Fiche de cours

Application, Fonction, Égalité,Prolongement

Notion d'application

تعريف

Soient E\mathbb{E} et F\mathbb{F} deux ensembles non vides.\\ Toute relation qui à chaque élément de E\mathbb{E} , associe un et un seul élément de F\mathbb{F}, est appelée une application de E\mathbb{E} vers F\mathbb{F}. \\

f:E→Ff: \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{F} \\ x→f(x)=y\hspace*{1.5cm} x \rightarrow f(x)=y

Autrement dit:

(∀x∈E)(∃!y∈F)f(x)=y(\forall x \in \mathbb{E}) (\exists ! y \in \mathbb{F}) \quad f(x)=y

ما يجب معرفته

Si ff est une application de E\mathbb{E} vers F\mathbb{F} ,alors E\mathbb{E} est appelé l'ensemble de départ et F\mathbb{F} est appelé l'ensemble d'arrivée.

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Vidéo Notion d'application
15 min
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Égalité de deux applications

Soit ff une application de E\mathbb{E} vers F\mathbb{F} et gg une application de E′\mathbb{E}' vers F′\mathbb{F}' . On dit que les applications ff et gg sont égales si:

  • E\mathbb{E}=E′\mathbb{E}'\\[0.2cm]
  • F\mathbb{F}=F′\mathbb{F}'\\[0.2cm]
  • ∀x∈E\forall x \in E f(x)=g(x)\quad f(x)=g(x)

تطبيق

On considère les 2 applications suivantes ff et gg de R\mathbb{R} vers R\mathbb{R}

g(x)=x21+x2+1 g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1}~  et   f(x)=1+x2−1 ~f(x)=\sqrt{1+x^2}-1

  • Montrons que f=gf=g

soit xx un élément de R\mathbb{R}

g(x)=x21+x2+1=x2.(1+x2−1)(1+x2+1)(1+x2−1)=1+x2−1=f(x)g(x)= \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1} =\frac{x^2 .(\sqrt{1+x^2}-1) }{(\sqrt{1+x^2}+1)(\sqrt{1+x^2}-1)} = \sqrt{1+x^2}-1= f(x)

Vidéo Les applications : égalité de deux fonctions
15 min
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Image directe d'une partie par une application

تعريف

Soit ff une application d'un ensemble E\mathbb{E} vers un ensemble F\mathbb{F} et AA une partie de EE. Toutes les images par ff des éléments de AA forment un ensemble appelé l'image directe de la partie AA par ff que l'on note ff(A)

f(A)={f(x) / x∈A}f(A)=\{f(x) ~/~ x \in A\}

Image réciproque d'une partie par une application

تعريف

Soit ff une application d'un ensemble E\mathbb{E} vers un ensemble F\mathbb{F} et BB une partie de F\mathbb{F}. Tous les éléments xx de E\mathbb{E} tels que les images f(x)f(x) appartiennent à BB, forment un ensemble appelé l'image réciproque de la partie BB par ff que l'on note f−1(B)f^{-1}(B)

f−1(B)={x∈E / f(x)∈B}f^{-1}(B)=\{x \in E ~/ ~f(x) \in B\}

Vidéo Les Applications: Image directe et réciproque par une application
15 min
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Restriction d'une application

تعريف

Soient ff une application d'un ensemble E\mathbb{E} vers un ensemble F\mathbb{F} et AA une partie non vide de E\mathbb{E}. L'application gg de AA vers F\mathbb{F} telle que:

∀x∈A\forall x \in A \quad g(x)=f(x)g(x)=f(x)

est appelée la restriction de ff à AA, et est notée f/Af_{/A}

تطبيق

Soit ff l'application définie par:

f:R→Rx→f(x)=xx2+1f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ \hspace*{2cm} x \rightarrow f(x)=\frac{x}{x^2+1}

L'application suivante g est la restriction de l'application f sur [−1;1][-1;1]

g:[−1;1]→Rx→g(x)=xx2+1g: [-1;1] \rightarrow \mathbb{R} \\ \hspace*{2cm} x \rightarrow g(x)=\frac{x}{x^2+1}

Vidéo La restriction d'une application
15 min
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Prolongement d'une application

تعريف

Soient ff une application d'un ensemble E\mathbb{E} vers un ensemble F\mathbb{F} et E′\mathbb{E}' un ensemble contenant E\mathbb{E}.

Toute application hh de E′\mathbb{E}' vers F\mathbb{F} telle que:

∀x∈E′\forall x \in E' \quad h(x)=f(x)h(x)=f(x)

est appelée un prolongement de l'application ff à E′\mathbb{E}'.

Vidéo Le prolongement d'une application
15 min
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Classification des applications

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Les Applications
Sommaire du cours
  1. Application, Fonction, Égalité,Prolongement
    1. Notion d'application
    2. Égalité de deux applications
    3. Image directe d'une partie par une application
    4. Image réciproque d'une partie par une application
    5. Restriction d'une application
    6. Prolongement d'une application
  2. Classification des applications
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