Fiche de cours

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La fonction exponentielle népérienne

تعريف

La fonction réciproque de la fonction logarithme népérienne est appelée la fonction exponentielle népérienne, et on la note exp.

مثال

  • $\ln(1)=0 \Leftrightarrow \exp(0)=1 \\[0.2cm]$
  • $\ln(e)=1 \Leftrightarrow \exp(1)=e \\[0.2cm]$
  • $\ln(3)=1.1 \Leftrightarrow \exp(1.1)=3$

خاصية

  1. La fonction $\exp$ est une bijection de $$\mathbb{R}$$ vers $$\mathbb{R}^*_+ \\$$
  2.  ($$\forall x \in \mathbb{R}$$) $$\quad \exp(x)>0 \\$$
  3.  ($$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$) $$\quad \exp(x)=\exp(y) \Leftrightarrow x=y \\$$
  4.  La fonction $\exp$ est continue et strictement croissante sur $$\mathbb{R}\\$$
  5.  ($$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$) $$\quad \exp(x)>\exp(y) \Leftrightarrow x>y \\$$
  6.  ($$\forall x \in \mathbb{R}$$) $$\quad \ln(\exp(x))=x \\$$
  7.  ($$\forall x > 0$$) $$\quad \exp(\ln(x))=x$$

خاصية

Soient $x$ et $y$ des éléments de $$\mathbb{R}$$ et $r$ un élément de $$\mathbb{Q}$$

  1.  $$\exp(x+y)=\exp(x).\exp(y)\\[0.2cm]$$
  2.  $$\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\\[0.2cm]$$
  3.  $$\exp(x-y)=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}\\[0.2cm]$$
  4.  $$\exp(r.x)= (\exp(x))^r$$

تطبيق

Prouver, que pour tout $$x \in \mathbb{R}$$ : $$~\exp(-x)-\exp(-2x)=\frac{\exp(x)-1}{\exp(2x)}\\$$

Correction 

$$\exp(-x)-\exp(-2x) = \exp(-2x)\left(\frac{ \exp(-x)}{ \exp(-2x)}-1\right)=\frac{\exp(x)-1}{\exp(2x)}$$

Vidéo Introduction à la fonction exponentielle
15 min
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Une nouvelle écriture de la fonction $~\exp$

Sachant que: $$~~\exp(1)=e\\$$

On a: $$~(\forall r \in Q$$) $$\quad \exp(r)=\exp(r.1)=(\exp(1))^r=e^r \\$$

On prolongera cette écriture en notant pour tout $$~x\in \mathbb{R}: \quad \exp(x)=e^x$$

خاصية

Avec cette nouvelle notation, on résume les résultats vus précédemment par:

  1.  ($$\forall x \in \mathbb{R}$$) $$\quad e^x>0\\[0.2cm]$$
  2.  ($$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$) $$\quad e^x=e^y \Leftrightarrow x=y \\[0.2cm]$$
  3.  ($$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$) $$\quad e^x>e^y \Leftrightarrow x>y \\[0.2cm]$$
  4.  ($$\forall x \in \mathbb{R}$$) $$\quad \ln(e^x)=x \\[0.2cm]$$
  5.  ($$\forall x > 0$$) $$\quad e^{\ln(x)}=x \\[0.2cm]$$
  6.  $$e^{x+y}=e^x.e^y \\[0.2cm]$$
  7.  $$e^{-x}=\frac{1}{e^x} \\[0.2cm]$$
  8.  $$e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}\\[0.2cm]$$
  9.  $$e^{r.x}= (e^x)^r$$

تطبيق

Prouver, que pour tout $$x \in \mathbb{R}$$ :

  1. $$\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\\[0.2cm]$$
  2. $$\left(e^x+e^{-x}\right)^2-2=\frac{e^{4x}+1}{e^{2x}}$$

Solution

1. $$\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} = \frac{e^{-2x}\left(e^{2x}-1\right)}{e^{-2x}\left(e^{2x} + 1\right)}= \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \\[0.2cm]$$

$$\begin{aligned} \text{2.} ~\left(e^x+e^{-x}\right)^2-2&= e^{2x} + 2 + e^{-2x} – 2 \\[0.2cm]&= e^{2x}+ e^{-2x} \\[0.2cm] &= e^{-2x}\left(\frac{ e^{2x}}{ e^{-2x}} + 1\right) \\[0.2cm] &=\frac{e^{4x}+1}{e^{2x}}\end{aligned}$$

Vidéo Propriétés et résultats sur la fonction exponentielle
15 min
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Les limites usuelles de la fonction exponentielle

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La fonction Exponentielle Népérienne
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