Fonctions exponentielles

1. La fonction $\exp$ est une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^*_+ \\$
2.  ($\forall x \in \mathbb{R}$) $\quad \exp(x)>0 \\$
3.  ($\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$) $\quad \exp(x)=\exp(y) \Leftrightarrow x=y \\$
4.  La fonction $\exp$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}\\$
5.  ($\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$) $\quad \exp(x)>\exp(y) \Leftrightarrow x>y \\$
6.  ($\forall x \in \mathbb{R}$) $\quad \ln(\exp(x))=x \\$
7.  ($\forall x > 0$) $\quad \exp(\ln(x))=x$

Soient $x$ et $y$ des éléments de $\mathbb{R}$ et $r$ un élément de $\mathbb{Q}$

1.  $\exp(x+y)=\exp(x).\exp(y)\\[0.2cm]$
2.  $\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\\[0.2cm]$
3.  $\exp(x-y)=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}\\[0.2cm]$
4.  $\exp(r.x)= (\exp(x))^r$

Avec cette nouvelle notation, on résume les résultats vus précédemment par:

1.  ($\forall x \in \mathbb{R}$) $\quad e^x>0\\[0.2cm]$
2.  ($\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$) $\quad e^x=e^y \Leftrightarrow x=y \\[0.2cm]$
3.  ($\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$) $\quad e^x>e^y \Leftrightarrow x>y \\[0.2cm]$
4.  ($\forall x \in \mathbb{R}$) $\quad \ln(e^x)=x \\[0.2cm]$
5.  ($\forall x > 0$) $\quad e^{\ln(x)}=x \\[0.2cm]$
6.  $e^{x+y}=e^x.e^y \\[0.2cm]$
7.  $e^{-x}=\frac{1}{e^x} \\[0.2cm]$
8.  $e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}\\[0.2cm]$
9.  $e^{r.x}= (e^x)^r$