Les espaces vectoriels

1) L'ensemble $M_2(\mathbb{R}) :$ ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels . $\\[0.2cm]$ Pour toute matrice $M=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ et pour tout réel $\alpha$, on appelle produit de $\alpha$ par $M$, et on le note $\alpha M$, la matrice: $\left(\begin{array}{ll}\alpha a & \alpha b \\ \alpha c & \alpha d\end{array}\right)\\[0.2cm]$ On a alors obtenu une loi de composition externe de $\mathbb{R}$ sur $M_2(\mathbb{R})\\[0.2cm]$ Cette loi s'appelle multiplication d'une matrice par un réel. $\\[0.3cm]$ 2) L'ensemble $\mathbb{R}^n (n \in \mathbb{N}):$ ensemble des n-uplets . $\\[0.2cm]$ Pour tout $X=\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$, et pour tout réel $\alpha$, on appelle produit de $x$ par $\alpha$, et on le note $\alpha x , \\$ le n-uplet $~\alpha X=\left(\alpha x_{1} ; \alpha x_{2} ; \ldots, ; \alpha x_{n}\right).\\[0.2cm]$ On a alors obtenu une loi de composition externe de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^{n}.\\[0.2cm]$ Dans l'usage pratique, on prend souvent $\mathbb{R}^{2}$ (ensemble des couples) et $\mathbb{R}^{3}$ (ensemble des triplets)

On muni $\mathbb{R}^2$ des deux lois suivantes: $\\[0.2cm]$ Définition de la loi interne: Si $(x ; y)$ et $\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ sont deux éléments de $\mathbb{R}^{2}$, alors : $\\[0.2cm]$ $(x ; y)+\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime} ; y+y^{\prime}\right)\\[0.2cm]$ Définition de la loi externe: Si $\lambda$ est un réel et $(x, y)$ est un élément de $\mathbb{R}^{2}$, alors $: \lambda \cdot(x, y)=(0, \lambda y)\\[0.2cm]$ Est-ce que $\left(\mathbb{R}^{2} ;+\right)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R} ? \\[0.2cm]$ Non $~\left(\mathbb{R}^{2} ;+\right)~$ n'est pas un espace vectoriel car il ne vérifie pas par exemple l'axiome suivante : $~\forall(x ; y) \in \mathbb{R}^{2} ~~1(x ; y)=(x ; y)\\[0.2cm]$ en effet : $~1(1 ; 1)=(0 ; 1) \neq(1 ; 1)$

1) Le corps $(\mathbb{R} ; + ; \times )$ est un espace vectoriel réel. $\\[0.2cm]$ 2) L'ensemble $\mathbb{C}$ est un espace vectoriel réel si on le munit de son addition ≪+≫ et de la loi externe ≪.≫ : $\\$

$\mathbb{R} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \\ (\alpha ; x) \rightarrow \alpha \cdot x \\$

3) L'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieur à un entier naturel $n$ se note $\mathbb{R}_n[x]\\[0.2cm]$ $(\mathbb{R}_n[x] ; + ; . )$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}\\[0.2cm]$ 4) L'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 , on le note : $\\$

$M_{3}(\mathbb{R})=\left\{\left(\begin{array}{lll} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{array}\right) /(a ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h ; i) \in \mathbb{R}^{9}\right\} \\$

$\left(M_{3}(\mathbb{R}); +; \cdot\right)$ et un espace vectoriel sur $\mathbb{R} .\\[0.2cm]$ De même: $\left(M_{2}(\mathbb{R}) ;+; \cdot\right)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.