Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et x0 un élément de l'intervalle I.
On dit que la fonction f est continue au point x0 si:
x→x0limf(x)=f(x0)
En d'autres termes:
(∀ϵ>0)(∃α>0)∣x−x0∣<α⇒∣f(x)−f(x0)∣<ϵ
مثال
La fonction f représentée ci-dessous est continue en x0. La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0;f(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.
مثال
La fonction partie entière de x, notée E, est discontinue en tout point entier. E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Par exemple, E(π)=3 ; E(−π)=−4 ; E(2)=1E(5)=5 et E(−8)=−8. Voici la représentation graphique de cette fonction :
Continuité à gauche, continuité à droite
تعريف
Soit f une fonction définie sur l'intervalle [x0;x0+r[ où r>0
On dit que la fonction f est continue à droite en x0 si:
x→x0+limf(x)=f(x0)
Soit f une fonction définie sur l'intervalle [x0−r;x0[ où r>0
On dit que la fonction f est continue à gauche en x0 si:
x→x0−limf(x)=f(x0)
Vidéo1 - Continuité à gauche et continuité à droite 15 min
Une fonction f est continue sur un intervalle ouvertI si elle est continue en tout point de I
Une fonction est continue sur un intervalle fermé[a;b] si elle est continue sur ]a;b[ et continue à droite en a et à gauche en b
مثال
f est une fonction définie sur l'intervalle I=[–2;2]. Cette courbe se trace sans lever le crayon sur I donc la fonction f est continue sur: I=[–2;2].
مثال
f présente une "discontinuité" en x, si f n'est pas continue en x. f est une fonction définie sur l'intervalle I=[–2;3] sa courbe ne peut pas être tracée sans lever le crayon au point d'abscisse 1 donc la fonction f n'est pas continue sur I=[–2;3]. (par contre elle est continue sur les intervalles [–2;1] et ]1;3])
Le résultat important de cette section est le théorème des valeurs intermédiaires
نظرية
Théorème des Valeurs Intermédiaires: Soit I un intervalle de R et f une fonction continue sur I Soient: m=inf{f(x),x∈I} et M=sup{f(x),x∈I} Si m<M: alors pour tout réel y tel que m<y<M,
∃c∈I tel que f(c)=y
ما يجب معرفته
Le résultat est tout à fait intuitif : si une fonction continue prend deux valeurs distinctes sur un intervalle, elle prend nécessairement toutes les valeurs entre ces deux-là, autrement dit: le graphe d'une fonction continue n'a pas de saut vertical.
خاصية
Si une fonction continue sur un intervalle prend des valeurs positives et des valeurs négatives, alors elle s'annule sur cet intervalle. On écrit:
f est continue sur [a;b]/ f(a).f(b)<0⇒ ( ∃α∈[a;b])f(α)=0
Si de plus la fonction f est strictement monotone sur [a;b], cette solution est unique et elle est définie sur ]a;b[. On écrit:
( ∃!α∈]a;b[)f(α)=0
ما يجب معرفته
Toute fonction polynomiale est continue sur R
Les fonctions sin(x) et cos(x) sont continues sur R
Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un nombre réel. Alors :
Les fonctions f+g,k.f, f.g et ∣f∣ sont continues sur I
Si la fonction g(x) ne s'annule pas sur I alors gf est continue sur I
Si f(x) est positive sur I alors f est continue sur I
ما يجب معرفته
Ce théorème permet de démontrer la continuité de toutes les fonctions que vous aurez à examiner, à condition d'admettre la continuité des "briques de base" que sont les fonctions usuelles. Toutes les fonctions usuelles sont continues en tout point où elles sont définies. Ceci concerne les fonctions puissances, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, mais exclut bien sûr la partie entière et la partie décimale.
continuité de la composée de deux fonctions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J tels que f(I)⊂J et x0∈I.
Si f est continue en x0 et g est continue en f(x0), alors la fonction g∘f est continue en x0
Si f est continue sur l'intervalle I et g est continue sur l'intervalle J , alors la fonction g∘f est continue sur l'intervalle I.
Limite de la composée d'une fonction continue et d'une fonction admettant une limite
خاصية
Soit f une fonction admettant une limite finie l en x0 et g une fonction continue en l, alors:
x→x0limg∘f(x)=g(l)
ما يجب معرفته
cette propriété reste valable en x0 à droite, x0 à gauche, +∞ ou −∞
VidéoLes opérations sur les fonctions continues 15 min