Les fonctions primitives

Hello guys! Savez vous que le grand physicien Isaac Newton et le grand mathématicien philosophe Gottfried Leibniz sont considérés comme co-inventeurs du calcul différentiel et Intégral.

Calcul intégral 

Êtes-vous prêts les amis à plonger dans le cerveau de ces deux grands scientifiques? \\ Let's do it! ...

تعريف

Soient ff et FF deux fonctions numériques définies sur un intervalle II de R.\mathbb{R}.\\ On dit que la fonction FF est une primitive de la fonction ff sur II si: \\[0.2cm]

  • FF est dérivable sur II
  • (xI)F(x)=f(x)(\forall x \in I)\quad F'(x)=f(x)\\[0.2cm]

تطبيق

Soit FF une fonction dérivable sur R\mathbb{R} telle que: F:xln(1+x2+x)F: x \rightarrow \ln(\sqrt{1+x^2}+x) \\ On a:

F(x)=(ln(1+x2+x))=(1+x2)+x1+x2+x=x1+x2+11+x2+x=11+x2=f(x)\\[0.2cm]F'(x)=(\ln(\sqrt{1+x^2}+x))' = \frac{(\sqrt{1+x^2})'+x'}{\sqrt{1+x^2}+x}= \frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+1}{\sqrt{1+x^2}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=f(x)\\[0.2cm]

Alors FF est la fonction primitive de f:x11+x2f:x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

PS: En anglais on appelle une primitive: ANTIDERIVATIVE. Parce que le principe derrière la fonction primitive correspond au contraire de celui de la dérivation. Voila un exemple facile à comprendre 😀

انتباه

1.Soit FF la primitive de la fonction ff sur II .Alors toute fonction de la forme xF(x)+cx \rightarrow F(x)+ccc est une constante réelle, est une primitive de ff (car la dérivée d'une constante est nulle)

PS:Il ne faut jamais oublier d'ajouter la constante c dans une primitive, laissez ce mème toujours devant vos yeux pour vous en rappeler 😀 2.Pour tout x0Ix_0 \in I et y0Ry_0 \in \mathbb{R}, il existe une primitive unique GG de ff sur II vérifiant:

G(x0)=y0\\G(x_0)=y_0\\

تطبيق

Trouver la primitive de f:xx2f:x \rightarrow x^2 définit sur R\mathbb{R} telle que: G(1)=1G(1)=-1\\[0.2cm] Solution: (xR)    G(x)=13x3+c(\forall x \in \mathbb{R})~~~~G(x)=\frac{1}{3}x^3+c \\[0.2cm] On a: G(1)=11313+c=1c=43\\ \begin{aligned}G(1)=-1 &\Leftrightarrow \frac{1}{3}1^3+c=-1 \\&\Leftrightarrow c=\frac{-4}{3}\end{aligned}\\[0.2cm] D'où: (xR)    G(x)=13x343(\forall x \in \mathbb{R})~~~~G(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}

Vidéo Fonction primitive
15 min
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Continuité et fonction primitive

خاصية

Toute fonction continue sur un intervalle II admet une primitive définie sur cet intervalle.

Opérations sur les primitives

خاصية

Si FF et GG sont des primitives des fonctions ff et gg sur un intervalle II, alors F+G\\ F + G est une primitive de f+gf + g sur I.I. Car:

(F+G)=F+G=f+g\\[0.2cm](F+G)^{'} = F^{'} + G^{'} = f + g

خاصية

Si FF est une primitive de la fonction ff sur un intervalle II et cc est un nombre réel, alors cFcF est une primitive de cfcf sur II. Car:

(cF)=cF=cf\\[0.2cm](cF)^{'} = cF^{'} = cf\\[0.2cm]

تطبيق

La fonction définie par F(x)=x44F(x) = \frac{x^{4}}{4} est une primitive sur l'ensemble des nombres réels de la fonction ff définie par f(x)=x3.f(x) = x^{3}.\\ La fonction définie par G(x)=3xG(x) =3x est une primitive de la fonction définie par g(x)=3g(x) = 3 sur R.\mathbb{R}.\\ Du coup, une primitive de la fonction f+gf + g sur R\mathbb{R} est donc \\ la fonction F+GF + G définie par F(x)+G(x)=x44+3xF(x) + G(x) = \frac{x^{4}}{4}+ 3x sur R\mathbb{R}.

Tableau des primitives usuelles

Tableau des primitives

Vidéo Opérations sur les primitives
15 min
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Calcul intégral

Définition et applications

تعريف

Soient ff une fonction continue sur l'intervalle II et aa, bb deux éléments de II. On appelle intégrale de la fonction ff de aa à bb, le nombre:

abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a)\\ \int_{a}^{b} f(x) \,dx =[F(x)]^{b}_{a}= F(b)-F(a)\\

telle que: FF est la primitive de ff sur II.

ما يجب معرفته

Dans l'écriture abf(x)dx\int_a^b f(x)\, dx, il est possible de remplacer la variable xx par une autre:

abf(x)dx=abf(t)dt=abf(y)dy\\ \int_a^b f(x)\, dx=\int_a^b f(t)\, dt =\int_a^b f(y) \, dy\\

Voyons si vous pouvez comprendre ce même ... 😀 Sachant que ddy\frac{d}{dy} est la dérivée d'une fonction par rapport à la variable yy

تطبيق

01ex1+4e2xdx=[12Arctan(2ex)]01=12Arctan(2e1)12Arctan(2e0)\int_{0}^{1} \frac{e^x}{1+4e^{2x}} \,dx = [\frac{1}{2} Arctan(2e^x)]_0^1 = \frac{1}{2} Arctan(2e^1)-\frac{1}{2} Arctan(2e^0)

خاصية

Soient ff et gg deux fonctions continues sur [a;b][a;b], on a:

  • ab(f(x)+g(x))dx=abf(x)dx+abg(x)dx\\ \int_a^b (f(x)+g(x))\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx\\[0.2cm]
  • abc.f(x)dx=c.abf(x)dx\int_a^b c.f(x)\, dx= c.\int_a^b f(x)\, dx  avec cc une constante

خاصية

RELATION DE CHASLES \\ Si ff est une fonction continue sur un intervalle I=[a;b]I=[a;b] et cIc \in I , alors :

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\int_a^b f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx

ما يجب معرفته

  • aaf(x)dx=0\int_{a}^{a} f(x) dx = 0\\[0.2cm]
  • abf(x)dx=baf(x)dx\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx

تطبيق

Calcul des intégrales: 01x+11+2xdx=0112.(2x+12x+1+11+2x)dx=1201(1+12.(1+2x)1+2x)dx=[12x+14ln(2x+1)]010111+exdx=011+exex1+exdx=[xln(1+ex)]01=1ln(1+e1)+ln(2)01dx1+x2=0111+x2dx=[Arctan(x)]01=Arctan(1)Arctan(0)=π4\\[0.2cm] \begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{x+1}{1+2x} dx &= \int_{0}^{1} \frac{1}{2}.(\frac{2x+1}{2x+1}+\frac{1}{1+2x}) dx \\[0.2cm]&= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1+ \frac{1}{2}.\frac{(1+2x)^{'}}{1+2x}) dx \\[0.2cm] &= [\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\ln(2x+1)]_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+e^{x}} dx \\[0.2cm]& = \int_{0}^{1} \frac{1+e^{x}-e^{x}}{1+e^{x}} dx \\[0.2cm] &= [x-_ln(1+e^{x})]^{1}_{0}\\[0.2cm] &= 1-\ln(1+e^{1})+\ln(2) \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} \\[0.2cm] &= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx \\[0.3cm] &= [\operatorname{Arctan(x)}]_0^1\\[0.2cm] &= \operatorname{Arctan}(1)-\operatorname{Arctan}(0)=\frac{\pi}{4}\end{aligned}

تطبيق

I=0π2cos2(x)dxI=\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(x) dx et J=0π2sin2(x)dx J=\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2(x) dx\\[0.3cm] Calcul de I+JI+J et IJI-J\\[0.2cm] -Calculons I+JI+J\\[0.2cm] I+J=0π2cos2(x)dx+0π2sin2(x)dx=0π2(cos2(x)+sin2(x)dx=0π21dx=[x]0π2=π2\begin{aligned}I+J &= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(x) d_{x} + \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2(x) dx\\[0.2cm]&= \int_0^\frac{\pi}{2} (\cos^2(x)+\sin^2(x)dx\\[0.2cm]&= \int_0^\frac{\pi}{2} 1 dx = [x]_0^\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\end{aligned} \\[0.2cm] D'où: I+J=π2I+J= \frac{\pi}{2}\\[0.2cm] -Calculons IJI-J IJ=0pi2cos2(x)dx0π2sin2(x)dx=0pi2(cos2(x)sin2(x))dx=0pi2cos(2x)dx=[12sin(2x)]0π2=12sin(2π2)12sin(0)=0\\[0.2cm]\begin{aligned} I-J &= \int_0^\frac{pi}{2} \cos^2(x) dx - \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2(x) dx\\[0.2cm]&= \int_0^\frac{pi}{2} (\cos^2(x)-\sin^2(x))dx\\[0.2cm]&=\int_0^\frac{pi}{2} \cos(2x) dx\\[0.2cm]&=[\frac{1}{2} \sin(2x)]_0^\frac{\pi}{2}\\[0.2cm]&=\frac{1}{2} \sin(\frac{2\pi}{2})-\frac{1}{2}\sin(0)=0 \end{aligned} \\[0.2cm] D'où: IJ=0I-J=0\\[0.2cm] {I+J=π2IJ=0{2I=π22J=π2I=J=π4\left\{ \begin{array}{lcl} I+J=\frac{\pi}{2}\\ I-J=0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} 2I=\frac{\pi}{2}\\ 2J=\frac{\pi}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=J=\frac{\pi}{4}

Vidéo Intégrale d’une fonction continue sur un segment, relation de Chasles et linéarité.
15 min
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Expression d'une primitive à l'aide d'une intégrale

نظرية

Soient ff une fonction continue sur un domaine II et aa un élément de II\\ La fonction ϕ\phi définie sur II par:

ϕ(x)=axf(t)dt\phi (x) = \int_a^x f(t) \,dt

est la primitive de ff sur le domaine II, s'annulant en a.a.\\

No Worries guys! une intégrale non définie d'une fonction n'est que sa fonction primitive! Venez voir la vidéo du cours pour mieux comprendre le concept  

تطبيق

Soit ff la fonction numérique définie par f:xcos(x)x2+1f: x \rightarrow \frac{\cos(x)}{x^2+1}\\ La primitive de la fonction ff sur R\mathbb{R} et qui s'annule en 55 est:

ϕ(x)=5xcos(t)t2+1dt.\phi(x)= \int_5^x \frac{\cos(t)}{t^2+1} \,dt.

en fait :  ϕ(x)=(5xcos(t)t2+1dt)=cos(x)x2+1=f(x)~\phi'(x)=(\int_5^x \frac{\cos (t)}{t^2+1} \,dt)'=\frac{\cos (x)}{x^2+1}=f(x)

نظرية

Soient ff une fonction continue sur un domaine II et vv une fonction dérivable sur un domaine EE telles que v(E)I,v(E) \subset I, alors:

(aI)    ϕ:xav(x)f(t)dt(\forall a \in I)~~~~\phi : x \rightarrow \int_a^{v(x)} f(t)\,dt

est dérivable sur EE et on a:

(xE)  ϕ(x)=(av(x)f(t)dt)=v(x)f(v(x))(\forall x \in E)~~ \phi'(x)=(\int_a^{v(x)} f(t)\,dt)'=v'(x)f(v(x))

تطبيق

(xR)    H(x)=0x2+2x1+tdt(\forall x \in \mathbb{R})~~~~H(x)=\int_0^{x^2+2x} \sqrt{1+t} \, dt\\ Montrons que HH est dérivable sur R\mathbb{R} et calculons H(x)H'(x)\\ On a: {v:xx2+2x  ,est deˊrivable surRv(R)[1;+[     (car (x+1)2>0,,x2+2x>1)xx+1   est continue sur [1;+[\\[0.2cm]\left\{ \begin{array}{lcl} v:x \rightarrow x^2+2x~~ , \text{est dérivable sur} \mathbb{R}\\[0.2cm] v(\mathbb{R}) \subset [-1;+\infty[ ~~~~~(\text{car}~(x+1)^2>0, \Rightarrow , x^2+2x>-1)\\[0.2cm] x\rightarrow \sqrt{x+1}~~~\text{est continue sur} ~[-1;+\infty[ \end{array} \right. \\ Alors: HH est dérivable sur R\mathbb{R} et on a:

Soit xRx \in \mathbb{R} \\[0.2cm] H(x)=(0x2+2x1+tdt)=(x2+2x)1+(x2+2x)=2(x+1)(x+1)\begin{aligned} H'(x)=(\int_0^{x^2+2x} \sqrt{1+t}d_t)'&=(x^2+2x)'\sqrt{1+(x^2+2x)}\\[0.2cm]&=2(x+1)(|x+1|)\end{aligned}

ما يجب معرفته

Le cas général :

Soient uu et vv deux fonctions dérivables sur EE telles que u(E)Iu(E)\subset I et v(E)Iv(E) \subset I et ff une fonction continue sur II\\[0.2cm] Alors la fonction ϕ:xu(x)v(x)f(t)dt\phi:x \rightarrow \int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt est dérivable sur EE et on a: ϕ(x)=(u(x)v(x)f(t)dt)=v(x)f(v(x))u(x).f(u(x))\\[0.2cm] \phi'(x)=(\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt)'=v'(x)f(v(x))-u'(x).f(u(x))

تطبيق

On a: (xR)   F(x)=cos(x)sin(x)1t2dt(\forall x \in \mathbb{R})~~~F(x)=\int_{\cos(x)}^{\sin(x)}\sqrt{1-t^2} \, dt \\ u:xcos(x) u: x \rightarrow \cos(x) est dérivable sur R\mathbb{R} et u(R)[1;1]u(\mathbb{R}) \subset [-1;1]\\ v:xsin(x)v:x \rightarrow \sin(x) est dérivable sur R\mathbb{R} et v(R)[1;1]v(\mathbb{R}) \subset [-1;1]\\ x1x2x \rightarrow \sqrt{1-x^2} est continue sur [1;1][-1;1]\\ Alors la fonction FF est dérivable sur R\mathbb{R}\\ Soit xx un élément de R\mathbb{R}\\[0.2cm] F(x)=(cos(x)sin(x)1t2dt)F'(x)=(\int_{\cos(x)}^{\sin(x)}\sqrt{1-t^2} \, dt)'\\ =sin(x)1sin2(x)cos(x)1cos2(x)\hspace{1cm}=\sin'(x)\sqrt{1-\sin^2(x)}-\cos'(x)\sqrt{1-\cos^2(x)}\\ =cos(x)cos2(x)+sin(x)sin2(x)\hspace{1cm}=\cos(x)\sqrt{\cos^2(x)}+\sin(x)\sqrt{\sin^2(x)}\\ =cos(x).cos(x)sin(x)sin(x)\hspace{1cm}=\cos(x).|\cos(x)|-\sin(x)|\sin(x)|

Techniques de calcul d'intégrales

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