Fiche de cours

Le produit scalaire dans l'espace

Définition, vocabulaire et conséquences

تعريف

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs de l'espace.

$O, A$ et $B$ sont des points de l'espace tels que :

$\vec{u}=\overrightarrow{O A}~$ et $~\vec{v}=\overrightarrow{O B}$

Le produit scalaire des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{OB}~$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$

Vocabulaire et conséquences :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace vectoriel $V_3$ tels que:

$$\vec{u}=\overrightarrow{OA} ~~\text { et }~~ \vec{v}=\overrightarrow{OB}$$

$(O, A$ et $B$ sont des points de l'espace)

a. Si $~\vec{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\vec{v}=\overrightarrow{0}~$ alors $~\vec{u} \cdot \vec{v}=0$

b. On pose $\vec{u}^2=\vec{u} \cdot \vec{u}$ et on appelle $\vec{u}^2:$ Le carré scalaire du vecteur $\vec{u}$ (comme dans le plan) et on a :

norme de $\vec{u}$ est $O A$ (distance entre $O$ et $A$ ) notée $\|\vec{u}\|$ et on a $:~\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}^2}$

c. Si $~\|\vec{u}\|=1$, on dit que le vecteur $\vec{u}$ est unitaire.

d. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls et $H$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(OA)$ et $\theta$ est la mesure, (en radian) de l'angle géométrique $\widehat{\mathrm{AOB}}~$ où $~0 \leq \theta \leq \pi$ alors:

$$\begin{aligned}& \vec{u} \cdot \vec{v}= \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O H} \\& \vec{u} \cdot \vec{v}=O A \times O B \cos (\widehat{A O B}) \\& \vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\| \cdot\|\vec{v}\| \cos (\theta)\end{aligned}$$

Symétrie et bilinéarité du produit scalaire

خاصية

Si $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ sont des vecteurs de l'espace et $\lambda$ est un nombre réel on a :

1) $~\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}~~$ (la symétrie)

2) $~\vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w}$

3) $~(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}=\lambda \cdot(\vec{u} \cdot \vec{v})$

4) $~(\vec{u}+\vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot \vec{w}+\vec{v} \cdot \vec{w}$ ;

$\bullet ~\vec{u} \cdot(\lambda \vec{v})=\lambda(\vec{u} \cdot \vec{v})$

$\bullet ~(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2 \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v}^2 ;$

$\bullet ~(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2 \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v}^2$

$\bullet ~(\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u} - \vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2$

خاصية

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs de l'espace alors:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)$

image/svg+xml Remarque

Si $A, B$ et $C$ sont des points de l'espace alors :

$$\begin{aligned}& \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}\left(A B^2+A C^2-B C^2\right) \\& \cos (\widehat{B A C})=\frac{A B^2+A C^2-B C^2}{2 A B \times A C}\end{aligned}$$

خاصية

Si $A, B, C$ et $D$ sont des points de l'espace ; $C'$ et $D'$ sont les projetés orthogonaux respectifs des points $C$ et $D$ sur la droite (AB) alors :

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C'D'}$$

Orthogonalité de deux vecteurs

تعريف

On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, dans l'espace si $~\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$

Expression analytique du produit scalaire dans l'espace

Base orthogonale , repère orthogonal

تعريف

Base orthogonale :

$\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ sont trois vecteurs non nuls de l'espace vectoriel $V_3$.

On dit que ($\vec{u}$ $\vec{v}, \vec{w})$ est une base orthogonale de l'espace vectoriel $V_3$, si les vecteurs $~\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}~$ sont orthogonaux deux à deux.

تعريف

Repère orthogonal :

Soit $O$ un point de l'espace $\mathscr{E}$ .

Si $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est une base orthogonale de l'espace, vectoriel $V_3$ alors le repère $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est appelé repère orthogonal de l'espace $\mathscr{E}$.

image/svg+xml Remarque

Quatre points $A,B,C$ et $D$ non coplanaires de l'espace $\mathscr{E}$, tels que $~(A B) \perp(A C)~ ; ~(A B) \perp(A D)~$ et $~(A C) \perp(A D)~$, forment un repère orthogonal $~(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})~$ de l'espace $\mathscr{E}$.

Base orthonormée , repère orthonormé

تعريف

Base orthonormée :

Si $~(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})~$ est une base orthogonale de l'espace vectoriel $V_3$ et si les vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ sont unitaires alors on dit que $~(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})~$ est une base orthonormée de l'espace vectoriel $V_3$.

تعريف

Repère orthonormé :

Soit $O$ un point de l'espace $\mathscr{E}$

Si $~(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})~$ est une base orthonormée de l'espace, vectoriel $V_3$ alors le repère $~(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})~$ est appelé repère orthonormé de l'espace $\mathscr{E}$.

image/svg+xml Remarque

L'espace $\mathscr{E}$ est rapporté à un repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ et soit $M$ un point de $\mathscr{E}$ .

- Il existe un triplet et un seul $~(x, y, z)~$ de $\mathbb{R}^3$ tel que : $~\overrightarrow{O M}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}$

- Si $~(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})~$ est un repère orthonormé de l'espace $\mathscr{E}$ alors :

$x=\overrightarrow{O M} \cdot \vec{i}, \quad y=\overrightarrow{O M} \cdot \vec{j}~$ et $~~z=\overrightarrow{O M} \cdot \vec{k}$

Expression analytique du produit scalaire et de la norme d'un vecteur

خاصية

L'espace vectoriel est rapporté à la base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

Si $~\vec{u}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}~$ et $~\vec{v}=x^{\prime} \vec{i}+y^{\prime} \vec{j}+z^{\prime} \vec{k}$

alors : $~\vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}~$ et $~\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

خاصية

Soient $~A\left(x_A, y_A, z_A\right)~$ et $~B\left(x_B, y_B, z_B\right)~$ deux points de l'espace rapporté au repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

on a: $\quad A B=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}$

Plan défini par un point et un vecteur normal

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