Fiche de cours

Dérivabilité des fonctions numériques

Vidéo Le concept de la dérivation
15 min
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Dérivabilité d'une fonction en un point

تعريف

Soit ff une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert ]a−r;a+r[\\ \left]a-r;a+r\right[ (r>>0).

On dit que ff est dérivable en a\textbf{a} si la limite:

 lim⁡x→af(x)−f(a)x−a\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \quad ou lim⁡h→0f(h+a)−f(a)h\quad \lim \limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}

existe et est finie. Cette limite est appelée nombre dérivé de ff en a\textbf{a} et est notée f′(a)f'(a).

Dérivabilité à droite

تعريف

Soit ff une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert ]a;a+r[ \left]a;a+r\right[\\ (r>>0). \\[0.2cm] On dit que ff est dérivable à droite de a\textbf{a} si et seulement si la limite:

lim⁡x→a+f(x)−f(a)x−a\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\quad ou lim⁡h→0+f(h+a)−f(a)h\quad \lim\limits_{h\to 0^+} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}\\

existe et est finie. cette limite est appelée nombre dérivé de ff en a+{a^+} et est notée  fd′(a)~{f'_d(a)}

Dérivabilité à gauche

تعريف

Soit ff une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert ]a−r;a[\left]a-r;a\right[\\ (r>>0). \\[0.2cm] On dit que ff est dérivable à gauche de a{a} si et seulement si la limite:

lim⁡x→a−f(x)−f(a)x−a \lim\limits_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \quad ou lim⁡h→0−f(h+a)−f(a)h\quad \lim\limits_{h\to 0^-} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}\\

existe et est finie. \\ cette limite est appelée nombre dérivé de ff en a−{a^-} et est notée  fg′(a)~{f'_g(a)}

خاصية

Soit ff une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre a {a}~: f\\f est dérivable en a{a} si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche de a {a}~ et :

fg′(a)=fd′(a){f'_g(a)}={f'_d(a)}

Vidéo La dérivabilité d'une fonction en un point
15 min
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La vidéo suivante explique l'interprétation graphique d'une fonction en un point "à gauche et à droite" :

Vidéo Interprétation graphique de la dérivabilité d'une fonction en un point "à gauche et à droite"
15 min
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Et pour l'interprétation graphique de la non dérivabilité d'une fonction en un point "à gauche et à droite" :

Vidéo Interprétation graphique de la non dérivabilité d'une fonction en un point "à gauche et à droite"
15 min
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Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle

خاصية

  • Soit ff une fonction numérique définie sur un intervalle I.I.\\ On dit que ff est dérivable sur II si elle est dérivable en tout point xx de II
  • On note f′f' la fonction qui à tous x∈Ix \in I associe le nombre dérivé de ff en xx. On l'appelle la fonction dérivée de ff, et on écrit:

f′(x)=dfdx f'(x)= \frac{df}{dx}

Vidéo Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle
15 min
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Opérations sur les fonctions dérivables

خاصية

Soient ff et gg deux fonctions dérivables sur un intervalle II et (α∈R \alpha \in \mathbb{R}) , on a:

  1. (f+g)′=f′+g′(f+g)'=f'+g' \\[0.2cm]
  2. (αf)′=αf′(\alpha f)'=\alpha f' \\[0.2cm]
  3. (f.g)′=f′.g+g′.f(f.g)'=f'.g+g'.f \\[0.2cm]
  4. (fn)′=n.f′.fn−1(f^n)'=n.f'.f^{n-1} \\[0.2cm]
  5. Si la fonction gg ne s'annule pas sur II alors: (1g)′=−g′g2  \\ (\frac{1}{g})'=-\frac{g'}{g^2}~~ et   (fg)′=f′.g−g′.fg2~~(\frac{f}{g})'=\frac{f'.g-g'.f}{g^2}\\[0.2cm]
  6. Si la fonction ff est strictement positive sur II alors: (f)′=f′2f(\sqrt{f})'=\frac{f'}{2\sqrt{f}}

Vidéo Opérations sur les fonctions dérivables
15 min
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Dérivation et continuité

نظرية

Soit ff une fonction numérique définie sur un intervalle II et a{a} un \\élément de II.

  1. si ff est dérivable en aa alors elle est continue en aa
  2. Si ff est dérivable sur l'intervalle II alors elle est continue sur II .

ما يجب معرفته

  • ff continue en a{a} n'implique pas que ff est dérivable en aa .
  • ff est continue sur un intervalle II n'implique pas que ff est dérivable \\ sur II

تطبيق

Soit ff une fonction définie par: ∀x∈R  \quad \forall x \in \mathbb{R}~~ f(x)=xf(x)=x

ff est continue en 00 mais non dérivable en 00.

Dérivée de la fonction composée

نظرية

Soient ff une fonction définie sur un intervalle II et gg une fonction définie sur un intervalle JJ tels que f(I)⊂Jf(I)\subset J et a\textbf{a} un élément de II.

  1. Si ff est dérivable en a \textbf{a}~ et  g~g dérivable en b = f(a)\textbf{b = f(a)} \\ alors: g∘f g\circ f est dérivable en a \textbf{a}~ et  (g∘f(a))′=f′(a)g′(f(a))~(\displaystyle g\circ f(a))' = f'(a) g'(f(a))\\[0.2cm]
  2. Si ff est dérivable sur I I~ et  g~g dérivable sur f(I)f(I) \\ alors: g∘f\displaystyle g\circ f est dérivable sur I I~ et  (∀x∈I)~\textbf(\forall x\in I) on a :

(g∘f(x))′=f′(x).g′(f(x))(\displaystyle g\circ f(x))'= f'(x).g'(f(x))

تطبيق

Soit ff une fonction numérique définie par:  h(x)=sin⁡(x+1)~h(x)=\sin(\sqrt{x+1})\\ On a :  h=g∘f ~h= g \circ f~ telle que

f:x→x+1  f:x \rightarrow \sqrt{x+1}~~ et   g:x→sin⁡(x)~~g:x \rightarrow \sin(x)

La fonction ff est dérivable sur  ]−1;+∞[ ~]-1;+\infty[~ et  g ~g~ est dérivable sur R\mathbb{R}\\ et on a  f(]−1;+∞[)⊂R~f(]-1;+\infty[) \subset \mathbb{R}\\ Par conséquent, la fonction hh est dérivable sur ]−1;+∞[]-1;+\infty[ et on a:

∀x∈]−1;+∞[\forall x \in ]-1;+\infty[    h′(x)=f′(x).g′(f(x))=cos⁡(x+1)2x+1~~~h'(x)=f'(x).g'(f(x))=\frac{\cos(\sqrt{x+1})}{2\sqrt{x+1}}

Vidéo Dérivée de la fonction composée
15 min
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La Fonction réciproque

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Dérivation et étude des fonctions
Sommaire du cours
  1. Dérivabilité des fonctions numériques
    1. Dérivabilité d'une fonction en un point
    2. Dérivabilité à droite
    3. Dérivabilité à gauche
    4. Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle
    5. Opérations sur les fonctions dérivables
  2. Dérivation et continuité
  3. La Fonction réciproque
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