.2cm]$
$e^{r.x}= (e^x)^r$

Application

Prouver, que pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\\[0.2cm]$
$\left(e^x+e^{-x}\right)^2-2=\frac{e^{4x}+1}{e^{2x}}$

Solution

1. $\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} = \frac{e^{-2x}\left(e^{2x}-1\right)}{e^{-2x}\left(e^{2x} + 1\right)}= \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \\[0.2cm]$

$\begin{aligned} \text{2.} ~\left(e^x+e^{-x}\right)^2-2&= e^{2x} + 2 + e^{-2x} – 2 \\[0.2cm]&= e^{2x}+ e^{-2x} \\[0.2cm] &= e^{-2x}\left(\frac{ e^{2x}}{ e^{-2x}} + 1\right) \\[0.2cm] &=\frac{e^{4x}+1}{e^{2x}}\end{aligned}$