Mousta3id? Intilaaaa9 🏃🏃

Fonction logarithme népérien

Vidéo Introduction au logarithme népérien
15 min
Voir la vidéo

تعريف

La fonction primitive de: (x]0;+[)  x 1x(\forall x \in ]0; +\infty[) ~~x  \rightarrow \frac{1}{x} et qui s'annule en 11 est appelée la fonction logarithme népérien, notée ln(x)\ln(x)

ما يجب معرفته

ln(1)=0\ln(1)=0\quad  et ln(x)=1x \quad \ln'(x)=\frac{1}{x} 

Vidéo Définition du logarithme népérien
15 min
Voir la vidéo

خاصية

  1. La fonction ln\ln est continue (car elle est dérivable) et strictement croissante sur ]0;+[]0;+\infty[ \\[0.2cm]
  2. (x>0)(y>0)ln(x)=ln(y) x=y (\forall x>0) (\forall y>0) \quad \ln(x)=\ln(y) \Leftrightarrow  x=y \\[0.2cm]
  3. (x>0)(y>0)ln(x)>ln(y)x>y (\forall x>0) (\forall y>0) \quad \ln(x)>\ln(y) \Leftrightarrow x>y \\[0.2cm]
  4. (x>0)ln(x)0 x1 (\forall x>0)\quad \ln(x) \ge 0 \Leftrightarrow  x\ge 1 \\[0.2cm]
  5. (x>0)ln(x)0 x1 (\forall x>0)\quad \ln(x) \le 0 \quad \Leftrightarrow  x \le 1

تطبيق

Soit ff la fonction définie par: f(x)=ln(1+x)f(x)= \ln(1+\sqrt{x})

Déterminer DD l'ensemble de définition de ff \\

Solution:

D={xR/1+x>0  D=\{x\in \mathbb{R}/ 1+\sqrt{x}> 0 ~~ et   x0}={xR/x0}=R+~~x\geq 0\}= \{x\in \mathbb{R}/ x\geq 0\}= \mathbb{R}^{+}

تطبيق

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation suivante:  2ln2(x)3ln(x)+1=0~2\ln^{2}(x)-3\ln(x)+1= 0 \\ Solution: Posons: X=ln(x)X= \ln(x)\\ On a:  (x>0)~(x> 0) 2X23X+1=0\quad 2X^{2}-3X+1= 0 

 Δ=1\Delta =1

donc:  X1=1  ~X_1= 1~~ et   X2=12~~X_2= \frac{1}{2}\\

ln(x)=12 \ln(x)= \frac{1}{2}~ et  ln(x)=1 ~\ln(x)= 1~ \Longrightarrow  ln(x)=ln(e12) ~\ln(x)= \ln(e^{\frac{1}{2}})~ et  ln(x)=ln(e)~\ln(x)= \ln(e) \\

Donc:  x=e  ~x= e~~ et   x=e12~~x= e^{\frac{1}{2}}

S={e;e12}S= \{e; e^{\frac{1}{2}}\}

Vidéo Logarithme népérien : résultats
15 min
Voir la vidéo

خاصية

Propriétés Algébriques

  1. (x>0)(y>0)ln(x.y)=ln(x)+ln(y)(\forall x>0) (\forall y>0) \quad \ln(x.y)=\ln(x)+\ln(y) \\[0.2cm]
  2. (y>0)ln(1y)=ln(y)(\forall y>0) \quad \ln( \frac{1}{y})=-\ln(y) \\[0.2cm]
  3. (x>0)(y>0)ln(xy)=ln(x)ln(y)(\forall x>0) (\forall y>0) \quad \ln(\frac{x}{y})=\ln(x)-\ln(y) \\[0.2cm]
  4. (x>0)ln(xr)=r.ln(x)(\forall x>0) \quad \ln(x^r)=r.\ln(x)

تطبيق

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation suivante: ln(4x+2)ln(x1)=2ln(x)\ln(4x+2)-\ln(x-1)=2\ln(x) Solution:

Soit xRx\in \mathbb{R}

xD(4x+2>0 et x1>0etx>0)(x>12et x>1etx>0)x>1\begin{aligned} x\in D &\Leftrightarrow (4x+2> 0 \quad \text{ et}\quad  x-1> 0 \quad \text{et} \quad x> 0)\\[0.2cm] &\Leftrightarrow (x> -\frac{1}{2} \quad \text{et}\quad  x> 1 \quad \text{et} \quad x> 0)\\[0.2cm] & \Leftrightarrow x> 1\end{aligned}

Donc : D=]1;+[D=]1;+\infty [\\

Soit xDx\in D:

ln(4x+2)ln(x1)=2ln(x)ln(4x+2x1)=ln(x2)\ln(4x+2)-\ln(x-1)=2\ln(x) \Leftrightarrow \ln(\frac{4x+2}{x-1})=\ln(x^{2})

Donc :   4x+2x1=x2x3x24x2=0~~\frac{4x+2}{x-1}=x^{2} \Leftrightarrow x^{3}-x^{2}-4x-2= 0\\

Il est clair que 1-1 est une solution et on a:

x3x24x2=(x+1)(x22x2)x^{3}-x^{2}-4x-2= (x+1)(x^{2}-2x-2)

Les solutions de x22x2=0 x^{2}-2x-2=0~ sont:  13  ~1-\sqrt{3}~~ et   1+3~~1+\sqrt{3}

or:  1D ~-1\notin D~ et  13D ~1-\sqrt{3}\notin D~ mais  1+3D~1+\sqrt{3}\in D\\

donc:   S={1+3}~~S=\{1+\sqrt{3}\}

ما يجب معرفته

  1. ((a,b)R2)  (ab>0)ln(ab)=ln(a)+ln(b)(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2) ~~(ab>0) \Rightarrow \ln(ab) = \ln(|a|)+\ln(|b|)\\[0.2cm]
  2. ((a,b)R2)  (ab>0) ln(ab)=ln(ba)(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2) ~~(ab>0) \Rightarrow  \ln(\frac{a}{b}) = -\ln(\frac{b}{a})\\[0.2cm]
  3. (a>0)  ln(a)=12ln(a)(\forall a>0) ~~\ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2} \ln(a)

Vidéo Propriétés de la fonction ln
15 min
Voir la vidéo

Les limites usuelles

لمواصلة هذا الملخص، قم بالتسجيل بالمجان في كيزاكو

النسخة المجانية لكيزاكو:
  • ملخصات الدروس غير محدودة
  • فيديو مجاني في كل درس
  • تمرين مصحح مجاني
  • اختبار تفاعلي
إنشاء حساب مجاني
Signaler une erreur
Signaler une erreur