Hello guys! Savez vous que le grand physicien Isaac Newton et le grand mathématicien philosophe Gottfried Leibniz sont considérés comme co-inventeurs du calcul différentiel et Intégral.
Êtes-vous prêts les amis à plonger dans le cerveau de ces deux grands scientifiques? Let's do it! ...
تعريف
Soient f et F deux fonctions numériques définies sur un intervalle I de R. On dit que la fonction F est une primitive de la fonction f sur I si:
F est dérivable sur I
(∀x∈I)F′(x)=f(x)
تطبيق
Soit F une fonction dérivable sur R telle que: F:x→ln(1+x2+x) On a:
PS: En anglais on appelle une primitive: ANTIDERIVATIVE. Parce que le principe derrière la fonction primitive correspond au contraire de celui de la dérivation. Voila un exemple facile à comprendre
تطبيق
Trouver la primitive de f:x→x2 définit sur R telle que: G(1)=−1Solution:(∀x∈R)G(x)=31x3+c On a: G(1)=−1⇔3113+c=−1⇔c=3−4 D'où: (∀x∈R)G(x)=31x3−34
Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive définie sur cet intervalle.
Opérations sur les primitives
خاصية
Si F et G sont des primitives des fonctions f et g sur un intervalle I, alors F+G est une primitive de f+g sur I. Car:
(F+G)′=F′+G′=f+g
خاصية
Si F est une primitive de la fonction f sur un intervalle I et c est un nombre réel, alors cF est une primitive de cf sur I. Car:
(cF)′=cF′=cf
تطبيق
La fonction définie par F(x)=4x4 est une primitive sur l'ensemble des nombres réels de la fonction f définie par f(x)=x3. La fonction définie par G(x)=3x est une primitive de la fonction définie par g(x)=3 sur R. Du coup, une primitive de la fonction f+g sur R est donc la fonction F+G définie par F(x)+G(x)=4x4+3x sur R.
Soient f et g deux fonctions continues sur [a;b], on a:
∫ab(f(x)+g(x))dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx
∫abc.f(x)dx=c.∫abf(x)dx avec c une constante
خاصية
RELATION DE CHASLES Si f est une fonction continue sur un intervalle I=[a;b] et c∈I , alors :
∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
ما يجب معرفته
∫aaf(x)dx=0
∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
تطبيق
Calcul des intégrales: ∫011+2xx+1dx=∫0121.(2x+12x+1+1+2x1)dx=21∫01(1+21.1+2x(1+2x)′)dx=[21x+41ln(2x+1)]01∫011+ex1dx=∫011+ex1+ex−exdx=[x−ln(1+ex)]01=1−ln(1+e1)+ln(2)∫011+x2dx=∫011+x21dx=[Arctan(x)]01=Arctan(1)−Arctan(0)=4π
تطبيق
I=∫02πcos2(x)dx et J=∫02πsin2(x)dx Calcul de I+J et I−J -Calculons I+JI+J=∫02πcos2(x)dx+∫02πsin2(x)dx=∫02π(cos2(x)+sin2(x)dx=∫02π1dx=[x]02π=2π D'où: I+J=2π -Calculons I−JI−J=∫02picos2(x)dx−∫02πsin2(x)dx=∫02pi(cos2(x)−sin2(x))dx=∫02picos(2x)dx=[21sin(2x)]02π=21sin(22π)−21sin(0)=0 D'où: I−J=0{I+J=2πI−J=0⇒{2I=2π2J=2π⇒I=J=4π
VidéoIntégrale d’une fonction continue sur un segment, relation de Chasles et linéarité. 15 min
Expression d'une primitive à l'aide d'une intégrale
نظرية
Soient f une fonction continue sur un domaine I et a un élément de I La fonction ϕ définie sur I par:
ϕ(x)=∫axf(t)dt
est la primitive de f sur le domaine I, s'annulant en a.
No Worries guys! une intégrale non définie d'une fonction n'est que sa fonction primitive! Venez voir la vidéo du cours pour mieux comprendre le concept
تطبيق
Soit f la fonction numérique définie par f:x→x2+1cos(x) La primitive de la fonction f sur R et qui s'annule en 5 est:
ϕ(x)=∫5xt2+1cos(t)dt.
en fait : ϕ′(x)=(∫5xt2+1cos(t)dt)′=x2+1cos(x)=f(x)
نظرية
Soient f une fonction continue sur un domaine I et v une fonction dérivable sur un domaine E telles que v(E)⊂I, alors:
(∀a∈I)ϕ:x→∫av(x)f(t)dt
est dérivable sur E et on a:
(∀x∈E)ϕ′(x)=(∫av(x)f(t)dt)′=v′(x)f(v(x))
تطبيق
(∀x∈R)H(x)=∫0x2+2x1+tdt Montrons que H est dérivable sur R et calculons H′(x) On a: ⎩⎨⎧v:x→x2+2x,est deˊrivable surRv(R)⊂[−1;+∞[(car(x+1)2>0,⇒,x2+2x>−1)x→x+1est continue sur[−1;+∞[ Alors: H est dérivable sur R et on a:
Soit x∈RH′(x)=(∫0x2+2x1+tdt)′=(x2+2x)′1+(x2+2x)=2(x+1)(∣x+1∣)
ما يجب معرفته
Le cas général :
Soient u et v deux fonctions dérivables sur E telles que u(E)⊂I et v(E)⊂I et f une fonction continue sur I Alors la fonction ϕ:x→∫u(x)v(x)f(t)dt est dérivable sur E et on a: ϕ′(x)=(∫u(x)v(x)f(t)dt)′=v′(x)f(v(x))−u′(x).f(u(x))
تطبيق
On a: (∀x∈R)F(x)=∫cos(x)sin(x)1−t2dtu:x→cos(x) est dérivable sur R et u(R)⊂[−1;1]v:x→sin(x) est dérivable sur R et v(R)⊂[−1;1]x→1−x2 est continue sur [−1;1] Alors la fonction F est dérivable sur R Soit x un élément de RF′(x)=(∫cos(x)sin(x)1−t2dt)′=sin′(x)1−sin2(x)−cos′(x)1−cos2(x)=cos(x)cos2(x)+sin(x)sin2(x)=cos(x).∣cos(x)∣−sin(x)∣sin(x)∣