Dérivabilité des fonctions numériques
Dérivabilité d'une fonction en un point
Définition
Soit f f f une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert ] a − r ; a + r [ \\ \left]a-r;a+r\right[ ] a − r ; a + r [ (r> > > 0).
On dit que f f f est dérivable en a \textbf{a} a si la limite:
lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \quad x → a lim x − a f ( x ) − f ( a ) ou lim h → 0 f ( h + a ) − f ( a ) h \quad \lim \limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(h+a)-f(a)}{h} h → 0 lim h f ( h + a ) − f ( a )
existe et est finie. Cette limite est appelée nombre dérivé de f f f en a \textbf{a} a et est notée f ′ ( a ) f'(a) f ′ ( a ) .
Dérivabilité à droite
Définition
Soit f f f une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert ] a ; a + r [ \left]a;a+r\right[\\ ] a ; a + r [ (r> > > 0). \\[0.2cm] On dit que f f f est dérivable à droite de a \textbf{a} a si et seulement si la limite:
lim x → a + f ( x ) − f ( a ) x − a \lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\quad x → a + lim x − a f ( x ) − f ( a ) ou lim h → 0 + f ( h + a ) − f ( a ) h \quad \lim\limits_{h\to 0^+} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}\\ h → 0 + lim h f ( h + a ) − f ( a )
existe et est finie. cette limite est appelée nombre dérivé de f f f en a + {a^+} a + et est notée f d ′ ( a ) ~{f'_d(a)} f d ′ ( a )
Dérivabilité à gauche
Définition
Soit f f f une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert ] a − r ; a [ \left]a-r;a\right[\\ ] a − r ; a [ (r> > > 0). \\[0.2cm] On dit que f f f est dérivable à gauche de a {a} a si et seulement si la limite:
lim x → a − f ( x ) − f ( a ) x − a \lim\limits_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \quad x → a − lim x − a f ( x ) − f ( a ) ou lim h → 0 − f ( h + a ) − f ( a ) h \quad \lim\limits_{h\to 0^-} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}\\ h → 0 − lim h f ( h + a ) − f ( a )
existe et est finie. \\ cette limite est appelée nombre dérivé de f f f en a − {a^-} a − et est notée f g ′ ( a ) ~{f'_g(a)} f g ′ ( a )
Propriété
Soit f f f une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre a {a}~ a : f \\f f est dérivable en a {a} a si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche de a {a}~ a et :
f g ′ ( a ) = f d ′ ( a ) {f'_g(a)}={f'_d(a)} f g ′ ( a ) = f d ′ ( a )
Vidéo
La dérivabilité d'une fonction en un point
15 min
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La vidéo suivante explique l'interprétation graphique d'une fonction en un point "à gauche et à droite" :
Vidéo
Interprétation graphique de la dérivabilité d'une fonction en un point "à gauche et à droite"
15 min
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Et pour l'interprétation graphique de la non dérivabilité d'une fonction en un point "à gauche et à droite" :
Vidéo
Interprétation graphique de la non dérivabilité d'une fonction en un point "à gauche et à droite"
15 min
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Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle
Propriété
Soit f f f une fonction numérique définie sur un intervalle I . I.\\ I . On dit que f f f est dérivable sur I I I si elle est dérivable en tout point x x x de I I I
On note f ′ f' f ′ la fonction qui à tous x ∈ I x \in I x ∈ I associe le nombre dérivé de f f f en x x x . On l'appelle la fonction dérivée de f f f , et on écrit:
f ′ ( x ) = d f d x f'(x)= \frac{df}{dx} f ′ ( x ) = d x df
Vidéo
Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle
15 min
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Opérations sur les fonctions dérivables
Propriété
Soient f f f et g g g deux fonctions dérivables sur un intervalle I I I et (α ∈ R \alpha \in \mathbb{R} α ∈ R ) , on a:
( f + g ) ′ = f ′ + g ′ (f+g)'=f'+g' \\[0.2cm] ( f + g ) ′ = f ′ + g ′
( α f ) ′ = α f ′ (\alpha f)'=\alpha f' \\[0.2cm] ( α f ) ′ = α f ′
( f . g ) ′ = f ′ . g + g ′ . f (f.g)'=f'.g+g'.f \\[0.2cm] ( f . g ) ′ = f ′ . g + g ′ . f
( f n ) ′ = n . f ′ . f n − 1 (f^n)'=n.f'.f^{n-1} \\[0.2cm] ( f n ) ′ = n . f ′ . f n − 1
Si la fonction g g g ne s'annule pas sur I I I alors: ( 1 g ) ′ = − g ′ g 2 \\ (\frac{1}{g})'=-\frac{g'}{g^2}~~ ( g 1 ) ′ = − g 2 g ′ et ( f g ) ′ = f ′ . g − g ′ . f g 2 ~~(\frac{f}{g})'=\frac{f'.g-g'.f}{g^2}\\[0.2cm] ( g f ) ′ = g 2 f ′ . g − g ′ . f
Si la fonction f f f est strictement positive sur I I I alors: ( f ) ′ = f ′ 2 f (\sqrt{f})'=\frac{f'}{2\sqrt{f}} ( f ) ′ = 2 f f ′
Vidéo
Opérations sur les fonctions dérivables
15 min
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Dérivation et continuité
Théorème
Soit f f f une fonction numérique définie sur un intervalle I I I et a {a} a un \\ élément de I I I .
si f f f est dérivable en a a a alors elle est continue en a a a
Si f f f est dérivable sur l'intervalle I I I alors elle est continue sur I I I .
À retenir
f f f continue en a {a} a n'implique pas que f f f est dérivable en a a a .
f f f est continue sur un intervalle I I I n'implique pas que f f f est dérivable \\ sur I I I
Application
Soit f f f une fonction définie par: ∀ x ∈ R \quad \forall x \in \mathbb{R}~~ ∀ x ∈ R f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x
f f f est continue en 0 0 0 mais non dérivable en 0 0 0 .
Dérivée de la fonction composée
Théorème
Soient f f f une fonction définie sur un intervalle I I I et g g g une fonction définie sur un intervalle J J J tels que f ( I ) ⊂ J f(I)\subset J f ( I ) ⊂ J et a \textbf{a} a un élément de I I I .
Si f f f est dérivable en a \textbf{a}~ a et g ~g g dérivable en b = f(a) \textbf{b = f(a)} \\ b = f(a) alors: g ∘ f g\circ f g ∘ f est dérivable en a \textbf{a}~ a et ( g ∘ f ( a ) ) ′ = f ′ ( a ) g ′ ( f ( a ) ) ~(\displaystyle g\circ f(a))' = f'(a) g'(f(a))\\[0.2cm] ( g ∘ f ( a ) ) ′ = f ′ ( a ) g ′ ( f ( a ))
Si f f f est dérivable sur I I~ I et g ~g g dérivable sur f ( I ) f(I) \\ f ( I ) alors: g ∘ f \displaystyle g\circ f g ∘ f est dérivable sur I I~ I et ( ∀ x ∈ I ) ~\textbf(\forall x\in I) ( ∀ x ∈ I ) on a :
( g ∘ f ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) . g ′ ( f ( x ) ) (\displaystyle g\circ f(x))'= f'(x).g'(f(x)) ( g ∘ f ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) . g ′ ( f ( x ))
Application
Soit f f f une fonction numérique définie par: h ( x ) = sin ( x + 1 ) ~h(x)=\sin(\sqrt{x+1})\\ h ( x ) = sin ( x + 1 ) On a : h = g ∘ f ~h= g \circ f~ h = g ∘ f telle que
f : x → x + 1 f:x \rightarrow \sqrt{x+1}~~ f : x → x + 1 et g : x → sin ( x ) ~~g:x \rightarrow \sin(x) g : x → sin ( x )
La fonction f f f est dérivable sur ] − 1 ; + ∞ [ ~]-1;+\infty[~ ] − 1 ; + ∞ [ et g ~g~ g est dérivable sur R \mathbb{R}\\ R et on a f ( ] − 1 ; + ∞ [ ) ⊂ R ~f(]-1;+\infty[) \subset \mathbb{R}\\ f ( ] − 1 ; + ∞ [ ) ⊂ R Par conséquent, la fonction h h h est dérivable sur ] − 1 ; + ∞ [ ]-1;+\infty[ ] − 1 ; + ∞ [ et on a:
∀ x ∈ ] − 1 ; + ∞ [ \forall x \in ]-1;+\infty[ ∀ x ∈ ] − 1 ; + ∞ [ h ′ ( x ) = f ′ ( x ) . g ′ ( f ( x ) ) = cos ( x + 1 ) 2 x + 1 ~~~h'(x)=f'(x).g'(f(x))=\frac{\cos(\sqrt{x+1})}{2\sqrt{x+1}} h ′ ( x ) = f ′ ( x ) . g ′ ( f ( x )) = 2 x + 1 c o s ( x + 1 )
La Fonction réciproque
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