Les deux photos montrent une balançoire pour enfant et la Grande Roue. Ces deux systèmes sont constitués par des corps solides qui ont un mouvement de rotation autour d’un axe fixe. Qu’est-ce qu’un mouvement de rotation ? Et quelles sont ses caractéristiques ? 

Dans ce cours, on découvrira en particulier les mouvements de rotation dans le plan.

Rotation simple et réciproque

تعريف

Soit Ω\Omega un point du plan orienté positivement et θ\theta un réel.La rotation rr de centre Ω\Omega et d'angle θ\theta est la transformation du plan notée r(Ω;θ)r(\Omega ; \theta) ou r(Ω;θ)r_{(\Omega ; \theta)} qui vérifie : r(Ω)=Ω\quad r(\Omega)=\Omega

Et pour tout point MM du plan différent de Ω\Omega ; La rotation rr transforme un point MM en un point image MM^{\prime} tel que :

rM=M{ΩM=ΩM(ΩM,ΩM)θ [2π]rM=M^{\prime} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}\Omega M^{\prime}=\Omega M \\\left(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M^{\prime}}\right)\equiv \theta~[2 \pi]\end{array}\right.

D'après la figure ci-dessus r(Ω;θ)(M)=Mr_{(\Omega ; \theta)}(M)=M^{\prime}

image/svg+xml Remarque

1. L'image du centre Ω\Omega est Ω\Omega (on dit que le point Ω\Omega est invariant),

2. Les rotations d'angle θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} sont appelées quarts de tour direct,

3. Les rotations d'angle θ=π2\theta=-\frac{\pi}{2} sont appelées quarts de tour indirect,

4. La rotation de centre Ω\Omega et d'angle θ=π\theta=\pi est la symétrie centrale par rapport à Ω\Omega.5. Si l'angle de la rotation est non nul, son centre est le seul point invariant.

مثال

ABC\mathrm{ABC} est un triangle. On construit à l'extérieur deux triangles ABDABD et ACEACE isocèles et rectangles en AA

1. Montrer que : BE=CD\mathrm{BE}=\mathrm{CD}

2. Montrer que : (BE)(CD)(\mathrm{BE}) \perp(\mathrm{CD})

Solution :

1- Soit rr la rotation de centre AA et d'angle π2\frac{\pi}{2} On a : {AD=ABAD;AB)π2[2π]\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{AD}=\mathrm{AB} }{ \overrightarrow{\mathrm{AD}} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})}\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi]\end{array}\right. donc: r(D)=Br(\mathrm{D})=\mathrm{B}

On a: {AC=AE(AC;AE)π2[2π]\left\{\begin{array}{l}\frac{A C=A E}{(\overrightarrow{\mathrm{AC}} ; \overrightarrow{\mathrm{AE}})} \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]\end{array}\right.

donc: r(C)=E r(C)=E~ Et puisque la rotation conserve les distances. Alors, on déduit que BE=CDB E=C D

2- on a  r(D)=B ~r(D)=B~ et  r(C)=E ~r(C)=E~

Donc: (CD,EB)π2[2π]\overline{(\overrightarrow{C D}, \overrightarrow{E B})} \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]

par suite :  (BE)(CD)~(B E) \perp(C D)

Vidéo La rotation simple
15 min
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Rotation réciproque

تعريف

Soit rr une rotation de centre Ω\Omega et d'angle α\alpha. La rotation de centre Ω\Omega et d'angle α-\alpha est appelée rotation réciproque de rr. On la note r1r^{-1}.

D'après la figure ci-dessus on a:  ro1(M)=M~r_{o}^{-1}\left(M^{\prime}\right)=M.

image/svg+xml Remarque

Soient MM et NN deux points du plan, si ro(M)=M;r_{o}(M)=M^{\prime} ; Alors

ro1(M)=Mr_{o}^{-1}\left(M^{\prime}\right)=M

Vidéo La rotation réciproque
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Caractéristiques et propriétés de la rotation

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