Fiche de cours

L'ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES

NOTION DE NOMBRE COMPLEXE

Théorème

Il existe un ensemble noté C\mathbb{C} contenant R\mathbb{R} :

∙ \bullet ~ muni d'une addition notée ++ et d'une multiplication notée ∗*, ou le plus souvent implicitement (c'est-à-dire sans symbole, comme dans R\mathbb{R} ) possédant les mêmes propriétés comme dans R\mathbb{R}.

∙ \bullet ~ possédant un élément noté ii dont le carré vaut −1:i2=−1-1: i^{2}=-1.

∙ \bullet ~ où tout élément zz, appelé nombre complexe ou complexe, s'écrit de manière unique sous la forme z=x+iyz=x+i y, avec xx et yy réels.

image/svg+xml Remarque

- On a alors: N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

- L'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

- Contrairement à R\mathbb{R}, l'ensemble C\mathbb{C} n'est usuellement muni d'aucune relation d'ordre et nous ne pourrons donc pas dire qu'un nombre complexe est inférieur à un autre ou non plus qu'il est positif.

- Les nombres complexes  x+iy ~x+i y~ et  x+yi ~x+y i~ où  (x;y)∈R2 ~(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}~ représentent le même nombre complexe.

On a: C={x+iy/(x;y)∈R2}\quad \mathbb{C}=\left\{x+i y /(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}\right\}

LA FORME ALGÉBRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE

Définition

Étant donné z∈Cz \in \mathbb{C}, il existe un unique couple (x;y)∈R2(x ; y) \in \mathbb{R}^{2} tel que

z=x+iyz=x+i y.

- L'écriture x+iy x+i y~ s'appelle la forme algébrique du nombre complexe zz,

- Le nombre xx est la partie réelle de zz, notée Re⁡(z)\operatorname{Re}(z).

- Le nombre yy est la partie imaginaire de zz, notée Im⁡(z)\operatorname{Im}(z).

- Un nombre complexe est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle:

z∈R⇔Im⁡(z)=0z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Im}(z)=0

- Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle :

z∈iR⇔Re⁡(z)=0z \in i \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z)=0

Exemple

On considère le nombre complexe: z=5+2i(1−3i)z=5+2 i(1-3 i)

On a: z=5+2i−6i2=5+2i+6=11+2i:~ z=5+2 i-6 i^{2}=5+2 i+6=11+2 i .

On a alors: Re⁡(z)=11 \operatorname{Re}(z)=11~ et  Im⁡(z)=2~\operatorname{Im}(z)=2.

Vidéo L’ensemble des nombres complexes et la représentation géométrique
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ÉGALITÉ DE DEUX NOMBRES COMPLEXES

Propriété

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes parties réelles et les mêmes parties imaginaires. En d'autres termes:

(∀(z;z′)∈C2)z=z′⇔(Re⁡(z)=Re⁡(z′) et Im⁡(z)=Im⁡(z′)) \left(\forall\left(z ; z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{2}\right) \quad z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left(\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \text { et } \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\right)

image/svg+xml Remarque

- Le résultat de la proposition est une conséquence immédiate de l'unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe.

- Pour tout nombre complexe z:z=0⇔(Re⁡(z)=0 z: \quad z=0 \Leftrightarrow(\operatorname{Re}(z)=0~ et  Im⁡(z)=0)~\operatorname{Im}(z)=0)

Exemple

On considère deux nombres complexes:

z1=x−1+(y+2)i  z_{1}=x-1+(y+2) i~~ et   z2=−2xi+y  ~~z_{2}=-2 x i+y~~ où   (x;y)∈R2~~(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}

Déterminons xx et yy pour que z1=z2:z_{1}=z_{2}:

On a:

z1=z2⇔(x−1=yety+2=−2x)⇔x−y=1et2x+y=−2⇔(x=−13et y=−43) \begin{aligned} z_{1}=z_{2} &\Leftrightarrow(x-1=y \quad \text{et} \quad y+2=-2 x) \\[0.2cm] &\Leftrightarrow x-y=1 \quad \text{et} \quad 2 x+y=-2 \\[0.2cm] & \Leftrightarrow(x=-\frac{1}{3}\quad \text{et } \quad \left.y=-\frac{4}{3}\right)\end{aligned}

OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES : ADDITION ET MULTIPLICATION DANS C

Propriété

Soit zz et z′z^{\prime} deux nombres complexes tels que :  z=x+iy ~z=x+i y~ et

 z′=x′+iy′~z^{\prime}=x^{\prime}+i y^{\prime} \\ avec  (x,x′,y,y′)∈R4~\left(x, x^{\prime}, y, y^{\prime}\right) \in \mathbb{R}^{4}.

On a:   z+z′=x+x′+i(y+y′) ~~z+z^{\prime}=x+x^{\prime}+i\left(y+y^{\prime}\right)~

et   z×z′=xx′−yy′+i(xy′+xy′)~~z \times z^{\prime}=x x^{\prime}-y y^{\prime}+i\left(x y^{\prime}+x y^{\prime}\right).

- Pour tout λ∈R:λz=λx+i(λy)\lambda \in \mathbb{R}: \quad \lambda z=\lambda x+i(\lambda y).

Exemple

On considère les nombres complexes suivants:

z1=5−4i;z2=3+6i;z3=3+i2z_{1}=5-4 i \quad ; \quad z_{2}=3+6 i \quad ; \quad z_{3}=3+i \sqrt{2}

Écrivons les nombres complexes suivants sous forme algébrique :

z1+z2;z1×z2;z1×z3;−5z2z_{1}+z_{2} \quad ; \quad z_{1} \times z_{2} \quad ; \quad z_{1} \times z_{3}\quad ; \quad -5 z_2

⋅z1+z2=5−4i+3+6i=8+2i\cdot z_{1}+z_{2}=5-4 i+3+6 i=8+2 i \\[0.2cm]

⋅z1×z2=(5−4i)(3+6i)=15+30i−12i+24=39+18i\cdot z_{1} \times z_{2}=(5-4 i)(3+6 i)=15+30 i-12 i+24=39+18 i \\[0.2cm]

⋅z1×z3=(5−4i)(3+i2)=15+52i−12i+42=(15+42)+(−12+52)i\begin{aligned}\cdot z_{1} \times z_{3} &=(5-4 i)(3+i \sqrt{2})\\ &=15+5 \sqrt{2} i-12 i+4 \sqrt{2}\\ & =(15+4 \sqrt{2})+(-12+5 \sqrt{2}) i \end{aligned}\\[0.2cm]

⋅−5z2=−5(3+6i)=−15−30i\cdot-5 z_{2}=-5(3+6 i)=-15-30 i

image/svg+xml Remarque

Pour tout (z;z′)∈C2\left(z ; z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{2} et pour tout λ∈R\lambda \in \mathbb{R} on a :

Re⁡(z+z′)=Re⁡(z)+Re⁡(z′) et Re⁡(λz)=λRe⁡(z)Im⁡(z+z′)=Im⁡(z)+Im⁡(z′)etIm⁡(λz)=λlm⁡(z) \operatorname{Re} ( z + z' ) = \operatorname{Re} ( z ) + \operatorname{Re} ( z' ) \quad \text { et } \quad \operatorname{Re}(\lambda z)=\lambda \operatorname{Re}(z) \\[0.2cm] \operatorname{ Im } ( z + z') = \operatorname{ Im } ( z ) + \operatorname{ I m } ( z')\quad \text{et} \quad\operatorname{Im}(\lambda z)=\lambda \operatorname{lm}(z)

Si kk ∈N,  \in \mathbb{N}, ~~ alors   i2k=(i2)k=(−1)k~~i^{2 k}=\left(i^{2}\right)^{k}=(-1)^{k}.

Il en résulte donc:   i4k=1 ,i4k+1=i,i4k+2=−1,~~i^{4 k}=1  \quad, \quad i^{4 k+1}=i \quad, \quad i^{4 k+2}=-1,

i4k+3=−ii^{4 k+3}=-i

OPPOSÉ D'UN COMPLEXE - DIFFÉRENCE DE DEUX COMPLEXES

Propriété

Tout nombre complexe  z=x+iy, ~z=x+i y,~ où xx et yy sont des réels, possède un opposé dans C\mathbb{C}, noté −z-z, qui est le nombre complexe −x−iy-x-i y,

et on écrit :  −z=−x−iy~-z=-x-i y.

Donc:

Re⁡(−z)=−Re⁡(z) et Im⁡(−z)=−Im⁡(z) \operatorname{Re}(-z)=-\operatorname{Re}(z) \quad \text { et } \quad \operatorname{Im}(-z)=-\operatorname{Im}(z)

Définition

La différence de deux nombres complexes zz et z′z^{\prime} est le nombre :

z−z′=z+(−z′)\quad z-z^{\prime}=z+\left(-z^{\prime}\right)

image/svg+xml Remarque

- Si x,x′,yx, x^{\prime}, y et yy ' sont des nombres réels alors:

(x+iy)−(x′+iy′)=x−x′+i(y−y′)(x+i y)-\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right)=x-x^{\prime}+i\left(y-y^{\prime}\right) .

Les identités remarquables vues dans R\mathbb{R} restent aussi valables dans C\mathbb{C}. Ainsi, pour tous nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2}, on a :

(z1+z2)2=z12+2z1⋅z2+z22(z1−z2)2=z12−2z1⋅z2+z22(z1+z2)(z1−z2)=z12−z22 \left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}=z_{1}^{2}+2 z_{1} \cdot z_{2}+z_{2}^{2} \\[0.2cm] \left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}=z_{1}^{2}-2 z_{1} \cdot z_{2}+z_{2}^{2} \\[0.2cm] \left(z_{1}+z_{2}\right)\left(z_{1}-z_{2}\right)=z_{1}^{2}-z_{2}^{2}

En particulier, on a les égalités suivantes, valables pour tout (a;b)∈R2(a ; b) \in \mathbb{R}^{2} :

(a+ib)2=a2−b2+2abi (a+i b)^{2}=a^{2}-b^{2}+2 a b i

(a−ib)2=a2−b2−2abi(a-i b)^{2}=a^{2}-b^{2}-2 a b i

(a+ib)(a−ib)=a2+b2(a+i b)(a-i b)=a^{2}+b^{2}

On a aussi :

(z1+z2)3=z13+3z12⋅z2+3z1⋅z22+z23(z1−z2)3=z13−3z12⋅z2+3z1⋅z22−z23\left(z_{1}+z_{2}\right)^{3}=z_{1}^{3}+3 z_{1}^{2} \cdot z_{2}+3 z_{1} \cdot z_{2}^{2}+z_{2}^{3} \\[0.2cm] \left(z_{1}-z_{2}\right)^{3}=z_{1}^{3}-3 z_{1}^{2} \cdot z_{2}+3 z_{1} \cdot z_{2}^{2}-z_{2}^{3}

z13−z23=(z1−z2)(z12+z1⋅z2+z22)z13+z23=(z1+z2)(z12−z1⋅z2+z22) z_{1}^{3}-z_{2}^{3}=\left(z_{1}-z_{2}\right)\left(z_{1}^{2}+z_{1} \cdot z_{2}+z_{2}^{2}\right) \\[0.2cm] z_{1}^{3}+z_{2}^{3}=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(z_{1}^{2}-z_{1} \cdot z_{2}+z_{2}^{2}\right)

- Un produit de nombres complexes est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.

En particulier: (∀(z;z′)∈C2)z×z′=0⇔(z=0\quad\left(\forall\left(z ; z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{2}\right) \quad z \times z^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left(z=0\right. ou z′=0)\left.z^{\prime}=0\right)

Exemple

Pour tout z∈Cz \in \mathbb{C}, on pose: z1=5−iz z_{1}=5-i z~ et  z2=z+i(z2+1)~z_{2}=z+i\left(z^{2}+1\right)

Écrivons les nombres z1z_{1} et z2z_{2} sous leur forme algébrique dans chacun des cas suivants :
a) z=iz=i

b) z=2+3iz=2+3 i

c) z=(1−3i)2z=(1-3 i)^{2}

solution

a) On a :   z1=5−i2=5−(−1)=6~~z_{1}=5-i^{2}=5-(-1)=6

et  z2=i+i(i2+1)=i+i(−1+1)=1~z_{2}=i+i\left(i^{2}+1\right)=i+i(-1+1)=1

b) On a :  z1=5−i(2+3i)=5−2i−3i2=5−2i+3=8−2i~z_{1}=5-i(2+3 i)=5-2 i-3 i^{2}=5-2 i+3=8-2 i

et:  z2=2+3i+i((2+3i)2+1)=2+3i−i(−4+12i)=−10−1~z_{2}=2+3 i+i\left((2+3 i)^{2}+1\right)=2+3 i-i(-4+12 i)=-10-1

c) On a :  z1=5−i(1−3i)2=5−i(−8−6i)−5+8i−6=−1+8i~z_{1}=5-i(1-3 i)^{2}=5-i(-8-6 i)-5+8 i-6=-1+8 i

et :  z2=(1−3i)2+i((1−3i)4+1)=−8−6i+i((−8−6i)2+1)=−8−6i+i(29+96i)=−104+23i\begin{aligned} \text {et :} ~~z_{2}=(1-3 i)^{2}+i\left((1-3 i)^{4}+1\right)&=-8-6 i+i\left((-8-6 i)^{2}+1\right)\\[0.2cm] &=-8-6 i+i(29+96 i) \\[0.2cm] &=-104+23 i \end{aligned}

2) On considère le nombre complexe:  t=1+3+i(1−3)~t=1+\sqrt{3}+i(1-\sqrt{3})

Calculons puis mettons sous forme algébrique les nombres t2,t4t^{2}, t^{4} et t6t^{6}:

- On a :

t2=(1+3)2−(1−3)2+2i(1+3)(1−3)=4(3−i)=43−4i\begin{aligned} t^{2}&=(1+\sqrt{3})^{2}-(1-\sqrt{3})^{2}+2 i(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})\\ &=4(\sqrt{3}-i) \\ &=4 \sqrt{3}-4 i \end{aligned}

- On a :

t4=[4(3−i)]2=16(3−i)2=16(2−2i3)=32−323i \begin{aligned}t^{4}=[4(\sqrt{3}-i)]^{2} &=16(\sqrt{3}-i)^{2}\\ &=16(2-2 i \sqrt{3})\\ &=32-32 \sqrt{3} i \end{aligned}

- On a :

t6=t2×t4=4(3−i)×32(1−i3)=128(3−i)(1−i3)=128(−4i)=−512i \begin{aligned}t^{6}=t^{2} \times t^{4}&=4(\sqrt{3}-i) \times 32(1-i \sqrt{3}) \\&=128(\sqrt{3}-i)(1-i \sqrt{3})=128(-4 i)=-512 i\end{aligned}

- On a:  t12=(t6)2=(−512i)2=(−29i)2=−218~t^{12}=\left(t^{6}\right)^{2}=(-512 i)^{2}=\left(-2^{9} i\right)^{2}=-2^{18}.

INVERSE D'UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL QUOTIENT DE DEUX NOMBRES COMPLEXES

Propriété

Soit z=x+iyz=x+i y un nombre complexe non nul tels que (x;y)∈R−{(0,0)}\\ (x ; y) \in \mathbb{R}-\{(0,0)\}.

L'inverse du nombre zz est le nombre complexe noté 1z\frac{1}{z} ou z−1z^{-1} tel que :

1z=1x+iy=1x2+y2(x−iy)=xx2+y2−iyx2+y2 \frac{1}{z}=\frac{1}{x+i y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}(x-i y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-i \frac{y}{x^{2}+y^{2}}

Exemple

1) Déterminons l'inverse du nombre complexe z=(1−2i)(3+2i)z=(1-2 i)(3+2 i) :

On a :  z=3+2i−6i+4=7−4i.~z=3+2 i-6 i+4=7-4 i .

Donc: 1z=17−4i=7+4i72+(−4)2=765+465i\frac{1}{z}=\frac{1}{7-4 i}=\frac{7+4 i}{7^{2}+(-4)^{2}}=\frac{7}{65}+\frac{4}{65} i

2) Écrivons sous forme algébrique le nombre complexe : z=11+2i+13−4iz=\frac{1}{1+2 i}+\frac{1}{3-4 i}

On a :

z=11+2i+13−4i=1−2i12+22+3+4i32+(−4)2=1−2i5+3+4i25=5−10i+3+4i25=825−625i\begin{aligned}z=\frac{1}{1+2 i}+\frac{1}{3-4 i}&=\frac{1-2 i}{1^{2}+2^{2}}+\frac{3+4 i}{3^{2}+(-4)^{2}}\\ &=\frac{1-2 i}{5}+\frac{3+4 i}{25}\\ &=\frac{5-10 i+3+4 i}{25}\\ &=\frac{8}{25}-\frac{6}{25} i \end{aligned}

3) L'inverse du nombre complexe ii est le nombre : 1i=−i\frac{1}{i}=-i

Application

1. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe suivant :

Z=(2+i3)(3−4i)+(1+12i)2Z=(2+i \sqrt{3})(3-4 i)+\left(1+\frac{1}{2} i\right)^{2}.

2. Déterminer la forme algébrique du nombre u=1z−1z′u=\frac{1}{z}-\frac{1}{z^{\prime}} sachant que:

z=1−3iz=1-3 i\quad et z′=32+5i\quad z^{\prime}=\frac{3}{2}+5 i.

3. Soit:  j=−12+32i~j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i

a) Calculer j2j^{2} et j3j^{3}.

b) Soit k∈Nk \in \mathbb{N}. Calculer jkj^{k} selon les valeurs de kk.

c) Vérifier que : 1+j+j2=01+j+j^{2}=0.

d) Calculer la somme : 1+j+j2+…+j20181+j+j^{2}+\ldots+j^{2018}.

4. Pour tout z∈Cz \in \mathbb{C} on pose : f(z)=z2−z+2f(z)=z^{2}-z+2

Déterminer tous les complexes zz tels que f(z)∈Rf(z) \in \mathbb{R}. (Indication: Poser z=x+iyavec⁡(x;y)∈R2)\left.z=x+i y \operatorname{ avec }(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}\right).

5. Soit zz un nombre complexe différent de −i-i. Prouver que :

1z+i∈R⇔Im⁡z=−1\frac{1}{z+i} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Im} z=-1.

Propriété

Soit z=x+iyz=x+i y et z′=x′+iy′z^{\prime}=x^{\prime}+i y^{\prime} deux complexe où x,x′,yx, x^{\prime}, y et y′y^{\prime} des réels tels que (x,y)≠(0,0)(x, y) \neq(0,0).

Le quotient de z′z^{\prime} par zz est le nombre complexe noté z′z\frac{z^{\prime}}{z} tel que : z′z=z′×1z\frac{z^{\prime}}{z}=z^{\prime} \times \frac{1}{z} \\ et on a :

z′z=x′+iy′x+iy=xx′+yy′x2+y2+ixy′−yx′x2+y2 \frac{z^{\prime}}{z}=\frac{x^{\prime}+i y^{\prime}}{x+i y}=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{x^{2}+y^{2}}+i \frac{x y^{\prime}-y x^{\prime}}{x^{2}+y^{2}}

Exemple

1) Calculons le nombre: z=3+2i3−2i+3−2i3+2iz=\frac{\sqrt{3}+2 i}{\sqrt{3}-2 i}+\frac{\sqrt{3}-2 i}{\sqrt{3}+2 i}

On a immédiatement: z=(3+2i)2+(3−2i)2(3−2i)(3+2i)=−1+2i3−1−2i33+4=−27z=\frac{(\sqrt{3}+2 i)^{2}+(\sqrt{3}-2 i)^{2}}{(\sqrt{3}-2 i)(\sqrt{3}+2 i)}=\frac{-1+2 i \sqrt{3}-1-2 i \sqrt{3}}{3+4}=-\frac{2}{7}

2) Résolvons dans C\mathbb{C} l'équation suivante : (E):(4+i)z=2+i−z\quad(E):(4+i) z=2+i-z.

L'équation (E)(E) est équivalente à  z+(4+i)z=2+i~z+(4+i) z=2+i,

c'est-à-dire (5+i)z=2+i(5+i) z=2+i.

Il s'ensuit donc :  z=2+i5+i=(2+i)(5−i)52+12=11+3i26=1126+326i ~~z=\frac{2+i}{5+i}=\frac{(2+i)(5-i)}{5^{2}+1^{2}}=\frac{11+3 i}{26}=\frac{11}{26}+\frac{3}{26} i

Par suite, l'ensemble solution de cette équation est : S={1126+326i}S=\left\{\frac{11}{26}+\frac{3}{26} i\right\}

3) Soit z=x+iyz=x+i y un nombre complexe avec  (x;y)∈R2~(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}, On pose f(z)=z+iz−1f(z)=\frac{z+i}{z-1}.

Déterminons les nombres complexes zz distincts de 11 pour que f(z)f(z) soit un réel.

On a: f(z)=x+i(y+1)(x−1)+iy=(x+i(y+1))((x−1)−iy)(x−1)2+y2=x2+y2−x+y(x−1)2+y2+ix−y−1(x−1)2+y2f(z)=\frac{x+i(y+1)}{(x-1)+i y}=\frac{(x+i(y+1))((x-1)-i y)}{(x-1)^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}-x+y}{(x-1)^{2}+y^{2}}+i \frac{x-y-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}

Il s'ensuit donc que:

Re⁡(f(z))=x2+y2−x+y(x−1)2+y2\operatorname{Re}(f(z))=\frac{x^{2}+y^{2}-x+y}{(x-1)^{2}+y^{2}}\quad et Im⁡(f(z))=x−y−1(x−1)2+y2\quad \operatorname{Im}(f(z))=\frac{x-y-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}

On a alors:

f(z)∈R⇔Im⁡(f(z))=0⇔{x−y−1=0(x−1)2+y2≠0⇔{y=x−1(x;y)≠(1;0)⇔{z=x+i(x−1)x≠1\begin{aligned}f(z) \in \mathbb{R} &\Leftrightarrow \operatorname{Im}(f(z))=0 \\ & \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x-y-1=0 \\ (x-1)^{2}+y^{2} \neq 0\end{array}\right. \\[0.2cm] & \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=x-1 \\(x ; y) \neq(1 ; 0) \end{array}\right. \\[0.2cm] &\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}z=x+i (x-1)\\x \neq 1 \end{array}\right.\end{aligned}

Par suite, l'ensemble des nombres complexes zz tel que f(z)∈Rf(z) \in \mathbb{R} est:

{x+(x−1)i /  x∈R−{1}}\{x+(x-1) i ~ / ~~x \in \mathbb{R}-\{1\}\}.

Application

1. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe suivant:

Z=(1+i)(2+i1−i)2−(1+3i)(2+i1−i)+6Z=(1+i)\left(\frac{2+i}{1-i}\right)^{2}-(1+3 i)\left(\frac{2+i}{1-i}\right)+6.

2. Résoudre dans C\mathbb{C} les équations suivantes :

(E1)(−1+4i)z+(1−2i)=iz+3 \left(E_{1}\right) \quad(-1+4 i) z+(1-2 i)=i z+3

(E2)1+3iz1+3z=iz+2z−5\left(E_{2}\right) \quad \frac{1+3 i z}{1+3 z}=i \frac{z+2}{z-5}

3. Résoudre dans C2\mathbb{C}^{2} les systèmes suivants :

(S1):{2iz+3z′=iiz+z′=2;(S2):{3z−2z′=−11iz+(1+i)z′=3(4−i)\left(S_{1}\right):\left\{\begin{array}{l} 2 i z+3 z^{\prime}=i \\ i z+z^{\prime}=2 \end{array} \quad ; \quad\left(S_{2}\right):\left\{\begin{array}{l} 3 z-2 z^{\prime}=-11 \\i z+(1+i) z^{\prime}=3(4-i) \end{array}\right.\right.

4. Soit z=x+iyz=x+i y un nombre complexe tel que (x;y)∈R2(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}.

Déterminer tous les nombres complexes zz dans chacun des cas suivants :

a) iz2∈Ri z^{2} \in \mathbb{R}

b) z2+z+1∈Rz^{2}+z+1 \in \mathbb{R}

c) 1−iz1+z∈iR\frac{1-i z}{1+z} \in i \mathbb{R}

Vidéo Les opérations dans C
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LA REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE : AFFIXE D'UN POINT - AFFIXE D'UN VECTEUR

Définition

Le plan S\mathcal{S} est muni d'un repère orthonormé direct (O;e⃗1;e⃗2)\left(O ; \vec{e}_{1} ; \vec{e}_{2}\right).

- Soit z=x+iyz=x+i y où (x;y)∈R2(x ; y) \in \mathbb{R}^{2} un nombre complexe.

L'unique point MM, de coordonnées (x;y)dans⁡(O;e⃗1;e⃗2)(x ; y) \operatorname{dans}\left(O ; \vec{e}_{1} ; \vec{e}_{2}\right), est appelé l'image du complexe zz et on écrit M(z)M(z).

- Soit MM un point, de coordonnées (x;y)dans⁡(O;e⃗1;e⃗2)(x ; y) \operatorname{dans}\left(O ; \vec{e}_{1} ; \vec{e}_{2}\right).

Le nombre complexe z=x+iyz=x+i y est appelé l'affixe du point M.M .

On le note Aff(M)A f f(M) ou zMz_{M}.

image/svg+xml Remarque

- Le plan S\mathcal{S} étant muni d'un repère orthonormé direct (O;e⃗1;e⃗2)\left(O ; \vec{e}_{1} ; \vec{e}_{2}\right). À partir de la définition précédente , on peut identifier l'ensemble C\mathbb{C} au plan S\mathcal{S} de la façon suivante :

- À tout nombre complexe z=x+iyz=x+i y on associe le point M(x;y)M(x ; y).

- À tout point M(x;y)M(x ; y) du plan S\mathcal{S} on associe le nombre complexe z=x+iy\\ z=x+i y. Ainsi :

Le plan P\mathcal{P} est appelé alors le plan complexe et on a pour tous points MM et NN du plan P\mathcal{P} :

Aff(M)=Aff(N)⇔M=N A f f(M)=A f f(N) \Leftrightarrow M=N

- Tout point de l'axe des abscisses est l'image d'un nombre réel, c'est pour cela l'axe des abscisses s'appelle l'axe réel.

Donc: M(z)∈(O;e⃗1)⇔z∈RM(z) \in\left(O ; \vec{e}_{1}\right) \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}.

- Tout point B(0,b)B(0, b) de l'axe des ordonnées est l'image d'un nombre imaginaire pur (Aff(B)=bi)(A f f(B)=b i), c'est pourquoi l'axe des ordonnées s'appelle l'axe imaginaire. Donc: M(z)∈(O;e⃗2)⇔z∈iRM(z) \in\left(O ; \vec{e}_{2}\right) \Leftrightarrow z \in i \mathbb{R}.

Définition

Le plan S\mathcal{S} est muni d'un repère orthonormé direct (O;e⃗1;e⃗2)\left(O ; \vec{e}_{1} ; \vec{e}_{2}\right).

Soit z=x+iyz=x+i y un nombre complexe où (x;y)∈R2(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}.

Le vecteur u⃗=x.i⃗+y.j⃗\vec{u}=x. \vec{i}+y . \vec{j} est appelé l'image vectorielle du complexe zz, et on écrit u⃗(z)\vec{u}(z).

De même, le nombre zz est appelé l'affixe du vecteur u⃗\vec{u}, et on écrit Aff(u⃗)=z A f f(\vec{u})=z~ ou parfois  zu⃗=z~z_{\vec{u}}=z.

image/svg+xml Remarque

- Soit zz un nombre complexe. On a : z=Aff(M)⇔z=Aff(OM→)z=A f f(M) \Leftrightarrow z=A f f(\overrightarrow{O M}).

- Soit V2\mathcal{V}_{2} l'ensemble des vecteurs du plan. On a pour tous vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} de V2\mathcal{V}_{2} :

(u⃗=v⃗⇔Aff⁡(u⃗)=Aff(v⃗)) (\vec{u}=\vec{v} \Leftrightarrow \operatorname{Aff}(\vec{u})=A f f(\vec{v}))

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DE LA SOMME, DE LA DIFFÉRENCE ET DE LA MULTIPLICATION PAR UN RÉEL

Propriété

- Si v⃗1  \vec{v}_{1}~ et  v⃗2 ~\vec{v}_{2}~ sont deux vecteurs du plan d'affixes respectives z1z_{1} et z2z_{2}, alors l'affixe du vecteur v⃗1+v⃗2\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2} est z1+z2.z_{1}+z_{2} .

En d'autres termes :Aff⁡(v⃗1+v⃗2)=Aff⁡(v⃗1)+Aff⁡(v⃗2): \operatorname{Aff}\left(\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}\right)=\operatorname{Aff} \left(\vec{v}_{1}\right)+\operatorname{Aff} \left(\vec{v}_{2}\right)

- Si M1M_{1} et M2M_{2} sont les images respectives des affixes z1z_{1} et z2z_{2}, alors l'image du nombre complexe z1+z2z_{1}+z_{2} est le point SS tel que :

OS→=OM→1+OM→2  \overrightarrow{O S}=\overrightarrow{O M}_{1}+\overrightarrow{O M}_{2}~~ (c'est-à-dire OM1SM2O M_{1} S M_{2} est un parallélogramme).

Propriété

Soit M1(z1)M_{1}\left(z_{1}\right) et M2(z2)M_{2}\left(z_{2}\right) deux points du plan complexe.

Alors l'affixe du vecteur M1M2→\overrightarrow{M_{1} M_{2}} est z2−z1z_{2}-z_{1}.

En d'autres termes:

Aff(M1M2‾)=Aff⁡(M2)−Aff⁡(M1)A f f\left(\overline{M_{1} M_{2}}\right)=\operatorname{Aff}\left(M_{2}\right)-\operatorname{ Aff} \left(M_{1}\right).

Exemple

On considère les points AA et BB d'affixes respectives:

zA=3+2iz_{A}=3+2 i \quad et zB=1+5i\quad z_{B}=1+5 i.

Déterminons l'affixe du point CC pour lequel OABCO A B C est un parallélogramme

Le quadrilatère OABCO A B C est un parallélogramme si, et seulement si :

OC→=AB→\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A B}

D'après la proposition précédente , l'affixe du vecteur AB→\overrightarrow{A B} est

zB−zA=−2+3iz_{B}-z_{A}=-2+3 i.

Et puisque l'affixe du vecteur OC→\overrightarrow{O C} est celle du point CC alors l'affixe du point CC est :

zC=zB−zA=−2+3iz_{C}=z_{B}-z_{A}=-2+3 i.

Application

1. On considère les points A,BA, B et CC d'affixes respectives :

zA=−2+i,zB=4−3iz_{A}=-2+i \quad,\quad z_{B}=4-3 i \quad et zC=−5+2i\quad z_{C}=-5+2 i

a) Placer dans le plan complexe les points A,BA, B et CC.

b) Déterminer les affixes des vecteurs AB→,BC→\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C} et OA→\overrightarrow{O A}.

2. Soit A,B,CA, B, C et DD des points du plan d'affixes respectives a,b,ca, b, c et dd.

Montrer que: ABCDA B C D est un parallélogramme ⇔a+c=b+d\Leftrightarrow a+c=b+d

3. Soit A,BA, B et EE des points du plan d'affixes respectives: a=3−4ia=3-4 i et b=7−ib=7-i et e=1+ie=1+i

Et soit MM le point du plan défini par: −AM→+BM→+EM→=0→-\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{E M}=\overrightarrow{0}

Déterminer l'affixe du point MM. Quelle est la nature du quadrilatère ABMEA B M E ?

Propriété

- Si  u⃗~\vec{u} est un vecteur d'affixe zz et λ\lambda un nombre réel, alors l'affixe du vecteur λu⃗\lambda \vec{u} est λz\lambda z.

En d'autres termes :

Aff⁡(λu⃗)=λAff(u⃗)\operatorname{Aff}(\lambda \vec{u})=\lambda A f f(\vec{u})

- Si M(z)M(z) est un point du plan, alors l'image du nombre complexe λz\lambda z est le point PP défini par : OP→=λOM→\quad \overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O M}

image/svg+xml Remarque

À l'aide des propositions précédentes , on peut établir le résultat suivant :

Si  v⃗1 ~ \vec{v}_{1} ~ et  v⃗2 ~\vec{v}_{2}~ sont deux vecteurs du plan, alors pour tout (λ1;λ2)∈R2:\left(\lambda_{1} ; \lambda_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}:

Aff⁡(λ1v⃗1+λ2v⃗2)=λ1Aff⁡(v⃗1)+λ2Aff⁡(v⃗2) \operatorname{Aff} \left(\lambda_{1} \vec{v}_{1}+\lambda_{2} \vec{v}_{2}\right)=\lambda_{1}\operatorname{Aff} \left(\vec{v}_{1}\right)+\lambda_{2} \operatorname{Aff}\left(\vec{v}_{2}\right)

Vidéo Affixe d'un point et Affixe d'un vecteur
15 min
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INTERPRÉTATION COMPLEXE DE LA LINÉARITÉ, DU PARALLÉLISME , DU BARYCENTRE ET DE LA COCYCLICITE

LA LINÉARITÉ

Propriété

Soit A,BA, B et CC des points deux à deux distincts d'affixes respectives zA,zBz_{A}, z_{B} et zCz_{C}. Les points A,BA, B et CC sont alignés si, et seulement si : zC−zAzB−zA∈R\quad \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}} \in \mathbb{R}.

Exemple

1) Soit A,BA, B et CC les points du plan complexe d'affixes respectives:

zA=6−iz_{A}=6-i\quad et zB=1−11i\quad z_{B}=1-11i \quad et zC=7+i\quad z_{C}=7+i.

On a :zC−zAzB−zA=1+2i−5−10i=1+2i−5(1+2i)=−15: \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=\frac{1+2 i}{-5-10 i}=\frac{1+2 i}{-5(1+2 i)}=-\frac{1}{5}

Puisque zC−z1zB−zA∈R\frac{z_{C}-z_{1}}{z_{B}-z_{A}} \in \mathbb{R}, alors les points A,BA, B et CC sont alignés.

2) Déterminons l'ensemble des points M(z)M(z) du plan complexe tels que z+5iz−3i∈R\frac{z+5 i}{z-3 i} \in \mathbb{R} :

On considère les deux points A(−5i)A(-5 i) et B(3i)B(3 i). On a alors :

z+5iz−3i∈R⇔z−zAz−zB∈R⇔\frac{z+5 i}{z-3 i} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{z-z_{A}}{z-z_{B}} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow (les points A,BA, B et MM sont alignés et M≠B)\left.M \neq B\right)

Par suite, l'ensemble des points demandé est la droite (AB)(A B) privée du point BB.

LE PARALLÉLISME

Propriété

Soient A,B,C A, B, C et DD quatre points du plan d'affixes respectives zA,zB,zCz_{A}, z_{B}, z_{C} et zDz_{D} tels que A≠BA \neq B et C≠DC \neq D.

Les droites (AB)(A B) et (CD)(C D) sont parallèles si, et seulement si : zD−zCzB−zA∈R\frac{z_{D}-z_{C}}{z_{B}-z_{A}} \in \mathbb{R}.

LE BARYCENTRE

Propriété

Soit AA et BB deux points du plan d'affixes respectives zAz_{A} et zBz_{B},

et soit (α;β)∈R2(\alpha ; \beta) \in \mathbb{R}^{2} tel que α+β≠0\alpha+\beta \neq 0.

L'affixe du barycentre GG du système pondéré {(A;α);(B;β)}\{(A ; \alpha) ;(B ; \beta)\} est le complexe:

zG=αzA+βz8α+βz_{G}=\frac{\alpha z_{A}+\beta z_{8}}{\alpha+\beta}

image/svg+xml Remarque

- Si A(zA)A\left(z_{A}\right) et B(zB)B\left(z_{B}\right), alors l'affixe du milieu II du segment [AB][A B] est le nombre complexe zI=zA+zB2z_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}.

En fait ceci n'est rien qu'un cas particulier du barycentre où les poids sont égaux.

- On peut généraliser le résultat de la dernière proposition pour le barycentre de plus de deux points.

Plus précisément : si nn est un entier naturel supérieur ou égal à 22 et α1,α2,…,αn\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n} des réels tels que α1+α2+…+αn≠0\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{n} \neq 0, alors le barycentre GG du système pondéré {(A1;α1);(A2;α2);…;(An;αn)}\left\{\left(A_{1} ; \alpha_{1}\right) ;\left(A_{2} ; \alpha_{2}\right) ; \ldots ;\left(A_{n} ; \alpha_{n}\right)\right\} a pour affixe :

zG=α1⋅zA1+α2⋅zA2+…+αn⋅zAnα1+α2+…+αn z_{G}=\frac{\alpha_{1} \cdot z_{A_{1}}+\alpha_{2} \cdot z_{A_{2}}+\ldots+\alpha_{n} \cdot z_{A_{n}}}{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{n}}

Exemple

Soit A,BA, B et CC les points du plan d'affixes respectives:

zA=3+3iz_{A}=3+3 i \quad et zB=5−2i\quad z_{B}=5-2 i\quad et zC=7+10i \quad z_{C}=7+10 i

- Le milieu du segment [AB][A B] est le point II d'affixe : zI=zA+zB2=4+12iz_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}=4+\frac{1}{2} i

- Le barycentre HH du système pondéré {(B;−1);(C;5)}\{(B ;-1) ;(C ; 5)\} a pour affixe :

zH=−zB+5zC4=152+13iz_{H}=\frac{-z_{B}+5 z_{C}}{4}=\frac{15}{2}+13 i.

- Le centre de gravité du triangle ABCA B C est le point GG d'affixe :

zG=zA+zB+zC3=5+113iz_{G}=\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}=5+\frac{11}{3} i.

Application

1. Soit A,BA, B et CC les points du plan d'affixes respectives:

a=3+7ia=3+7 i \quad et b=4+5i\quad b=4+5 i \quad et c=2+i\quad c=2+i.

Déterminer l'affixe du point GG barycentre du système pondéré {(A,2),(B,1),(C,1)}\{(A, 2),(B, 1),(C, 1)\} et l'affixe du point HH barycentre du système pondéré {(A;1);(B;2);(C;1)}\{(A ; 1) ;(B ; 2) ;(C ; 1)\}.

2. Soit xx et yy deux nombres réels. Soit les points A,B,CA, B, C et GG du plan complexe d'affixes respectives:

zA=1+iy,zB=2i,zC=x−iz_{A}=1+i y \quad, \quad z_{B}=2 i \quad, \quad z_{C}=x-i \quad et zG=1−i\quad z_{G}=1-i

Déterminer les valeurs des réels xx et yy pour que le point GG soit le barycentre des points pondérés (A;2),(B;−1)et⁡(C;3)(A ; 2),(B ;-1) \operatorname{et}(C ; 3)

3. Soit A,B,CA, B, C et DD les points du plan d'affixes respectives:

a=2+3i,b=−5+4i,c=7−2ia=2+3 i \quad,\quad b=-5+4 i \quad, \quad c=7-2 i \quad et d=8i\quad d=8 i.

a) Déterminer l'affixe du vecteur : u⃗=2AB→−5CD→\vec{u}=2 \overrightarrow{A B}-5 \overrightarrow{C D}.

b) Déterminer l'affixe du point GG centre de gravité du triangle BCDB C D.

c) Déterminer l'affixe du point HH barycentre des points pondérés (B;−4),(G;3)(B ;-4),(G ; 3) et (D;−5)(D ;-5).

LA COCYCLICITE

Définition

On dit que les 4 points (A(zA),B(zB),C(zC)) ( A\left(z_A\right) , B\left(z_B\right) , C\left(z_C\right) )~ et  (D(zD)) ~( D\left(z_D\right) )~ deux à deux distincts et non alignés, sont cocycliques si et seulement si :

(zB−zAzC−zA÷zB−zBzC−zB)∈R\left(\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A} \div \frac{z_B-z_B}{z_C-z_B}\right) \in \mathbb{R}

Vidéo Linéarité, Parallélisme et Cocyclicité
15 min
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CONJUGUÉ D'UN NOMBRE COMPLEXE : DÉFINITION ET INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Définition

Soit z =x+iy=x+i y un nombre complexe avec (x;y)∈R2(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}.

On appelle conjugué de zz le nombre complexe x−iyx-i y, noté zˉ\bar{z}, et on écrit:

zˉ=x+iy‾=x−iy\bar{z}=\overline{x+i y}=x-i y.

On a alors :

zˉ=Re⁡(z)−iIm⁡(z) et zˉ‾=z \bar{z}=\operatorname{Re}(z)-i \operatorname{Im}(z) \quad \text { et } \quad \overline{\bar{z}}=z

Exemple

On considère les nombres complexes :

z=1+2i;t=−7i;u=17+32 z=1+2 i \quad ; \quad t=-7 i \quad ; \quad u=17+3 \sqrt{2}

v=5−4i;w=3+i(5+i) v=5-4 i \quad \quad ; \quad \quad w=3+i(5+i)

Calculons les conjugués de ces nombres :

- On a:

zˉ=1+2i‾=1−2i\bar{z}=\overline{1+2 i}=1-2 i

tˉ=−7i‾=7i\bar{t}=\overline{-7 i}=7 i

uˉ=17+32‾=17+32\bar{u}=\overline{17+3 \sqrt{2}}=17+3 \sqrt{2}

vˉ=5−4i‾=5+4i\bar{v}=\overline{5-4 i}=5+4 i

- On a:  w=2+5i, ~w=2+5 i,~ donc :  wˉ=2+5i‾=2−5i~\bar{w}=\overline{2+5 i}=2-5 i

Interprétation géométrique de la conjugaison

Soit z=x+iyz=x+i y un nombre complexe avec (x;y)∈R2(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}

La symétrie par rapport à l'axe des abscisses transforme le point M(x;y)M(x ; y) en N(x;−y)N(x ;-y), d'affixe Aff(N)=Aff(M)‾A f f(N)=\overline{A f f(M)}

La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées transforme le point M(x;y)M(x ; y) en Q(−x;y)Q(-x ; y), d'affixe Aff(Q)=−Aff(M)‾A f f(Q)=-\overline{A f f(M)}

PROPRIÉTÉS DU CONJUGUÉ

Propriété

Étant donné z∈Cz \in \mathbb{C}, on a :

Re⁡(z)=12(z+zˉ)\operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) \quad \quad et Im⁡(z)=12i(z−zˉ)\quad \quad \operatorname{Im}(z)=\frac{1}{2 i}(z-\bar{z})

et z⋅zˉ=(Re⁡(z))2+(Im⁡(z))2\quad z \cdot \bar{z}=(\operatorname{Re}(z))^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}

On a donc:

z∈R⇔zˉ=zz \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \bar{z}=z \quad et z∈iR⇔zˉ=−z\quad z \in i \mathbb{R} \Leftrightarrow \bar{z}=-z

image/svg+xml Remarque

- En pratique, pour éliminer les complexes du dénominateur d'une fraction, on le multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Propriété

Soit zz et z′z^{\prime} deux nombres complexes. On a alors les propriétés suivantes :

∙ z+z′‾=zˉ+z′‾\bullet ~\overline{z+z^{\prime}}=\bar{z}+\overline{z^{\prime}}\quad et z⋅z′‾=zˉ⋅z′‾\quad \overline{z \cdot z^{\prime}}=\bar{z} \cdot \overline{z^{\prime}}.

∙ \bullet ~ Pour tout λ∈R:λz‾=λzˉ\lambda \in \mathbb{R}: \overline{\lambda z}=\lambda \bar{z}.

∙ \bullet ~ Si  z≠0 ~ z \neq 0~ alors:  (1z)‾=1zˉ~\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\bar{z}} et (z′z)‾=z′‾zˉ\overline{\left(\frac{z^{\prime}}{z}\right)}=\frac{\overline{z^{\prime}}}{\bar{z}}.

∙ \bullet ~ Si  z≠0 ~z \neq 0~ et  n∈Z ~n \in \mathbb{Z}~ alors :  zn‾=(zˉ)n~\overline{z^{n}}=(\bar{z})^{n}.

Vidéo Le Conjugué
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MODULE D'UN NOMBRE COMPLEXE

DÉFINITION ET INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Définition

soit z=x+iyz=x+i y un nombre complexe avec (x;y)∈R2(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}

Le module de zz est le réel positif noté ∣z∣|z| défini par:

∣z∣=z.zˉ=x2+y2|z|=\sqrt{z . \bar{z}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

On a alors :

∣z∣=(Re⁡(z))2+(Im⁡(z))2|z|=\sqrt{(\operatorname{Re}(z))^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}}

Exemple

∣12−5i∣=122+(−5)2=169=13|12-5 i|=\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{169}=13

∣3+5i∣=32+52=34|3+5 i|=\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}

∣−215∣=215|-2 \sqrt{15}|=2 \sqrt{15}

∣7∣=7|7|=7

∣−6−2i∣=6+2=8=22|-\sqrt{6}-\sqrt{2} i|=\sqrt{6+2}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}

∣5i∣=52=5|5 i|=\sqrt{5^{2}}=5

∣−3i∣=(−3)2=3|-3 i|=\sqrt{(-3)^{2}}=3

Pour tout θ∈]−π2,π2[:\theta \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[:

∣cos⁡θ+isin⁡θ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1|\cos \theta+i \sin \theta|=\sqrt{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}=1

et  ∣1+itan⁡θ∣=1+tan⁡2θ=1cos⁡θ~|1+i \tan \theta|=\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{1}{\cos \theta}

PROPRIÉTÉS DU MODULE

Propriété

∙ \bullet~ La notion de module prolonge celle de la valeur absolue, c'est-à-dire que le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue.

∙ \bullet~ On a pour tout z∈C:  ∣z∣2=z.zˉz \in \mathbb{C}:~~|z|^{2}=z . \bar{z}\quad et ∣zˉ∣=∣z∣\quad |\bar{z}|=|z|

∙ \bullet~ Si  z≠0 ~ z \neq 0~ alors :   zˉ=∣z∣2z~~\bar{z}=\frac{|z|^{2}}{z}.

∙ \bullet~ Si  ∣z∣=1  ~|z|=1~~ alors  zˉ=1z~\bar{z}=\frac{1}{z}

∙ \bullet~ ∣z⋅z′∣=∣z∣⋅∣z′∣\left|z \cdot z^{\prime}\right|=|z| \cdot\left|z^{\prime}\right|

∙ \bullet~ ∣1z′∣=1∣z′∣  \left|\frac{1}{z^{\prime}}\right|=\frac{1}{\left|z^{\prime}\right|}~~ où  z′≠0~z^{\prime} \neq 0

∙ \bullet~ ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣  \left|\frac{z}{z^{\prime}}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}~~ où  z′≠0~z^{\prime} \neq 0

∙ \bullet~ ∣zn∣=∣z∣n\left|z^n\right|=|z|^n

image/svg+xml Remarque

∙ \bullet ~∣z+z′∣≤∣z∣+∣z′∣\left|z+z^{\prime}\right| \leq|z|+\left|z^{\prime}\right|

∙ \bullet~ ∣∑k=0nzk∣≤∑k=0n∣zk∣\left|\sum_{k=0}^n z_k\right| \leq \sum_{k=0}^n\left|z_k\right|

Propriété

La distance entre deux points AA et BB, d'affixes respectives aa et bb, est:

AB=∥AB→∥=∣b−a∣A B=\|\overrightarrow{A B}\|=|b-a|.

Vidéo Module d'un nombres complexes
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L'ARGUMENT D'UN NOMBRE COMPLEXE

Définition

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O, \vec{u}, \vec{v})

Soit zz un complexe non nul, d'image MM.

On appelle argument de zz toute mesure de l'angle orienté (u⃗,OM→)(\vec{u}, \overrightarrow{O M}), qu'on note arg⁡(z)\arg (z)

Et on écrit :  arg⁡(z)=(u⃗,OM→)[2π]~\arg (z)=(\vec{u}, \overrightarrow{O M})[2 \pi]

Exemple

∙ arg⁡(1+i)≡π4[2π]\bullet~\arg (1+i)\equiv \frac{\pi}{4}[2 \pi]

∙ arg⁡(2i)≡π2[2π]\bullet~ \arg (2 i)\equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]

∙ arg⁡(−i)≡−π2[2π]\bullet~ \arg (-i)\equiv -\frac{\pi}{2}[2 \pi]

∙ arg⁡(3)≡0[2π]\bullet ~\arg (3) \equiv 0[2 \pi]

image/svg+xml Remarque

1. z∈R+∗⇔arg⁡(z)≡0[2π]z \in \mathbb{R}^{+*} \Leftrightarrow \arg (z) \equiv 0 [2 \pi]

2. z∈iR⇔arg⁡(z)≡π2[2π]z \in i \mathbb{R} \Leftrightarrow \arg (z)\equiv \frac{\pi}{2} [2 \pi]

3. arg⁡(zˉ)≡−arg⁡(z)[2π]\arg (\bar{z}) \equiv -\arg (z) [2 \pi]

4. arg⁡(−z)≡π+arg⁡(z)[2π]\arg (-z) \equiv \pi+\arg (z)[2 \pi]

5. ∀(z,z′)∈C∗2z=z′⇔{∣z∣=∣z′∣arg⁡(z)≡arg⁡(z′)[2π]\forall\left(z, z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{*2} \quad z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}|z|=\left|z^{\prime}\right| \\ \arg (z) \equiv \arg \left(z^{\prime}\right)[2 \pi]\end{array}\right.

PROPRIETES DE L'ARGUMENT ET OPERATIONS

Propriété

Soit (z,z′)∈C∗\left(z, z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^* et n∈Z:n \in \mathbb{Z}:

∙ arg⁡(zz′)≡arg⁡(z)+arg⁡(z′)[2π]\bullet ~ \arg \left(z z^{\prime}\right) \equiv \arg (z)+\arg \left(z^{\prime}\right)[2 \pi]

∙ arg⁡(1z)≡−arg⁡(z)[2π]\bullet ~ \arg \left(\frac{1}{z}\right) \equiv-\arg (z)[2 \pi]

∙ arg⁡(zz′)≡arg⁡(z)−arg⁡(z′)[2π]\bullet ~ \arg \left(\frac{z}{z^{\prime}}\right) \equiv \arg (z)-\arg \left(z^{\prime}\right)[2 \pi]

∙ arg⁡(zn)≡narg⁡(z)[2π]\bullet ~ \arg \left(z^n\right) \equiv n \arg (z)[2 \pi]

ANGLE DE DEUX VECTEURS

Propriété

Soit les points A(zA),B(zB),C(zC),D(zD)A\left(z_A\right), B\left(z_B\right), C\left(z_C\right), D\left(z_D\right) deux à deux distincts du plan complexe, alors la mesure de l'angle orienté (AB→,CD→)(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}) est :

(AB‾,CD→‾)=arg⁡(zD−zCzB−zA)[2π](\overline{\overline{A B}, \overrightarrow{C D}})=\arg \left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)[2 \pi]

Vidéo Argument d'un nombre complexe non nul, propriétés et angle entre deux vecteurs
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FORME TRIGONOMETRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE

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Les nombres complexes
Sommaire du cours
  1. L'ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES
    1. NOTION DE NOMBRE COMPLEXE
    2. LA FORME ALGÉBRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE
    3. ÉGALITÉ DE DEUX NOMBRES COMPLEXES
  2. OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES : ADDITION ET MULTIPLICATION DANS C
  3. LA REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE : AFFIXE D'UN POINT - AFFIXE D'UN VECTEUR
  4. CONJUGUÉ D'UN NOMBRE COMPLEXE : DÉFINITION ET INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE
  5. MODULE D'UN NOMBRE COMPLEXE
  6. L'ARGUMENT D'UN NOMBRE COMPLEXE
  7. FORME TRIGONOMETRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE
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