Espaces vectoriels

Structure d’espace vectoriel

تعريف

Soit EE un ensemble, on appelle loi de composition externe sur EE toute application de K×EE\mathbb{K} \times E \rightarrow E qui à tout élément xx de EE et tout scalaire λ\lambda de K\mathbb{K} associe un élément de EE que l’on note λx\lambda \cdot x ou encore λx\lambda x.


image/svg+xml Remarque

  • Dans la définition précédente, on peut avoir E=KE= \mathbb{K} ; et dans ce cas, on parle d’une loi de composition interne. Ainsi, toute loi de composition interne sur EE peut être considérée comme une loi de composition externe sur EE à coefficients dans E.E.\\[0.2cm]
  • Au cours de ce chapitre, on prendra K=R\mathbb{K}=\mathbb{R} comme corps de référence.

مثال

1) L'ensemble M2(R):M_2(\mathbb{R}) : ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels . \\[0.2cm] Pour toute matrice M=(abcd)M=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) et pour tout réel α\alpha, on appelle produit de α\alpha par MM, et on le note αM\alpha M, la matrice: (αaαbαcαd)\left(\begin{array}{ll}\alpha a & \alpha b \\ \alpha c & \alpha d\end{array}\right)\\[0.2cm] On a alors obtenu une loi de composition externe de R\mathbb{R} sur M2(R)M_2(\mathbb{R})\\[0.2cm] Cette loi s'appelle multiplication d'une matrice par un réel. \\[0.3cm] 2) L'ensemble Rn(nN):\mathbb{R}^n (n \in \mathbb{N}): ensemble des n-uplets . \\[0.2cm] Pour tout X=(x1;x2;;xn)RnX=\left(x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}, et pour tout réel α\alpha, on appelle produit de xx par α\alpha, et on le note αx,\alpha x , \\ le n-uplet  αX=(αx1;αx2;,;αxn).~\alpha X=\left(\alpha x_{1} ; \alpha x_{2} ; \ldots, ; \alpha x_{n}\right).\\[0.2cm] On a alors obtenu une loi de composition externe de R\mathbb{R} sur Rn.\mathbb{R}^{n}.\\[0.2cm] Dans l'usage pratique, on prend souvent R2\mathbb{R}^{2} (ensemble des couples) et R3\mathbb{R}^{3} (ensemble des triplets)

تعريف

On appelle espace vectoriel sur R\mathbb{R} ( R\mathbb{R}-espace vectoriel) tout ensemble EE muni d’une loi de composition interne notée + et d’une loi de composition externe notée . tel que : \\[0.2cm]

  1. (E,+)(E , +) est un groupe commutatif \\[0.2cm]
  2. La loi externe . vérifie les quatre propriétés : \\
  1. Pour tous éléments (λ;μ)(\lambda ; \mu) de R\mathbb{R} et tout élément xx de EE on a : (λ+μ)x=λ\\ (\lambda+\mu) x=\lambda. x+μxx+\mu \cdot x
  2. Pour tout élément λ\lambda de R\mathbb{R} et tous éléments x,yx, y de EE on a : λ(x+y)=λx+λy\\ \lambda \cdot(x+y)=\lambda \cdot x+\lambda \cdot y
  3. Pour tous éléments (λ;μ)(\lambda ; \mu) de R\mathbb{R} et tout élément xx de E:λ(μx)=(λμ)xE: \\ \lambda \cdot(\mu \cdot x)=(\lambda \mu) \cdot x
  4. Pour tout élément xx de E: 1.x=xE: ~1 . x=x

مثال

On muni R2\mathbb{R}^2 des deux lois suivantes: \\[0.2cm] Définition de la loi interne: Si (x;y)(x ; y) et (x;y)\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) sont deux éléments de R2\mathbb{R}^{2}, alors : \\[0.2cm] (x;y)+(x;y)=(x+x;y+y)(x ; y)+\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime} ; y+y^{\prime}\right)\\[0.2cm] Définition de la loi externe: Si λ\lambda est un réel et (x,y)(x, y) est un élément de R2\mathbb{R}^{2}, alors :λ(x,y)=(0,λy): \lambda \cdot(x, y)=(0, \lambda y)\\[0.2cm] Est-ce que (R2;+)\left(\mathbb{R}^{2} ;+\right) est un espace vectoriel sur R?\mathbb{R} ? \\[0.2cm] Non  (R2;+) ~\left(\mathbb{R}^{2} ;+\right)~ n'est pas un espace vectoriel car il ne vérifie pas par exemple l'axiome suivante :  (x;y)R2  1(x;y)=(x;y)~\forall(x ; y) \in \mathbb{R}^{2} ~~1(x ; y)=(x ; y)\\[0.2cm] en effet :  1(1;1)=(0;1)(1;1)~1(1 ; 1)=(0 ; 1) \neq(1 ; 1)

image/svg+xml Remarque

En pratique, les opérations ≪+≫ et ≪.≫ sont le plus souvent utilisées sans ambiguïté .\\[0.2cm] En conséquence, l’espace vectoriel réel (E;+;.)(E ; + ; . ) sera plus simplement noté EE , et on dira que EE est un R\mathbb{R}-espace vectoriel

مثال

1) Le corps (R;+;×)(\mathbb{R} ; + ; \times ) est un espace vectoriel réel. \\[0.2cm] 2) L'ensemble C\mathbb{C} est un espace vectoriel réel si on le munit de son addition ≪+≫ et de la loi externe ≪.≫ : \\

R×CC(α;x)αx\mathbb{R} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \\ (\alpha ; x) \rightarrow \alpha \cdot x \\

3) L'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieur à un entier naturel nn se note Rn[x]\mathbb{R}_n[x]\\[0.2cm] (Rn[x];+;.)(\mathbb{R}_n[x] ; + ; . ) est un espace vectoriel sur R\mathbb{R}\\[0.2cm] 4) L'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 , on le note : \\

M3(R)={(adgbehcfi)/(a;b;c;d;e;f;g;h;i)R9}M_{3}(\mathbb{R})=\left\{\left(\begin{array}{lll} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{array}\right) /(a ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h ; i) \in \mathbb{R}^{9}\right\} \\

(M3(R);+;)\left(M_{3}(\mathbb{R}); +; \cdot\right) et un espace vectoriel sur R.\mathbb{R} .\\[0.2cm] De même: (M2(R);+;)\left(M_{2}(\mathbb{R}) ;+; \cdot\right) est un espace vectoriel sur R\mathbb{R}.

Règles de calcul dans un espace vectoriel réel

خاصية

Soit (E;+;.)(E ; + ; . ) un espace vectoriel réel, alors :\\

  1. Tout vecteur de EE est un élément régulier dans (E;+)(E ; +)\\
  2. Pour tout xE : 0x=0\vec{x} \in E ~:~ 0 \vec{x} =\vec{0} \\
  3. Pour tout αR : α0=0\alpha \in \mathbb{R} ~: ~ \alpha \cdot \vec{0} = \vec{0} \\
  4. Pour tout αR\alpha \in \mathbb{R} et pour tout xE:αx=0 (α=0 ou x=0) \vec{x} \in E: \alpha \vec{x}=\vec{0} \Leftrightarrow ~(\alpha=0 ~\text{ou} ~\vec{x}=0)

برهان

1) Puisque (E,+)(E , +) est un groupe commutatif alors tout vecteur de EE est régulier par l'addition \\[0.3cm] 2) On a pour tout xE:0x+0=0x0x+0=0x+0x0x=0\vec{x} \in E : \\ 0 \vec{x}+\overrightarrow{0}=0 \vec{x} \Leftrightarrow 0 \vec{x}+\overrightarrow{0}=0 \vec{x}+0 \vec{x} \Leftrightarrow 0 \vec{x}=\overrightarrow{0} \\[0.3cm] 3) On a pour tout αR:α0=α(0+0)0+α0=α0+α0α0=0\alpha \in \mathbb{R} : \\ \alpha \overrightarrow{0}=\alpha\left(\overrightarrow{0}+ \overrightarrow{0}\right) \Leftrightarrow \overrightarrow{0}+\alpha \overrightarrow{0}=\alpha \overrightarrow{0}+\alpha \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} \\[0.3cm] 4) Soit αR \alpha \in \mathbb{R}~ et  xE:~\vec{x} \in E : \\[0.2cm] (): (\Leftarrow):~ déjà montrée en 1) et 2) \\[0.2cm] (): (\Rightarrow) : ~ Supposons que αx=0\alpha \vec{x}=\vec{0} \\[0.2cm] Si  α0,~\alpha \neq 0 , alors  1α(αx)=(αα)x=0~\frac{1}{\alpha}\left(\alpha \vec{x}\right)=\left(\frac{\alpha}{\alpha}\right) \vec{x}=\overrightarrow{0}\\ (D'après la définition de l'espace vectoriel) \\[0.2cm] Il s'ensuit :  1x=0, ~1 \cdot \vec{x}=\vec{0},~ et donc  x=0, ~\vec{x}= \vec{0},~ d'où le résultat.

خاصية

Soit (E;+;.)(E ; + ; .) un espace vectoriel réel, alors :

  1. Pour tous αR\alpha \in \mathbb{R} et pour tout xE: (α)x=α(x)=(αx)\vec{x} \in E:~(-\alpha) \vec{x}=\alpha(-\vec{x})=-(\alpha \vec{x})\\[0.2cm]
  2. Pour tout (u;v)E2(\vec{u} ; \vec{v}) \in E^{2}. L'équation x+u=v\vec{x}+\vec{u}=\vec{v} admet une solution unique dans EE. Cette solution est  x=v+(u)=vu(vu~\vec{x}=\vec{v}+(-\vec{u})=\vec{v}-\vec{u} \\ (\vec{v}-\vec{u} étant la différence des vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} dans cet ordre ) \\[0.2cm]
  3. Pour tous (α;β)R2(\alpha ; \beta) \in \mathbb{R}^{2} et pour tout (x;y)E2:(\vec{x} ; \vec{y}) \in E^{2}: α(xy)=αxαy \\ \alpha(\vec{x}-\vec{y})=\alpha \vec{x}-\alpha \vec{y}~ et  (αβ)x=αxβx~(\alpha-\beta) \vec{x}=\alpha \vec{x}-\beta \vec{x}

Vidéo 1 Espaces Vectoriels : Définition et loi de composition interne
15 min
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Sous-espace vectoriel

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