Fiche de cours

Le produit scalaire est l'une des façons de combiner deux vecteurs. Nous calculons le produit scalaire de deux vecteurs et le résultat, son nom l'indique, est un scalaire plutôt qu'un vecteur.
Pour un peu d'histoire ,la notion du produit scalaire est apparue pour la première fois pour des besoins de la physique. Au milieu du XIXe siècle, le mathématicien allemand Hermann Grassmann a introduit le concept relativement récent.

Dans ce chapitre, vous apprendrez à calculer le produit scalaire de différentes manières et vous rencontrerez quelques concepts géométriques. Afin de maîtriser les techniques expliquées ici, nous commençons tout d'abord par un rappel.

Rappel

Produit scalaire de deux vecteurs

L’expression du produit scalaire en utilisant la projection orthogonale:

تعريف

Soient $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ trois points dans le plan et $\mathrm{H}$ la projection orthogonale du point $\mathrm{C}$ sur la droite $(AB). \\$ Alors le produit scalaire de $\overrightarrow{A B} ~\text { et }~ \overrightarrow{A C}$ est le nombre réel $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ tel que

$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=A B \times AH ~$ si $~ \overrightarrow{A B} ~$ et $~ \overrightarrow{A H}$ ont le même sens. 

$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=-A B \times AH ~$ si $~ \overrightarrow{A B} ~$ et $ ~\overrightarrow{A H} $ n'ont pas le même sens.

Si $~\overrightarrow{A B}=0 ~~(A=B) \text { ou } \overrightarrow{A C}=0 ~~(A=C) ~~$ alors,$~~ \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=0 $

La formule trigonométrique du produit scalaire :

تعريف

Soient $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A C}$ deux vecteurs du plan, alors :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}&=\|A B\| \times\|A C\| \times \cos (\overline {\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}}) \\ &=A B \times A C \times \cos (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}}) \end{aligned}$$

ما يجب معرفته

Le nombre réel positif $\sqrt{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}} $ est appelé la norme du vecteur $\overrightarrow{A B}$

Et on note $\|\overrightarrow{A B}\|=A B$

خاصية

Linéarité du produit scalaire :

$$\bullet ~(\vec{u}+\vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} . \vec{w}+\vec{v} \cdot \vec{w} \\[0.2cm] \bullet ~\vec{w} \cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w} \cdot \vec{u}+\vec{w} \cdot \vec{v} \\[0.2cm] \bullet ~\vec{u} .(\alpha \vec{v})=(\alpha \vec{u}) \cdot \vec{v}=\alpha(\vec{u} \cdot \vec{v})$$ 

Symétrie du produit scalaire : $$\quad \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u} $$ 

Positivité du produit scalaire : $$\quad \vec{v}^{2}=\vec{v} \cdot \vec{v} \geq 0 $$

Le produit scalaire est non dégénéré, c'est-à-dire : $$\quad \vec{v} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{v}=0 $$

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonales : $$ \quad \vec{u} \perp \vec{w} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{w}=0 $$

Base orthonormée directe – Repère orthonormé directe

تعريف

On dit que le couple $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ constitue une base du plan $(P)$ si : $\\ \vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan. $\\$ Et on dit que le plan $(P)$ est rapporté ou muni à la base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$,

$(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ une base de $(P)$ et $O$ est un point de $(P)\\$ Le triplet $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ s'appelle un repère de $(P)\\$ Et on dit que le plan $(P)$ est rapporté ou muni au repère $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\\$ $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ est une base orthonormée si : $\vec{\imath} \cdot \vec{\jmath}=0$ et $\|\vec{\imath}\|=\|\vec{\jmath}\|=1 \\$ $ \mathrm{Et}$ dans ce cas le repère $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ est un repère orthonormé. $\\$ $(\vec{i}, \vec{j})$ est une base orthonormée directe si et seulement si :$\\$ $(\vec{i}, \vec{j})$ est une base orthonormée et $~(\vec{\imath}, \vec{j}) \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]\\$Et dans ce cas le repère $(O, \vec{\imath}, \vec{j})$ est un repère orthonormé directe.

image/svg+xml Remarque

Dans toute la suite de ce cours, on considère le plan muni à un repère orthonormé directe $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}) $

Vidéo Rappels et Introduction
15 min
Voir la vidéo

L’expression analytique du produit scalaire et la norme d’un vecteur dans un repère orthonormé directe

خاصية

Soient $~~\vec{u}(x, y)=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}~~$ et $~~\vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x^{\prime} \vec{\imath}+y^{\prime} \vec{\jmath}~~$ deux vecteurs du plan $(P)$, On a : $\\[0.2cm]$ 1. $\vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}\\[0.2cm]$ 2. $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\\[0.2cm]$ 3. $\|\overrightarrow{A B}\|=A B=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$

 

برهان

$\begin{aligned}\vec{u} . \vec{v}&=(x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}) \cdot\left(x^{\prime} \vec{\imath}+y^{\prime} \vec{\jmath}\right)\\ &=x x^{\prime} \vec{\imath } . \vec{\imath}+x y^{\prime} \vec{\imath} \cdot \vec{j}+y x^{\prime} \vec{\jmath} \cdot \vec{\imath}+y y^{\prime} \vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath}\\ &=x x^{\prime}+y y^{\prime}\end{aligned}$

Car $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ est orthonormé directe, donc :

$$ \vec{\imath} \cdot \vec{\imath}=\vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath}=1 \quad\text { et } \quad \vec{\imath} \cdot \vec{\jmath}=\vec{\jmath} \cdot \vec{\imath}=0 . $$

$\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u} . \vec{u}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

D'après (1), on a $~~A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ et $B\left(x_{B}, y_{B}\right) : $

$$ A B=\|\overrightarrow{A B}\|=\sqrt{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}}=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}} $$

مثال

On donne $~~\vec{u}=\vec{\imath}-2 \vec{\jmath}~~$ et $~~\vec{v}=-4 \vec{\imath}+2 \vec{\jmath}~~$ et $~~A(0,3)~~$ et $~~B(2,-1)\\[0.2cm]$ 1. Calculons $~~\vec{u} . \vec{v}$ : $$~~ \vec{u} . \vec{v}=1 \times(-4)+(-2) \times 2=-4-4=-8 $$ $\\[0.2cm]$ 2. Calculons $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|:$ $$~~ \begin{array}{l} \|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5} \\ \|\vec{v}\|=\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{20} \end{array} $$ $\\[0.2cm]$ 3. Calculons $AB$ : $$~~ A B=\sqrt{(2-0)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20} $$

Vidéo Expressions et formules analytiques
15 min
Voir la vidéo

 Formules de $~\cos (\vec{u},\vec{v})~$ et $~\sin (\vec{u},\vec{v})$

خاصية

Soient $~~\vec{u}(x, y)=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}~~$ et $~~\vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x^{\prime} \vec{\imath}+y^{\prime} \vec{\jmath}~~$ deux vecteurs non nuls dans le plan, et $~~(\overline{\vec{u}, \vec{v}}) \equiv \theta [2 \pi]$, on a :$\\$

1. $\cos \theta=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\|}=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}\\$

2. $\sin \theta=\frac{\operatorname{det}(\vec{u} \cdot \vec{v})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}=\frac{x y^{\prime}-x^{\prime} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$

برهان

1. On a : $$\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{c} \vec{u} . \vec{v}=\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\| \times \cos \theta \\[0.2cm] \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime} \end{array}\right. \Rightarrow\left\{\begin{array}{c} \cos \theta=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\|} \\[0.2cm] \vec{u} . \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime} \end{array}\right. \end{array}$$

$\\$ Donc : $$\cos \theta=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$$ $\\$

2. Soit le vecteur $\vec{w}$ tel que :$\\$ $(\overline{\vec{u}, \vec{w}}) \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]~~$ et $~~\|\vec{u}\|=\|\vec{w}\|$ $\\$

$ (\overline{\vec{v}, \vec{w}}) \equiv(\overline{\vec{v}, \vec{u}})+(\overline{\vec{u}, \vec{w}})[2 \pi] \equiv-\theta+\frac{\pi}{2}[2 \pi] \\$

$ \vec{v} \cdot \vec{w}=\|\vec{v}\| \times\|\vec{w}\| \times \cos \left(-\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\|\vec{v}\| \times\|\vec{u}\| \times \sin \theta  \\$

$ \Rightarrow \sin \theta=\frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{\|\vec{v}\| \times\|\vec{u}\|} \\$

Et on a $~~\vec{w}(-y, x)\\$

Donc : $$ \sin \theta=\frac{x y^{\prime}-x^{\prime} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}} $$ $\\$

Ou autrement : $$ \sin \theta=\frac{\operatorname{det}(\vec{u} . \vec{v})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}} $$

مثال

Soient les trois points $A(5,0), B(2,1)$ et $C(6,3)\\$

a- Calculons $\cos (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})$,

On a :$\\$ $ \cos (\overline{\overrightarrow {A B}, \overrightarrow{A C}})=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}}{\|A B\| \times\|A C\|}=\frac{(-3 \vec{\imath}+\vec{\jmath})(\vec{\imath}+3 \vec{\jmath})}{A B \times A C} \\$

$ A B=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}- y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{10} \\$

$ A C=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10} \\$

Donc : $$ \cos (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})=\frac{-3+3}{10}=0 $$

$\\$ b- Calculons $~~\sin (\overline {\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})$,

On a : $\\$ $$ \sin (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})=\frac{(-3) \times 3-1 \times 1}{10}=-\frac{10}{10}=-1 $$ $\\$

Donc : $$ (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}}) \equiv-\frac{\pi}{2}[2 \pi] $$

Vidéo Formules de cos et de sin
15 min
Voir la vidéo

L’air d’un triangle et d’un parallélogramme

Pour continuer cette fiche de cours, Inscris-toi gratuitement sur Kezakoo

Version gratuite de Kezakoo
  • Fiches de cours illimitées
  • Une vidéo gratuite par leçon
  • 2 exercices gratuits par leçon
  • Un test gratuit par leçon
S'inscrire gratuitement
Signaler une erreur
Le produit scalaire dans le plan
Sommaire du cours
Signaler une erreur