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Maths
La logique
1ère année bac Sciences Expérimentales Maths La logique fiche de cours
La probabilité de gagner à ce jeu est inférieure à $$40 \%$$ ".Vous pouvez répondre par oui ou non, mais pour être certain il vous faut un raisonnement qui mène à une conclusion afin de valider ou d'infirmer cette information.
La logique est à la base de tous raisonnements usuels, elle facilite les définitions et rend les explications mathématiques plus claires. De toute façon nos débats et nos raisonnements sont façonnés par des principes logiques.
Proposition
تعريف
On appelle une proposition un énoncé mathématique qui a un sens pouvant être vrai ou faux mais pas les deux en même temps.
تطبيق
$P_1$: (15 nombre paire) $\\$ $P_2$: $(-3 \times 5=-15)$ $\\$ $P_3: (-2 \times 2<4)$ $\\$ $P_2$ et $P_3$ deux propositions vraies.$\\$ $P_1$ proposition fausse.
Fonction propositionnelle
تعريف
On appelle une fonction propositionnelle, tout énoncé contenant une ou plusieurs variables et qui appartiennent à des ensembles déterminés.$\\$ Et chaque fois on remplace cette variable par un élément de l’ensemble on obtient une proposition.$\\$ On note: $~P(x), ~P (x, y, z).$
تطبيق
$P(x):$ Pour tout $x$ de $\mathbb{R} ~; ~x \ge 5$ est une fonction propositionnelle. $\\$ $x=6$ on obtient une proposition Vraie$\\$ $ x=-1$ on obtient une proposition fausse $\\$ $P(x, y):$ Pour tout $x$ et $y$ de $\mathbb{Z}$ on a :$ ~x^{2}-y=3$ $\\$ $ x=2~$ et $~y=1$ la proposition est vraie. $\\$ $ x=2~$ et $~y=2$ la proposition est fausse.
Quantificateurs
Soit $P(X)$ pour $x$ de $E$ une expression propositionnelle.
Quantificateur universel
تعريف
L’expression: (pour tout $~x~$ de $E$ la proposition $P(x)$ est vraie)
On la note:
$( \forall x \in E~, ~P(x) )$
$\forall $ s’appelle quantificateur universel et il se lit : pour tout ou quel que soit .
تطبيق
$( \forall x \in \mathbb{R}: x^{2} \ge 0) $ $\\$ $ ( \forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}:|x+y| \le |x|+|y| ) $
Remarque
- Les écritures suivantes sont équivalentes : $ \\[0.2cm] \forall x \in \mathbb{E}$, $\forall y \in \mathbb{E}$ $~~;~~\forall x, y \in \mathbb{E}$ $~~;~~\forall(x, y) \in \mathbb{E} \times \mathbb{E} $
- Les écritures suivantes sont équivalentes : $\\[0.2cm] \exists x \in \mathbb{E}$, $\exists y \in \mathbb{E}~~;~~$ $\exists x, y \in \mathbb{E}$ $~~;~~\exists(x, y) \in \mathbb{E} \times \mathbb{E}$
Quantificateur existentiel
تعريف
L’expression: ( il existe un $x$ de $E$ la proposition $P(x)$ est vraie). On la note:
$\ll \exists x \in E, ~P(x) \gg $
$\exists$ s’appelle quantificateur existentiel et il se lit : il existe.
تطبيق
$ (\exists x \in \mathbb{Z}: \frac{x}{4} \in \mathbb{Z})$ $\\$ $(\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} ~:~ x^{2}=y^{2}+2) $
Quantificateur $ ~\exists ! $
تعريف
L’expression: ( il existe un unique $x$ de $E$ la proposition $P(x)$ est vraie)
On la note:
$$(\exists ! x \in E, ~P(x))$$
تطبيق
$(\exists ! x \in \mathbb{R}: x-1=2) $
ما يجب معرفته
-La négation du quantificateur : $\forall$ est le quantificateur $\exists$. $\\$ -La négation du quantificateur : $\exists$ est le quantificateur $\forall$.
Les opérations sur les propositions
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