Les Applications 1BAC BIOF- Kezako

Fiche de cours

Application, Fonction, Égalité,Prolongement

Notion d'application

تعريف

Soient $\mathbb{E}$ et $\mathbb{F}$ deux ensembles non vides.$\\$ Toute relation qui à chaque élément de $\mathbb{E}$ , associe un et un seul élément de $\mathbb{F}$, est appelée une application de $\mathbb{E}$ vers $\mathbb{F}$. $\\$

$f: \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{F} \\$ $\hspace*{1.5cm} x \rightarrow f(x)=y$

Autrement dit:

$(\forall x \in \mathbb{E}) (\exists ! y \in \mathbb{F}) \quad f(x)=y$

ما يجب معرفته

Si $f$ est une application de $\mathbb{E}$ vers $\mathbb{F}$ ,alors $\mathbb{E}$ est appelé l'ensemble de départ et $\mathbb{F}$ est appelé l'ensemble d'arrivée.

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Vidéo Notion d'application

15 min

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Égalité de deux applications

Soit $f$ une application de $\mathbb{E}$ vers $\mathbb{F}$ et $g$ une application de $\mathbb{E}'$ vers $\mathbb{F}'$ . On dit que les applications $f$ et $g$ sont égales si:

$\mathbb{E}$=$\mathbb{E}'\\[0.2cm]$
$\mathbb{F}$=$\mathbb{F}'\\[0.2cm]$
$\forall x \in E$ $\quad f(x)=g(x)$

تطبيق

On considère les 2 applications suivantes $f$ et $g$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$

$g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1}~$ et $ ~f(x)=\sqrt{1+x^2}-1$

Montrons que $f=g$

soit $x$ un élément de $\mathbb{R}$

$g(x)= \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1} =\frac{x^2 .(\sqrt{1+x^2}-1) }{(\sqrt{1+x^2}+1)(\sqrt{1+x^2}-1)} = \sqrt{1+x^2}-1= f(x)$

Vidéo Les applications : égalité de deux fonctions

15 min

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Image directe d'une partie par une application

تعريف

Soit $f$ une application d'un ensemble $\mathbb{E}$ vers un ensemble $\mathbb{F}$ et $A$ une partie de $E$. Toutes les images par $f$ des éléments de $A$ forment un ensemble appelé l'image directe de la partie $A$ par $f$ que l'on note $f$(A)

$$f(A)=\{f(x) ~/~ x \in A\} $$

Image réciproque d'une partie par une application

تعريف

Soit $f$ une application d'un ensemble $\mathbb{E}$ vers un ensemble $\mathbb{F}$ et $B$ une partie de $\mathbb{F}$. Tous les éléments $x$ de $\mathbb{E}$ tels que les images $f(x)$ appartiennent à $B$, forment un ensemble appelé l'image réciproque de la partie $B$ par $f$ que l'on note $f^{-1}(B)$

$$f^{-1}(B)=\{x \in E ~/ ~f(x) \in B\}$$

Vidéo Les Applications: Image directe et réciproque par une application

15 min

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Restriction d'une application

تعريف

Soient $f$ une application d'un ensemble $\mathbb{E}$ vers un ensemble $\mathbb{F}$ et $A$ une partie non vide de $\mathbb{E}$. L'application $g$ de $A$ vers $\mathbb{F}$ telle que:

$\forall x \in A \quad$ $g(x)=f(x)$

est appelée la restriction de $f$ à $A$, et est notée $f_{/A}$

تطبيق

Soit $f$ l'application définie par:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ \hspace*{2cm} x \rightarrow f(x)=\frac{x}{x^2+1}$

L'application suivante g est la restriction de l'application f sur $[-1;1]$

$g: [-1;1] \rightarrow \mathbb{R} \\ \hspace*{2cm} x \rightarrow g(x)=\frac{x}{x^2+1}$