Calcul Trigonométrique 1BAC BIOF

Fiche de cours

La géométrie est une branche en mathématiques, et durant les années précédentes nous avons découvert des théorèmes permettant de calculer la longueur des côtés notamment dans un triangle, à titre d’exemple : Pythagore, Thalès…Mais, ces théorèmes permettent seulement d’établir des relations entre un côté et un autre. Les mathématiciens ont introduit un concept consistant à lier la mesure des côtés avec la mesure des angles dans un triangle rectangle nommé le calcule trigonométrie.$\\$

Nous définissons le sinus, le cosinus et tangente par :$\\$

$\begin{aligned}\sin (\widehat{ACB}) &=\frac{\text { côté opposé à } \widehat{ACB}}{\text { Hypoténuse }} \\[0.2cm] \cos (\widehat{ACB}) &=\frac{\text { côté adjacent à } \widehat{ACB}}{\text { Hypoténuse }} \\[0.2cm] \tan (\widehat{ACB}) &=\frac{\text { côté opposé à } \widehat{ACB}}{\text { côté adjacent à } \widehat{ACB}}\end{aligned}$

Rappel

Notions de base

تعريف

Le cercle trigonométrique est une illustration permettant de mettre en évidence les angles en radian et les trois fonctions trigonométriques : Cosinus, Sinus et tangent. Pratiquement, c’est un cercle :

De centre $O(0;0)$ l’origine du plan
De Rayon $~R=1$
Orienté positivement
$I$ un point pour entamer le calcul.

Remarque

Soit $\boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ un point de cercle corresponde à l'angle $\boldsymbol{t}=(\overrightarrow{\boldsymbol{O I}}, \overrightarrow{\boldsymbol{OM}})$, alors

$\quad x=\cos (t)$
$\quad y=\sin (t)$
$ \quad \frac{y}{x}=\tan (t)$ Si $x \neq 0$

Résultats

1. $\forall x \in \mathbb{R}, ~~ -1 \leq \cos (x) \leq 1~$ et $~-1 \leq \sin (x) \leq 1\\[0.2cm]$

2. $\forall x \in \mathbb{R}, ~~\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1~$ Car le rayon est $1$ et l'origine de cercle c'est $O\\[0.2cm]$

3 . $ \forall x \in \mathbb{R}, ~~ \sin (x+2 \pi)=\sin (x)~$ et $~\cos (x+2 \pi)=\cos (x)\\[0.2cm]$

4. $\forall x \in \mathbb{R}~ \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi\right. ~$ avec $~\left.k \in Z\right\}, ~~\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \\[0.2cm]$

5. Les deux fonctions : Sinus et tangente sont impaires. $\\[0.2cm]$

6. La fonction Cosinus est paire.

Le tableau des angles usuelles

Vidéo Introduction

15 min

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Les équations trigonométriques

Equation $ ~\cos (x)=a $

خاصية

Considérons l'équation $\cos (x)=a$ avec $a \in \mathbb{R}: $

1. Si $a \in]-\infty ;-1[\mathrm{U}] 1 ;+\infty[$ alors l'équation n'admet pas de solution $\\[0.2cm]$

2. Si $a=1$ alors les solutions de l'équation sont : $ 2 \pi k$ avec $k \in Z\\[0.2cm]$

3. Si $a=-1$ alors les solutions de l'équation sont: $ \pi+2 \pi k$ avec $k \in Z\\[0.2cm]$

4. Si $-1<a<1$ alors $\exists \alpha \in] 0, \pi[$ vérifiant $\cos (\alpha)=a$

alors l'ensemble des solutions d'équation est :

$S=\{\alpha+2 k \pi, k \in Z\} \cup\{-\alpha+2 k \pi, k \in Z\}\\[0.2cm]$

Généralement, les solutions de l'équation $\cos (u(x))=\cos (v(x)) $, avec $u$ et $v$ deux fonctions,$\\[0.2cm]$ sont : $\left\{\begin{array}{l}u(x)=v(x)+2 k \pi, ~k \in Z \\[0.2cm] u(x)=-v(x)+2 k \pi,~ k \in Z\end{array} \right. $

Equation $ ~\sin (x)=a $

خاصية

Considérons l'équation $\sin (x)=a$ avec $a \in \mathbb{R}: \\[0.2cm]$

1. Si $a \in]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$ alors l'équation n'admet pas de solution $\\[0.2cm]$

2. Si $a=1$ alors les solutions de l'équation sont $: \frac{\pi}{2}+2 \pi k~$ avec $k \in Z\\[0.2cm]$

3. Si $a=-1$ alors les solutions de l'équation sont $:-\frac{\pi}{2}+2 \pi k~$ avec $k \in Z\\[0.2cm]$

4. Si $-1<a<1$ alors $\exists \alpha \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ vérifiant $\sin (\alpha)=a$ alors l'ensemble des solutions d'équation est : $\\[0.2cm]S=\{\pi-\alpha+2 k \pi, k \in Z\} \cup$ $\{\alpha+2 k \pi, k \in Z\}\\[0.2cm]$ Généralement, les solutions de l'équation $\sin (u(x))=\sin (v(x)) $, avec $u$ et $v$ deux $\\[0.2cm]$ fonctions, sont: $\left\{\begin{array}{c}u(x)=v(x)+2 k \pi, k \in Z \\[0.2cm] u(x)=\pi-v(x)+2 k \pi, k \in Z\end{array}\right.$

Equation $ ~\tan (x)=a $

Considérons l'équation $\tan (x)=a\quad $(E) avec $a \in \mathbb{R},~$ alors il existe un et un seul nombre appartient à l'intervalle $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ vérifiant $: \tan (\alpha)=a$ et l'ensemble des solutions de $(E) $ est $:\{\alpha+k \pi, k \in Z\} . \\[0.2cm]$ Généralement, les solutions de l'équation $\tan (u(x))=\tan (v(x)) $, $\\[0.2cm]$ avec $u(x) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi ~$ et $~v(x) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi ~$ pour tout $~ x \in \mathbb{R} ~$ et $~ k \in \mathbb{Z}\\[0.2cm]$ Donc les solutions seront l'ensemble des réels $x : ~u(x)=v(x)+k \pi,~ k \in \mathbb{R}$

Les inéquations trigonométriques

La résolution des inéquations liée fortement à la partie précédente, car la première étape pour aboutir à l’ensemble des solutions dans un intervalle est la résolution de l’équation correspondante. Nous traiterons des exemples concrètes afin d’assimiler chaque type d’inéquation :

Inéquation Cosinus

مثال

Résoudre l’inéquation suivante dans $ [-\pi, \pi] $ : $\cos (x) \geq \frac{1}{2}$

Corrigé exemple

Etape 1 : la résolution de l’équation correspondante, autrement $ \cos (x)=\frac{1}{2} $

$\cos (x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos (x)=\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\left \{\begin{array}{c}\frac{\pi}{3}+2 k \pi, k \in Z \\[0.2cm]-\frac{\pi}{3}+2 k \pi, k \in Z\end{array}\right.\\[0.2cm]$ Puisque nous travaillons dans $[-\pi, \pi]$ alors les deux points admissibles sont : $\frac{\pi}{3}$ et $-\frac{\pi}{3}\\[0.2cm]$

Etape 2 : il s'agit de déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation en se basant sur les deux points $: \frac{\pi}{3}$ et $-\frac{\pi}{3}$, puisque l'équation est en cosinus donc nous cherchons les abscisses dont la valeur est plus que $\frac{1}{2}$ mais en restant toujours dans l'intervalle $[-\pi, \pi] \\[0.2cm]$ Pour expliciter les solutions il faut revenir au cercle trigonométrique :

Donc l'ensemble des solutions est l'arc :$ S=\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$

انتباه

L'ensemble de solution est lié à l’intervalle que nous avons fixé au début, si nous changions cet intervalle pour la même équation, nous obtiendrions d'autres solutions. Par exemple, si $ ~I=[0,2 \pi] \\$ alors $~S=\left[0, \frac{\pi}{3}\right] \cup\left[\frac{2 \pi}{3}, 2 \pi\right] $

Inéquation sinus

مثال

Résoudre l’inéquation suivante dans $[0,2 \pi]: $ $\sin (x) \geq \frac{1}{2}$

Corrigé exemple

Etape 1: la résolution de l'équation correspondante, donc $\sin (x)=\frac{1}{2}\\[0.2cm]$ $\sin (x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (x)=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{\pi}{6}+2 k \pi, k \in Z \\[0.2cm]\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi, k \in Z\end{array}\right.\\[0.2cm]$

Puisque nous travaillons dans $[0,2 \pi] $ alors les deux points admissibles sont $: \frac{\pi}{6}$ et $\frac{5 \pi}{6}\\[0.3cm]$

Etape 2 : il s'agit de déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation en se basant sur les deux points $: \frac{\pi}{6}$ et $\frac{5 \pi}{6},$

puisque l'équation est en sinus donc nous cherchons les ordonnées dont la valeur est plus que $\frac{1}{2}$ mais en restant toujours dans l'intervalle $ [0,2 \pi]\\[0.2cm]$ Pour expliciter les solutions il faut revenir au cercle trigonométrique

Donc l’ensembles des solutions est l’arc en bleu : $ S=\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right] $

Inéquation de tangente

مثال

Résoudre l’inéquation suivante dans $ [0,2 \pi]: \tan (x)-1 \geq 0 $

Corrigé exemple

Etape 1 : la résolution de l’équation correspondante, $\\[0.2cm]$ donc $~\tan (x)-1=0 \Leftrightarrow \tan (x)=1\\[0.2cm]$ On a $~\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)=1\\[0.2cm]$ alors $~\tan (x)=1 \Leftrightarrow \tan (x)=\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{R}\\[0.2cm]$ Puisque nous travaillons dans $[0,2 \pi]$ alors les deux points admissibles sont : $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{5 \pi}{4}\\[0.3cm]$

Etape 2 : il s’agit de déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation en se basant sur les deux points : $ \frac{\pi}{4}$ et $\frac{5 \pi}{4} \\[0.2cm]$ puisque l’équation est en tangent donc nous cherchons les points $M(x,y)$ sur le cercle trigonométrique dont la valeur de point d’intersection entre la droite tangente à l’origine et la droite de vecteur directeur $ \overrightarrow{O M}$ est supérieur ou égale à $1$ mais en restant toujours dans l’intervalle $ [0,2 \pi].\\[0.2cm]$ Pour expliciter les solutions il faut revenir au cercle trigonométrique

Donc l’ensembles des solutions est les deux arcs : $ S=\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\left[\cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}[\right.\right.\right. $