Fiche de cours

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Fonction logarithme népérien

Vidéo Introduction au logarithme népérien
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تعريف

La fonction primitive de: $$(\forall x \in ]0; +\infty[) ~~x  \rightarrow \frac{1}{x}$$ et qui s'annule en $1$ est appelée la fonction logarithme népérien, notée $$\ln(x)$$

ما يجب معرفته

$\ln(1)=0\quad$  et $$ \quad \ln'(x)=\frac{1}{x}$$ 

Vidéo Définition du logarithme népérien
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خاصية

  1. La fonction $\ln$ est continue (car elle est dérivable) et strictement croissante sur $$]0;+\infty[ \\[0.2cm]$$
  2. $$ (\forall x>0) (\forall y>0) \quad \ln(x)=\ln(y) \Leftrightarrow  x=y \\[0.2cm]$$
  3. $$ (\forall x>0) (\forall y>0) \quad \ln(x)>\ln(y) \Leftrightarrow x>y \\[0.2cm]$$
  4. $$ (\forall x>0)\quad \ln(x) \ge 0 \Leftrightarrow  x\ge 1 \\[0.2cm]$$
  5. $$ (\forall x>0)\quad \ln(x) \le 0 \quad \Leftrightarrow  x \le 1$$

تطبيق

Soit $f$ la fonction définie par: $$f(x)= \ln(1+\sqrt{x})$$

Déterminer $$D$$ l'ensemble de définition de $f \\$

Solution:

$$D=\{x\in \mathbb{R}/ 1+\sqrt{x}> 0 ~~$$ et $$~~x\geq 0\}= \{x\in \mathbb{R}/ x\geq 0\}= \mathbb{R}^{+}$$

تطبيق

Résoudre dans $$\mathbb{R}$$ l'équation suivante: $$~2\ln^{2}(x)-3\ln(x)+1= 0 \\$$ Solution: Posons: $$X= \ln(x)\\$$ On a: $$~(x> 0)$$ $$\quad 2X^{2}-3X+1= 0$$ 

 $$\Delta =1$$

donc: $$~X_1= 1~~$$ et $$~~X_2= \frac{1}{2}\\$$

$$\ln(x)= \frac{1}{2}~$$ et $$~\ln(x)= 1~$$ $$\Longrightarrow$$ $$~\ln(x)= \ln(e^{\frac{1}{2}})~$$ et $$~\ln(x)= \ln(e) \\$$

Donc: $$~x= e~~$$ et $$~~x= e^{\frac{1}{2}}$$

$$S= \{e; e^{\frac{1}{2}}\}$$

Vidéo Logarithme népérien : résultats
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خاصية

Propriétés Algébriques

  1. $$(\forall x>0) (\forall y>0) \quad \ln(x.y)=\ln(x)+\ln(y) \\[0.2cm]$$
  2. $$(\forall y>0) \quad \ln( \frac{1}{y})=-\ln(y) \\[0.2cm]$$
  3. $$(\forall x>0) (\forall y>0) \quad \ln(\frac{x}{y})=\ln(x)-\ln(y) \\[0.2cm]$$
  4. $$(\forall x>0) \quad \ln(x^r)=r.\ln(x)$$

تطبيق

Résoudre dans $$\mathbb{R}$$ l'équation suivante: $$\ln(4x+2)-\ln(x-1)=2\ln(x)$$ Solution:

Soit $$x\in \mathbb{R}$$

$$\begin{aligned} x\in D &\Leftrightarrow (4x+2> 0 \quad \text{ et}\quad  x-1> 0 \quad \text{et} \quad x> 0)\\[0.2cm] &\Leftrightarrow (x> -\frac{1}{2} \quad \text{et}\quad  x> 1 \quad \text{et} \quad x> 0)\\[0.2cm] & \Leftrightarrow x> 1\end{aligned}$$

Donc : $$D=]1;+\infty [\\$$

Soit $$x\in D$$:

$$\ln(4x+2)-\ln(x-1)=2\ln(x) \Leftrightarrow \ln(\frac{4x+2}{x-1})=\ln(x^{2}) $$

Donc : $$~~\frac{4x+2}{x-1}=x^{2} \Leftrightarrow x^{3}-x^{2}-4x-2= 0\\$$

Il est clair que $-1$ est une solution et on a:

$$x^{3}-x^{2}-4x-2= (x+1)(x^{2}-2x-2)$$

Les solutions de $$x^{2}-2x-2=0~$$ sont: $$~1-\sqrt{3}~~$$ et $$~~1+\sqrt{3}$$, 

or: $$~-1\notin D~$$ et $$~1-\sqrt{3}\notin D~$$ mais $$~1+\sqrt{3}\in D\\$$

donc: $$~~S=\{1+\sqrt{3}\}$$

ما يجب معرفته

  1. $$(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2) ~~(ab>0) \Rightarrow \ln(ab) = \ln(|a|)+\ln(|b|)\\[0.2cm]$$
  2. $$(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2) ~~(ab>0) \Rightarrow  \ln(\frac{a}{b}) = -\ln(\frac{b}{a})\\[0.2cm]$$
  3. $$(\forall a>0) ~~\ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2} \ln(a)$$

Vidéo Propriétés de la fonction ln
15 min
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Les limites usuelles

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Logarithme népérien
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