Les structures algébriques 2BAC

Fiche de cours

Loi de composition interne

Soit $E$ un ensemble, on appelle loi de composition interne sur un ensemble $E$ , toute application de $E^2$ vers $E. \\$

Exemple

$(+ ~\text{et}~ \times )$ sont des lois de composition interne sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^+$
$(-)$ est une loi de composition interne sur $\mathbb{R}$ , mais pas sur $\mathbb{R}^+$
$(\div )$ n'est pas une loi de composition interne sur $\mathbb{R}$
$(\div )$ est une loi de composition interne sur $\mathbb{R}^*$
$(+ ~\text{et} ~\times )$ sont des lois de composition interne sur $\mathbb{R}$ et sur l'ensemble des matrices $\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{pmatrix}$ avec $a, b, c$ et $d$ de $\mathbb{R} \\[0.2cm]$ $\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x & z \\ y & t \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+x & c+z \\ b+y & d+t \\ \end{pmatrix} \\[0.2cm] \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x & z \\ y & t \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ax+cy & az+ct \\ bx+dy & bz+dt \\ \end{pmatrix}\\[0.2cm]$
$(+ ~\text{et}~ \times )$ sont des lois de composition interne sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \quad (n\in \mathbb{N}^* )$

Application

$E={0 , 1 , 2}$

Soit $*$ une loi définie sur $E$ par : $\quad x*y=x+y-xy \quad (\forall (x, y) \in E^2 )$

*	0	1	2
0	0	1	2
1	1	1	1
2	2	1	0

$*$ une loi de composition interne

Partie stable par une loi de composition interne

Définition

Soit $(E , *)$ un ensemble muni d’une loi de composition interne et $S$ une partie de $E \\[0.2cm]$ On dit que $S$ est une partie stable par $*$ dans $E$ si : $\\[0.2cm] \forall (x , y) \in S^2 ) \quad x*y \in S$

Exemple

$\mathbb{R}^+$ est une partie stable par $+$ dans $\mathbb{R}\\$
$\mathbb{R}^+$ n'est pas stable par la loi $-$ dans $\mathbb{R}\quad (7-10 \notin \mathbb{R}^+ )$

Application

Soit $T$ une loi de composition interne dans $\mathbb{R}$ , définie par :

$(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2 ) \quad xTy=xy-3x-3y+12$

Montrer que : $~ S=]3, +\infty[~$ est une partie stable de $(\mathbb{R} , T) \\[0.3cm]$ Soit $(x,y) \in ]3, +\infty[ \\[0.2cm]$ On montre que $\quad xTy \in ]3, +\infty[ \quad$ c'est à dire $~xTy >3 \\[0.2cm]$ $\begin{aligned} xTy-3 &=xy-3x-3y+12-3 \\ &=x(y-3)-3(y-3) \\ &=(y-3)(x-3)> 0 \quad (\text{car} ~x>3 ~\text{et} ~y>3) \end{aligned} \\[0.2cm]$ alors $~xTy>3 \\[0.2cm]$ Donc $S$ est une partie stable de $(\mathbb{R} , T)$

Vidéo Loi de composition interne et parti stable par une loi de composition interne

15 min

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Propriétés d’une loi de composition interne :

Commutativité:

Définition

Soit $*$ une loi de composition interne dans l’ensemble $E \\[0.2cm]$ On dit que la loi $*$ est commutative si :

$\forall (a,b) \in E^2 \quad a*b=b*a$

Exemple

$+ ~$ est commutatif dans $U_n(\mathbb{R})$
$\times ~$ n'est pas commutatif dans $U_n(\mathbb{R})$

Exemple

Contre exemple: $\\[0.2cm]$ $A= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end{pmatrix} \quad \quad \text{et} \quad\quad B= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \\[0.3cm]$ $A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 2 & -7 \\ \end{pmatrix} \quad \quad\text{et} \quad \quad B \cdot A= \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 6 & -3 \\ \end{pmatrix}\\[0.3cm]$ Donc $\quad AB \neq BA$

Associativité :

Définition

Soit $*$ une loi de composition interne dans l’ensemble $E \\[0.2cm]$ On dit que la loi $*$ est associative si :

$\forall (a, b , c) \in E^2 \quad (a*b)*c=a*(b*c)$

Exemple

$(\times)$ est associative dans $U_n(\mathbb{R})$
$(0)$ est associative dans l'ensemble des applications sur $E$
$(-)$ n'est pas associative dans $\mathbb{R}$ : $\\ (5-3)-7=-5 \quad \text{et} \quad 5-(3-7)=9$

L'élément neutre

Définition

Soit $*$ une loi de composition interne dans l’ensemble $E \\[0.2cm]$ On dit que l’élément $e$ de $E$ est un élément neutre si :

$(\forall x \in E) \quad x*e=e*x=x$

Exemple

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} ~$ est neutre pour $~\times$ dans $~U_2(\mathbb{R})$

Remarque

L’élément neutre , lorsqu’il existe, est unique

Application

$x*y=yx-3x-3y+12 \\[0.2cm]$ Quel est l'élément neutre ? $\\[0.3cm]$ Méthode 1: $\\[0.2cm]$ $4$ est l'élément neutre dans $(\mathbb{R} , *) \\[0.2cm]$ Soit $~n \in \mathbb{R} \\[0.2cm]$ $x*4=4x-3x-3\times 4 +12=x \\[0.2cm]$ $4*x=4x-3\times 4 -3x+12 =x \\[0.2cm]$ et puisque l'élément neutre est unique $\\[0.2cm]$ alors $4$ est l'élément neutre dans $(\mathbb{R} , *) \\[0.3cm]$ Méthode 2 : $\\[0.2cm]$ On suppose que $e$ est l'élément neutre dans $(\mathbb{R} , *) \\[0.2cm]$ $\begin{aligned} e ~\text{l'élément neutre dans}~ (\mathbb{R} , *) &\Leftrightarrow (\forall x \in \mathbb{R}) \quad x*e=x \\[0.2cm] &\Leftrightarrow (\forall x \in \mathbb{R}) \quad xe-3x-3e+12=x \\[0.2cm] &\Leftrightarrow (\forall x \in \mathbb{R}) \quad x(e-3)-3e+12=x\cdot 1+0 \\[0.2cm] &\Leftrightarrow e-3=1 \quad \text{et} \quad -3e+12=0 \\[0.2cm] &\Leftrightarrow e=4 \end{aligned}$

Symétrique d’un élément par une loi de composition interne :

Définition

Soit $*$ une loi de composition interne dans l’ensemble $E$ et soit $e$ l’élément neutre , on dit qu’un élément $X\in E$ est symétrisable pour $(E , *)$ s’il existe un élément $X'$ de $E$ tel que :

$X*X'=X'*X=e$

Exemple

Tout élément dans $\mathbb{R}$ est symétrisable par la multiplication sauf $0$ .
Tout élément de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ~\backslash ~ \{0\}$ tel que $p$ un premier positif

Propriété

Si la loi de composition interne $*$ est associative et possède un élément neutre $e$ , et si un élément $X \in E$ possède un symétrique $X'$ dans $(E , *)$ alors $X'$ est unique dans $E$ .

Démonstration

On suppose que $X \in E$ admet comme symétriques dans $E$ : $X'$ et $X'' \\[0.2cm]$ $(X'*X)X''=e*X''=X'' \\[0.2cm]$ $X'*(X*X'')=X'*e=X' \\[0.2cm]$ et puisque $*$ est associative alors : $\\[0.2cm]$ $(X'*X)*X''=X'*(X*X'') \\[0.2cm]$ Donc $\quad X''=X'$

Symétrique de la composée de deux élément :

Propriété

Soit $*$ une loi de composition interne associative qui possède un élément neutre dans $E$ , si $(x, y )\in E$ ont respectivement comme symétriques dans $(E , *)$ ; $x'$ et $y'$ alors le symétrique de l’élément $(x*y)$ est $(y'*x')$

$(x*y)'=y'*x'$

Démonstration

$\begin{aligned}(x*y)*(x'*y')=x*(y*y')*x'=x*e*x'&=(x*e)*x'\\ &=x*x'=e \end{aligned} \\[0.2cm]$ $(y'*x')*(x*y)=y'*(x*x')*y=(y'*e)*y=y'*y=e$

Exemple

Soit dans $(\mathcal{A} (E), 0)$ , l'ensemble des applications de $E$ vers $E \\[0.2cm]$ $0$ est associative dans $\mathcal{A} (E)$ et $Id_E$ est l'élément neutre tel :

$(Id_E : X \rightarrow X)$

Soient $f$ et $g$ deux bijections de $\mathcal{A} (E) \\[0.2cm]$ Le symétrique de $f$ et $f^{-1}$ dans $(\mathcal{A} (E), 0) \\[0.2cm]$ Le symétrique de $g$ est $g^{-1}$ dans $(\mathcal{A} (E), 0)\\[0.2cm]$ Le symétrique de $g \circ f$ est $f^{-1} \circ g^{-1}$

$(g \circ f)^{-1}=g^{-1} \circ f^{-1}$

Elément régulier d’une loi de composition interne :

Définition

Soit $*$ une loi de composition interne dans l’ensemble $E \\$ On dit qu’un élément $a$ est régulier dans $(E , *)$ si :

$\forall(x,y) \in E \left\{ \begin{array}{rcr} a*x=a*y & \Rightarrow & x=y \\ x*a=y*a & \Rightarrow & x=y \end{array} \right.$

Remarque

Si la loi $*$ est associative et possède un élément neutre dans $E$ alors tout élément $a$ qui a $a'$ comme élément symétrique est régulier dans $(E, *)$

Exemple

Soient $x$ et $y$ de $E \\[0.2cm]$ $a*x=x*a \Rightarrow a'*(a*x)=a'*(a*y) \Rightarrow (a'*a)*x=(a'*a)*y \\[0.2cm]$ $x*a=y*a \Rightarrow (x*a)*a'=(y*a)*a' \Rightarrow x*(a*a')=y*(a*a')$

Vidéo Les propriétés d'une loi de composition interne

15 min

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Morphismes :

Définition

Soit $E$ et $F$ deux ensembles munis respectivement de deux lois de compositions internes $*$ et $T \\[0.2cm]$ On appelle un morphisme de $(E , *)$ vers $(F , T)$ toute application $f$ de $E$ vers $F$ vérifiant :

$\forall (x, y) \in E^2 \quad f(x*y)=f(x) T f(y)$

De plus si $f$ est bijective on dit que $f$ est un isomorphisme et $E$ et $F$ sont aussi des isomorphismes

Exemple

$\ln (\mathbb{R}^{*}_{+} , \times) \rightarrow (\mathbb{R}, +)\\[0.2cm]$ c'est un isomorphisme : $\\[0.2cm]$ $(\forall (x, y)\in \mathbb{R}^{*2}_{+}) \quad \ln (x \times y)=\ln (x) + \ln (y)$

Propriétés d’un morphisme:

Propriété

Soit $f$ un morphisme de $(E , *)$ vers $(F , T)$ , on a :

$f(E)$ est une partie stable de $(F, T) \\$
Si la loi $*$ est commutative dans $E$ , alors $T$ est commutative dans $f(E) \\$
Si la loi $*$ est associative dans $E$ , alors $T$ est associative dans $f(E) \\$
Si $e$ est l’élément neutre dans $(E , *)$ alors $f(e)$ est l’élément neutre dans $(f(E) , T) \\$
Si $x'$ est le symétrique de $x$ dans $(E , *)$ alors $f(x')$ est le symétrique de $f(x)$ dans $(f(E) , T)$ : $~(f(x))'=f(x')$

Remarque

Si $f$ est un isomorphisme alors il transfère les propriétés de la loi $*$ dans $(E , *)$ vers l’ensemble $F \\$
Si $f$ est un isomorphisme de $(E , *)$ vers $(F , T)$ alors sa bijection $f^{-1}$ est un morphisme de $(F , T)$ vers $(E , *)$

Démonstration

1- $f : (E , *) \rightarrow (F , T) \quad$ un morphisme $\\[0.2cm]$ Soient $\alpha$ et $\beta$ de $f(E) \\[0.2cm]$ c'est à dire : $~ \exists (a , b) \in E^2 ~/ ~ f(a)= \alpha \quad \text{et} \quad f(b)=\beta \\[0.2cm]$

$\begin{aligned} \alpha T \beta &= f(a) T f(b) \\[0.2cm] &= f(a*b) \in f(E) \quad \quad (a*b \in E) \end{aligned} \\[0.2cm]$

$\rightarrow ~f$ une partie stable de $(F , T) \\[0.2cm]$ 2- On a $*$ commutatif dans $E \\[0.2cm]$ Soient $\alpha$ et $\beta$ de $f(E) \\[0.2cm]$ c'est à dire : $~ \exists (a , b) \in E^2 ~/ ~ f(a)= \alpha \quad \text{et} \quad f(b)=\beta \\[0.2cm]$ $\begin{aligned} \alpha T \beta &= f(a) T f(b) \\[0.2cm] &= f(a*b) \\[0.2cm] &= f(b*a) \\[0.2cm] &= f(b) T f(a) \\[0.2cm] &= \beta T \alpha \end{aligned} \\[0.2cm]$ 3- On a $*$ associative dans $E \\[0.2cm]$ Soient $\alpha$ et $\beta$ et $\gamma$ de $f(E) \\[0.2cm]$ c'est à dire : $\\[0.2cm]$ $\exists (a , b , c) \in E^3 ~/~ \left\{ \begin{array}{rcr} f(a)& = & \alpha \\ f(b) & = & \beta \\ f(c) & = & \gamma \end{array} \right. \\[0.2cm]$

$\begin{aligned}(\alpha T \beta) T \gamma &=(f(a)T f(b)) T f(c) \\[0.2cm] &= f(a*b) T f(c) \\[0.2cm] &= f((a*b)*c) \\[0.2cm] &= f(a*(b*c)) \\[0.2cm] &= f(a) T f(b*c) \\[0.2cm] &= f(a) T (f(b) T f(c)) \\[0.2cm] &= \alpha T (\beta T \gamma) \end{aligned} \\[0.2cm]$

donc $T$ est associative

Démonstration

Démo de la remarque $\\[0.2cm]$ On montre que $\\[0.2cm]$ $f : (E , *) \rightarrow (F , T) ~$ est un isomorphisme $\\$ $f^{-1} : (F , T) \rightarrow (E , *)~$ est un morphisme $\\[0.2cm]$ Soient $\alpha$ et $\beta$ de $F$ , c'est à dire : $\\[0.2cm]$ $(\exists (a, b) \in E^2) \left\{ \begin{array}{rcr} f(a) = \alpha \\ f(b) = \beta \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcr} a = f^{-1}(\alpha) \\ b = f^{-1} (\beta ) \end{array} \right. \\[0.2cm]$ $\begin{aligned} f^{-1}(\alpha T \beta) &= f^{-1}(f(a) T f(b)) \\[0.2cm] &= f^{-1} (f(a*b)) \\[0.2cm] &= a*b= f^{-1}(\alpha) * f^{-1}(\beta) \end{aligned}$

Vidéo Morphisme et ses propriétés

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Loi de composition interne
Morphismes :
1. Propriétés d’un morphisme:
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