Soit E un ensemble, on appelle loi de composition externe sur E toute application de K×E→E qui à tout élément x de E et tout scalaire λ de K associe un élément de E que l’on note λ⋅x ou encore λx.
Remarque
Dans la définition précédente, on peut avoir E=K ; et dans ce cas, on parle d’une loi de composition interne. Ainsi, toute loi de composition interne sur E peut être considérée comme une loi de composition externe sur E à coefficients dans E.
Au cours de ce chapitre, on prendra K=R comme corps de référence.
مثال
1) L'ensemble M2(R): ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels . Pour toute matrice M=(acbd) et pour tout réel α, on appelle produit de α par M, et on le note αM, la matrice: (αaαcαbαd) On a alors obtenu une loi de composition externe de R sur M2(R) Cette loi s'appelle multiplication d'une matrice par un réel. 2) L'ensemble Rn(n∈N): ensemble des n-uplets . Pour tout X=(x1;x2;…;xn)∈Rn, et pour tout réel α, on appelle produit de x par α, et on le note αx, le n-uplet αX=(αx1;αx2;…,;αxn). On a alors obtenu une loi de composition externe de R sur Rn. Dans l'usage pratique, on prend souvent R2 (ensemble des couples) et R3 (ensemble des triplets)
تعريف
On appelle espace vectoriel sur R ( R-espace vectoriel) tout ensemble E muni d’une loi de composition interne notée + et d’une loi de composition externe notée . tel que :
(E,+) est un groupe commutatif
La loi externe . vérifie les quatre propriétés :
Pour tous éléments (λ;μ) de R et tout élément x de E on a : (λ+μ)x=λ. x+μ⋅x
Pour tout élément λ de R et tous éléments x,y de E on a : λ⋅(x+y)=λ⋅x+λ⋅y
Pour tous éléments (λ;μ) de R et tout élément x de E:λ⋅(μ⋅x)=(λμ)⋅x
Pour tout élément x de E:1.x=x
مثال
On muni R2 des deux lois suivantes: Définition de la loi interne: Si (x;y) et (x′;y′) sont deux éléments de R2, alors : (x;y)+(x′;y′)=(x+x′;y+y′) Définition de la loi externe: Si λ est un réel et (x,y) est un élément de R2, alors :λ⋅(x,y)=(0,λy) Est-ce que (R2;+) est un espace vectoriel sur R? Non (R2;+) n'est pas un espace vectoriel car il ne vérifie pas par exemple l'axiome suivante : ∀(x;y)∈R21(x;y)=(x;y) en effet : 1(1;1)=(0;1)=(1;1)
Remarque
En pratique, les opérations ≪+≫ et ≪.≫ sont le plus souvent utilisées sans ambiguïté . En conséquence, l’espace vectoriel réel (E;+;.) sera plus simplement noté E , et on dira que E est un R-espace vectoriel
مثال
1) Le corps (R;+;×) est un espace vectoriel réel. 2) L'ensemble C est un espace vectoriel réel si on le munit de son addition ≪+≫ et de la loi externe ≪.≫ :
R×C→C(α;x)→α⋅x
3) L'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieur à un entier naturel n se note Rn[x](Rn[x];+;.) est un espace vectoriel sur R 4) L'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 , on le note :
(M3(R);+;⋅) et un espace vectoriel sur R. De même: (M2(R);+;⋅) est un espace vectoriel sur R.
Règles de calcul dans un espace vectoriel réel
خاصية
Soit (E;+;.) un espace vectoriel réel, alors :
Tout vecteur de E est un élément régulier dans (E;+)
Pour tout x∈E:0x=0
Pour tout α∈R:α⋅0=0
Pour tout α∈R et pour tout x∈E:αx=0⇔(α=0oux=0)
برهان
1) Puisque (E,+) est un groupe commutatif alors tout vecteur de E est régulier par l'addition 2) On a pour tout x∈E:0x+0=0x⇔0x+0=0x+0x⇔0x=0 3) On a pour tout α∈R:α0=α(0+0)⇔0+α0=α0+α0⇔α0=0 4) Soit α∈R et x∈E:(⇐): déjà montrée en 1) et 2) (⇒): Supposons que αx=0 Si α=0, alors α1(αx)=(αα)x=0 (D'après la définition de l'espace vectoriel) Il s'ensuit : 1⋅x=0, et donc x=0, d'où le résultat.
خاصية
Soit (E;+;.) un espace vectoriel réel, alors :
Pour tous α∈R et pour tout x∈E:(−α)x=α(−x)=−(αx)
Pour tout (u;v)∈E2. L'équation x+u=v admet une solution unique dans E. Cette solution est x=v+(−u)=v−u(v−u étant la différence des vecteurs u et v dans cet ordre )
Pour tous (α;β)∈R2 et pour tout (x;y)∈E2:α(x−y)=αx−αy et (α−β)x=αx−βx
Vidéo1 Espaces Vectoriels : Définition et loi de composition interne 15 min