Continuité d'une fonction en un point

تعريف

Soit ff une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert II et x0x_0 un élément de l'intervalle II.

On dit que la fonction ff est continue au point x0x_0 si:

limxx0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x \to x_0} f(x) =f(x_0)

En d'autres termes:

(ϵ>0)(α>0)  xx0<α  f(x)f(x0)<ϵ(\forall \epsilon >0)(\exists \alpha >0) ~~ |x-x_0|<\alpha \Rightarrow ~~ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon

مثال

La fonction ff représentée ci-dessous est continue en x0x_0. La fonction gg est discontinue en x0x_0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0x_0 si la courbe passe par le point M0M_0 (x0;f(x0))(x_0 ; f(x_0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.

Fonction continue, représentation graphique Fonction discontinue

 

مثال

La fonction partie entière de xx, notée EE, est discontinue en tout point entier. E(x)E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.x. \\[0.2cm] Par exemple,  E(π)=3  ~E(\pi) = 3~~ ;   E(π)=4  ~~E(-\pi) = -4~~ ;   E(2)=1~~E(\sqrt{2}) = 1 \\[0.2cm] E(5)=5  E(5) = 5~~ et   E(8)=8.~~E(-8) = -8. \\[0.2cm] Voici la représentation graphique de cette fonction :

Représentation graphique de la fonction Partie entière E(x)

Continuité à gauche, continuité à droite

تعريف

Soit ff une fonction définie sur l'intervalle [x0;x0+r[[x_0 ; x_0+r[r>0r>0

  • On dit que la fonction ff est continue à droite en x0x_0 si:

limxx0+f(x)=f(x0)\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)=f(x_0)

Soit ff une fonction définie sur l'intervalle [x0r;x0[[x_0-r ; x_0[r>0r>0

  • On dit que la fonction ff est continue à gauche en x0x_0 si:

limxx0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)=f(x_0)

Vidéo 1 - Continuité à gauche et continuité à droite
15 min
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Continuité en un point

Une fonction numérique ff est continue en x0x_0 si, et seulement si elle est continue à droite et à gauche au point x0x_0. En d'autres termes:

ff est continue au point x0x_0 limxx0f(x)=limxx0+f(x)=f(x0)\Leftrightarrow \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)= \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) =f(x_0)

Vidéo 2 - Continuité en un point et prolongement
15 min
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Prolongement par continuité en un point

تعريف

Soit ff une fonction numérique non définie en un point x0x_0 et admettant une limite finie ll en x0x_0:

limxx0f(x)=l / lR \lim\limits_{x \to x_0} f(x)=l \quad  /~ l \in \mathbb{R}

Alors la fonction gg définie par:

{g(x)=f(x)  ;  xx0g(x0)=l\left\{\begin{array}{lcl} g(x)=f(x) ~~ ; ~~x \ne x_0 \\ g(x_0)=l \end{array} \right.

est continue en x0x_0, et est appelée le prolongement par continuité de ff au point x0x_0

Vidéo 3- Prolongement par continuité en un point
15 min
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Continuité d'une fonction sur un intervalle

تعريف

  • Une fonction ff est continue sur un intervalle ouvert II si elle est continue en tout point de II
  • Une fonction est continue sur un intervalle fermé [a;b][a;b] si elle est continue sur ]a;b[]a;b[ et continue à droite en aa et à gauche en bb

مثال

ff est une fonction définie sur l'intervalle I=[2;2]I = [ – 2 ; 2 ]. Cette courbe se trace sans lever le crayon sur II donc la fonction ff est continue sur: I=[2;2] I= [ – 2 ; 2 ].

La continuité

مثال

ff présente une "discontinuité" en xx, si ff n'est pas continue en xx. f\\[0.2cm] f est une fonction définie sur l'intervalle I=[2;3]I = [– 2 ; 3] sa courbe ne peut pas être tracée sans lever le crayon au point d'abscisse 1 donc la fonction ff n'est pas continue sur I=[2;3]I = [– 2 ; 3]. (par contre elle est continue sur les intervalles [2;1][– 2 ;1] et ]1;3]]1 ; 3])

La Discontonuité en un point

Le résultat important de cette section est le théorème des valeurs intermédiaires

نظرية

Théorème des Valeurs Intermédiaires: \\ Soit II un intervalle de R\mathbb{R} et ff une fonction continue sur II\\ Soient:  m=inf{f(x),xI} ~m = inf\{ f(x), x \in I \}~ et  M=sup{f(x),xI}~M = sup\{ f(x), x \in I \}\\ Si  m<M: ~m < M: ~ alors pour tout réel yy tel que  m<y<M~m < y < M,

cI \exists c \in I~ tel que  f(c)=y~f(c) = y

ما يجب معرفته

Le résultat est tout à fait intuitif : si une fonction continue prend deux valeurs distinctes sur un intervalle, elle prend nécessairement toutes les valeurs entre ces deux-là, autrement dit: le graphe d'une fonction continue n'a pas de saut vertical.

Théorème des valeurs intemédiaires TVI

خاصية

  • Si une fonction continue sur un intervalle prend des valeurs positives et des valeurs négatives, alors elle s'annule sur cet intervalle. On écrit:

ff est continue sur [a;b] [a;b]~/  f(a).f(b)<0 ~f(a).f(b)<0~   ~\Rightarrow ~ ( α[a;b]) \exists \alpha \in [a;b])~ f(α)=0f(\alpha)=0

  • Si de plus la fonction ff est strictement monotone sur [a;b][a;b], cette solution est unique et elle est définie sur ]a;b[]a;b[. On écrit:

( !α]a;b[) \exists! \alpha \in ]a;b[ )~  f(α)=0~f(\alpha)=0

ما يجب معرفته

  • Toute fonction polynomiale est continue sur R\mathbb{R}
  • Les fonctions sin(x)\sin(x) et cos(x)\cos(x) sont continues sur R\mathbb{R}
  • Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.

Vidéo Continuité sur un intervalle
15 min
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Image d'un intervalle par une fonction continue

نظرية

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

انتباه

Il est naturel de se demander si l'image par une application continue d'un intervalle est un intervalle du même type (infini, ouvert. . . ). Le seul résultat général concerne les intervalles fermés bornés (les segments).

نظرية

Soient a<b a < b deux réels et ff une fonction continue sur [a,b][a, b]. Soit:

m=inf{f(x),x[a,b]} m = inf\{ f(x), x \in [a, b] \}~ et  M=sup{f(x),x[a,b]}~M = sup\{ f(x), x \in [a, b] \}

Alors: m ~m~ et  M ~M~ sont finies et il existe  x1~x_1, x2x_2 [a,b], \in [a, b], ~ tels que:

f(x1)=m f(x_1) = m~ et  f(x2)=M ~f(x_2) = M~ et  f([a,b])=[m,M]~ f([a, b]) = [m, M] .

Image d'un intervalle par une fonction continue et strictement monotone

نظرية

Soit ff une fonction continue, strictement monotone sur un intervalle II.

  • f(I)f(I) est un intervalle, dont les bornes sont les limites de ff aux bornes de II (pour plus de détails, regarder la vidéo du cours)
  • ff est une bijection de II vers f(I)f(I)
  • la bijection réciproque f1f^{-1} est continue sur f(I)f(I) et strictement monotone et elle est de même sens que ff.

L'image de l'intervalle II par la fonction ff

L'intervalle II ff strictement croissante sur II ff strictement décroissante sur II
[a,b][a ,b] [f(a),f(b)][f(a) , f(b)] [f(b),f(a)][f(b) , f(a)]
]a,b[]a ,b[ ]limxa+f(x),limxbf(x)[]\lim\limits_{x \to a^+}f(x) , \lim\limits_{x \to b^-}f(x)[ ]limxbf(x),limxa+f(x)[]\lim\limits_{x \to b^-}f(x) , \lim\limits_{x \to a^+}f(x)[
[a,b[[a ,b[ [f(a),limxbf(x)[[f(a) , \lim\limits_{x \to b^-}f(x)[ ]limxbf(x),f(a)]]\lim\limits_{x \to b^-}f(x), f(a)]
],a]]- \infty , a] ]limxf(x),f(a)]]\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) , f(a)] [f(a),limxf(x)[[f(a) , \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)[
]a,+[]a , +\infty[ ]limxa+f(x),limx+f(x)[]\lim\limits_{x \to a^+}f(x) , \lim\limits_{x \to + \infty}f(x)[ ]limx+f(x),limxa+f(x)[]\lim\limits_{x \to + \infty}f(x) , \lim\limits_{x \to a^+ }f(x)[
R\mathbb{R} ]limxf(x),limx+f(x)[]\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) , \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)[  ]limx+f(x),limxf(x)[]\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) , \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)[
Vidéo L'image d'un intervalle par une fonction continue
15 min
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Les opérations sur les fonctions continues

نظرية

Soient ff et gg deux fonctions continues sur un intervalle II et kk un nombre réel. Alors :

  • Les fonctions f+g , k.ff+g~,~ k.f,  f.g ~f.g~ et  f ~|f|~ sont continues sur II
  • Si la fonction g(x)g(x) ne s'annule pas sur I I~ alors  fg ~\frac{f}{g}~ est continue sur II
  • Si f(x)f(x) est positive sur I I~ alors  f ~\sqrt{f}~ est continue sur II

ما يجب معرفته

Ce théorème permet de démontrer la continuité de toutes les fonctions que vous aurez à examiner, à condition d'admettre la continuité des "briques de base" que sont les fonctions usuelles. \\[0.2cm] Toutes les fonctions usuelles sont continues en tout point où elles sont définies. Ceci concerne les fonctions puissances, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, mais exclut bien sûr la partie entière et la partie décimale.

continuité de la composée de deux fonctions

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et gg une fonction définie sur un intervalle JJ tels que  f(I)J ~f(I) \subset J~ et  x0I~x_0 \in I.

  • Si ff est continue en x0x_0 et gg est continue en f(x0)f(x_0), alors la fonction gfg \circ f est continue en x0x_0
  • Si ff est continue sur l'intervalle II et gg est continue sur l'intervalle JJ , alors la fonction gfg \circ f est continue sur l'intervalle II.

Limite de la composée d'une fonction continue et d'une fonction admettant une limite

خاصية

Soit ff une fonction admettant une limite finie ll en x0x_0 et gg une fonction continue en ll, alors:

limxx0gf(x)=g(l)\lim\limits_{x \to x_0 } g \circ f (x)=g(l)

ما يجب معرفته

cette propriété reste valable en x0x_0 à droite, x0x_0 à gauche, ++\infty ou -\infty

Vidéo Les opérations sur les fonctions continues
15 min
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La fonction racine  n~n-ième

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