Fiche de cours

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Fonction logarithme népérien

Vidéo Introduction au logarithme népérien
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Définition

La fonction primitive de: (∀x∈]0;+∞[)  x →1x(\forall x \in ]0; +\infty[) ~~x  \rightarrow \frac{1}{x} et qui s'annule en 11 est appelée la fonction logarithme népérien, notée ln⁡(x)\ln(x)

À retenir

ln⁡(1)=0\ln(1)=0\quad  et ln⁡′(x)=1x \quad \ln'(x)=\frac{1}{x} 

Vidéo Définition du logarithme népérien
15 min
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Propriété

  1. La fonction ln⁡\ln est continue (car elle est dérivable) et strictement croissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[ \\[0.2cm]
  2. (∀x>0)(∀y>0)ln⁡(x)=ln⁡(y)⇔ x=y (\forall x>0) (\forall y>0) \quad \ln(x)=\ln(y) \Leftrightarrow  x=y \\[0.2cm]
  3. (∀x>0)(∀y>0)ln⁡(x)>ln⁡(y)⇔x>y (\forall x>0) (\forall y>0) \quad \ln(x)>\ln(y) \Leftrightarrow x>y \\[0.2cm]
  4. (∀x>0)ln⁡(x)≥0⇔ x≥1 (\forall x>0)\quad \ln(x) \ge 0 \Leftrightarrow  x\ge 1 \\[0.2cm]
  5. (∀x>0)ln⁡(x)≤0⇔ x≤1 (\forall x>0)\quad \ln(x) \le 0 \quad \Leftrightarrow  x \le 1

Application

Soit ff la fonction définie par: f(x)=ln⁡(1+x)f(x)= \ln(1+\sqrt{x})

Déterminer DD l'ensemble de définition de ff \\

Solution:

D={x∈R/1+x>0  D=\{x\in \mathbb{R}/ 1+\sqrt{x}> 0 ~~ et   x≥0}={x∈R/x≥0}=R+~~x\geq 0\}= \{x\in \mathbb{R}/ x\geq 0\}= \mathbb{R}^{+}

Application

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation suivante:  2ln⁡2(x)−3ln⁡(x)+1=0~2\ln^{2}(x)-3\ln(x)+1= 0 \\ Solution: Posons: X=ln⁡(x)X= \ln(x)\\ On a:  (x>0)~(x> 0) 2X2−3X+1=0\quad 2X^{2}-3X+1= 0 

 Δ=1\Delta =1

donc:  X1=1  ~X_1= 1~~ et   X2=12~~X_2= \frac{1}{2}\\

ln⁡(x)=12 \ln(x)= \frac{1}{2}~ et  ln⁡(x)=1 ~\ln(x)= 1~ ⟹\Longrightarrow  ln⁡(x)=ln⁡(e12) ~\ln(x)= \ln(e^{\frac{1}{2}})~ et  ln⁡(x)=ln⁡(e)~\ln(x)= \ln(e) \\

Donc:  x=e  ~x= e~~ et   x=e12~~x= e^{\frac{1}{2}}

S={e;e12}S= \{e; e^{\frac{1}{2}}\}

Vidéo Logarithme népérien : résultats
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Propriété

Propriétés Algébriques

  1. (∀x>0)(∀y>0)ln⁡(x.y)=ln⁡(x)+ln⁡(y)(\forall x>0) (\forall y>0) \quad \ln(x.y)=\ln(x)+\ln(y) \\[0.2cm]
  2. (∀y>0)ln⁡(1y)=−ln⁡(y)(\forall y>0) \quad \ln( \frac{1}{y})=-\ln(y) \\[0.2cm]
  3. (∀x>0)(∀y>0)ln⁡(xy)=ln⁡(x)−ln⁡(y)(\forall x>0) (\forall y>0) \quad \ln(\frac{x}{y})=\ln(x)-\ln(y) \\[0.2cm]
  4. (∀x>0)ln⁡(xr)=r.ln⁡(x)(\forall x>0) \quad \ln(x^r)=r.\ln(x)

Application

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation suivante: ln⁡(4x+2)−ln⁡(x−1)=2ln⁡(x)\ln(4x+2)-\ln(x-1)=2\ln(x) Solution:

Soit x∈Rx\in \mathbb{R}

x∈D⇔(4x+2>0 et x−1>0etx>0)⇔(x>−12et x>1etx>0)⇔x>1\begin{aligned} x\in D &\Leftrightarrow (4x+2> 0 \quad \text{ et}\quad  x-1> 0 \quad \text{et} \quad x> 0)\\[0.2cm] &\Leftrightarrow (x> -\frac{1}{2} \quad \text{et}\quad  x> 1 \quad \text{et} \quad x> 0)\\[0.2cm] & \Leftrightarrow x> 1\end{aligned}

Donc : D=]1;+∞[D=]1;+\infty [\\

Soit x∈Dx\in D:

ln⁡(4x+2)−ln⁡(x−1)=2ln⁡(x)⇔ln⁡(4x+2x−1)=ln⁡(x2)\ln(4x+2)-\ln(x-1)=2\ln(x) \Leftrightarrow \ln(\frac{4x+2}{x-1})=\ln(x^{2})

Donc :   4x+2x−1=x2⇔x3−x2−4x−2=0~~\frac{4x+2}{x-1}=x^{2} \Leftrightarrow x^{3}-x^{2}-4x-2= 0\\

Il est clair que −1-1 est une solution et on a:

x3−x2−4x−2=(x+1)(x2−2x−2)x^{3}-x^{2}-4x-2= (x+1)(x^{2}-2x-2)

Les solutions de x2−2x−2=0 x^{2}-2x-2=0~ sont:  1−3  ~1-\sqrt{3}~~ et   1+3~~1+\sqrt{3}, 

or:  −1∉D ~-1\notin D~ et  1−3∉D ~1-\sqrt{3}\notin D~ mais  1+3∈D~1+\sqrt{3}\in D\\

donc:   S={1+3}~~S=\{1+\sqrt{3}\}

À retenir

  1. (∀(a,b)∈R2)  (ab>0)⇒ln⁡(ab)=ln⁡(∣a∣)+ln⁡(∣b∣)(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2) ~~(ab>0) \Rightarrow \ln(ab) = \ln(|a|)+\ln(|b|)\\[0.2cm]
  2. (∀(a,b)∈R2)  (ab>0)⇒ ln⁡(ab)=−ln⁡(ba)(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2) ~~(ab>0) \Rightarrow  \ln(\frac{a}{b}) = -\ln(\frac{b}{a})\\[0.2cm]
  3. (∀a>0)  ln⁡(a)=12ln⁡(a)(\forall a>0) ~~\ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2} \ln(a)

Vidéo Propriétés de la fonction ln
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Les limites usuelles

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Logarithme népérien
Sommaire du cours
  1. Fonction logarithme népérien
  2. Les limites usuelles
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