L’objectif ultime de cette année en analyse consiste à tracer toutes fonctions. A ce stade, nous avons appris les connaissances nécessaires pour y arriver. En effet, nous avons commencé par la notion de la fonction pour clarifier ses caractéristiques : domaine de définition, la parité, la monotonie…, puis les limites pour définir les notions de voisinage et de convergence.

Alors, nous traiterons dans ce cours une nouvelle notion en analyse qui est la dérivation, un concept totalement local, autrement nous vérifions la dérivabilité de la fonction en chaque point de son Df D_{f} . En plus, la dérivation est liée aux variations de la fonction, et elle permet de déterminer son comportement et évidemment elle permet d’aboutir à des interprétations géométriques extrêmement importantes servant à anticiper le trajet de la fonction.

Ensuite, il faut savoir que nous avons déjà confronté cette notion mais sans la nommée, précisément le calcul du coefficient directeur d’une fonction affine, c'est un nombre qui caractérise la « pente » de la droite.

Graphiquement,

Coefficient directeur = Varations des ordonneˊ varaitions des abcisses =ΔyΔx =\frac{\text { Varations des ordonnés }}{\text { varaitions des abcisses }}=\frac{\Delta_{y}}{\Delta_{x}}

Nous appellerons ce coefficient : le nombre dérivé, qui est unique et constant même si on change les coordonnés car la fonction est affine.

Notion de dérivabilité

Dérivabilité au point

تعريف

Soit ff une fonction numérique de domaine définition DfD_{f}, soit IDfI \subset D_{f} un intervalle ouvert tel que aa appartient à l'intérieur de II. On dit que la fonction ff est dérivable en aa s'il existe un nombre réel ll tel que :

limxaf(x)f(a)xa=lR\lim\limits _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=l \in \mathbb{R}

Dans ce cas, on appelle ll le nombre dérivé de ff en aa, et on le note f(a)f^{\prime}(a).

image/svg+xml Remarque

On peut reformuler la définition précédente par un changement de variable. On pose x=a+hx=a+h, alors xax \rightarrow a quand h0h \rightarrow 0

Donc, la fonction ff est dérivable en aa si et seulement si \\[0.2cm] limh0f(a+h)f(a)h=l=f(a)R\lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=l=f^{\prime}(a) \in \mathbb{R}

Interprétation géométrique

Soit ff une fonction dérivable en aa. Alors le nombre f(a)f^{\prime}(a) est la pente de la droite tangente à (Cf)\left(C_{f}\right), la représentation graphique de ff, au point A(a,f(a))A(a, f(a)) .

مثال

La fonction  f(x)=x2 ~ f(x)=x^{2}~  est dérivable en11 .  En effet, 

limx1f(x)f(1)x1=limx1x212x1=limx1(x1)(x+1)(x1)=limx1x+1=2R\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1^{2}}{x-1}=\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}=\lim\limits _{x \rightarrow 1} x+1=2 \in \mathbb{R}

خاصية

Soit f f une fonction numérique de courbe (Cf)\left(C_{f}\right) et de domaine définition DfD_{f} soit IDfI \subset D_{f} un intervalle ouvert tel que aa appartient à l'intérieur de II.

Si ff  est dérivable en aa

Alors  (Cf)~\left(C_{f}\right) admet une tangente en  A(a,f(a))A(a, f(a)) d'équation  cartésienne :

y=f(a)(xa)+f(a)y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)

Dérivabilité à droite et à gauche

تعريف

Soit ff une fonction numérique définie sur l'intervalle [a,a+α[ [a, a+\alpha[ avec α>0.\\ \alpha>0 . On dit que la fonction ff est dérivable à droite de aa s'il existe un nombre réel ldl_{d} tel que :

limxa+f(x)f(a)xa=limxax>af(x)f(a)xa=ldR\lim\limits _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim\limits _{x \rightarrow a \atop x>a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=l_{d} \in \mathbb{R}

Dans ce cas, on appelle ldl_{d} le nombre dérivé à droite de ff en aa et on le note fd(a)f_{d}^{\prime}(a) .

تعريف

Soit ff une fonction numérique définie sur l'intervalle ]aα,a]] a-\alpha, a] avec α>0.\alpha>0 . On dit que la fonction ff dérivable à gauche de a,a, s'il existe un nombre réel lgl_{g} tel que :

limxaf(x)f(a)xa=limxax<af(x)f(a)xa=lgR\lim\limits _{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim\limits _{x \rightarrow a \atop x<a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=l_{g} \in \mathbb{R}

Dans ce cas, on appelle lgl_{g} le nombre dérivé à gauche de ff en aa et on le note fg(a)f_{g}^{\prime}(a) .

خاصية

Soit ff une fonction numérique de domaine définition DfD_{f}, soit IDfI \subset D_{f} un intervalle ouvert tel que aa appartient à l'intérieur de I.I .

ff est dérivable en aa si et seulement si ff est dérivable à droite et à gauche de aa et :

fd(a)=fg(a)f_{d}^{\prime}(a)=f_{g}^{\prime}(a) .

انتباه

la dérivabilité à droite et à gauche en aa de ff n'est pas suffisante pour affirmer que ff est dérivable en aa, il faut toujours vérifier l'égalité des deux nombres dérivés.

Interprétation géométrique

Les deux nombres fd(a)f_{d}^{\prime}(a) et fg(a)f_{g}^{\prime}(a) sont respectivement des pentes de deux demis tangents à droite et à gauche de (Cf)\left(C_{f}\right) au point A(a,f(a))A(a, f(a)) .

مثال

On considère la fonction f(x)=x2f(x)=x^{2} définie sur R\mathbb{R}. Alors, ff est dérivable à droite au point A(1,1)A(1,1). En effet,

limx1+f(x)f(1)x1=limx1+x212x1=limx1+(x1)(x+1)(x1)=limx1+x+1=2R\begin{aligned}\lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2}-1^{2}}{x-1}\\[0.2cm] &=\lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}\\[0.2cm]&=\lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}} x+1=2 \in \mathbb{R}\end{aligned}

Donc la pente de la tangente ci-dessous :   fd(1)=2~~f_{d}^{\prime}(1)=2

مثال

On considère la fonction f(x)=x2f(x)=x^{2} définie sur R.\mathbb{R} . Alors, ff est dérivable à gauche au point A(1,1).A(1,1) . En effet,

limx1f(x)f(1)x1=limx1x212x1=limx1(x1)(x+1)(x1)=limx1x+1=2R\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x^{2}-1^{2}}{x-1}=\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}=\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} x+1=2 \in \mathbb{R}

Donc la pente de la tangente ci-dessous : fg(1)=2 f_{g}^{\prime}(1)=2

خاصية

Soit ff une fonction numérique de domaine définition DfD_{f}, soit IDfI \subset D_{f} un intervalle ouvert tel que aa appartient à l'intérieur de II.

Si la fonction ff est dérivable à droite en aa, alors la courbe (Cf)\left(C_{f}\right) admet une demi-tangente au point A(a,f(a))A(a, f(a)) d'équation cartésienne :

­♦ (Td):y=fd(a)(xa)+f(a) ;  xa\left(T_{d}\right): y=f_{d}^{\prime}(a)(x-a)+f(a)~ ;~ ~x \geq a

Si la fonction ff est dérivable à gauche en aa, alors la courbe (Cf) \left(C_{f}\right) admet une demi-tangente au point A(a,f(a))A(a, f(a)) d'équation cartésienne :

(Tg):y=fg(a)(xa)+f(a) ;  xa\left(T_{g}\right): y=f_{g}^{\prime}(a)(x-a)+f(a) ~;~~ x \leq a

♦ Si  limxa+f(x)f(a)xa=±( resp. limxaf(x)f(a)xa=±)~\lim\limits _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm \infty\left(\text { resp. } \lim\limits _{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm \infty\right) , alors ff n’est pas dérivable à droite (resp. à gauche) en aa.

Dans ce cas, (Cf)\left(C_{f}\right) admet une demi- tangente verticale à droite (resp. à gauche ) au point A(a,f(a))A(a, f(a)) .

مثال

1. Tangente parallèle à l’axe des abscisses (horizontal).

La fonction f(x)=(x1)2 f(x)=(x-1)^{2}  est dérivable en 11 .  En effet,

limx1(x1)20x1=limx1x1=0\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)^{2}-0}{x-1}=\lim\limits _{x \rightarrow 1} x-1=0

Donc l’équation de la tangente est :   y=0×(x1)+0=0~~ y=0 \times(x-1)+0=0

2. Demi-tangente parallèle à l’axe des ordonnées (verticale).

Soit la fonction  f(x)=x ~f(x)=\sqrt{x}~ définie sur R+\mathbb{R}^{+} .

ff est bien définie au voisinage de 00, alors on étudie la dérivabilité à droite \\ de 00 :

limx0+x0x0=limx0+xx=limx0+1x=10+=+\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{0^{+}}=+\infty

Donc f f n’est pas dérivable à droite en 0 0 \Rightarrow admet une demi-tangente verticale dirigée vers le haut puisque on a « 0+ 0^{+} » et « + +\infty » (le même signe)

image/svg+xml Remarque

L’interprétation géométrique du cas précédent se découle des signes de point de convergence et le résultat de la limite. Généralement, nous avons 4 cas

 limxa±f(x)f(a)xa=±\lim\limits _{x \rightarrow a^{\pm}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm \infty

حيلة

Les cas possibles

«a+ a^{+} »   et «+ +\infty  »

«a a^{-} »   et « -\infty  »

«a+ a^{+} »   et « -\infty  »

«a a^{-} »   et «+ +\infty  »

Interprétation géométrique

Demi-tangente verticale à droite dirigée vers le haut.

Demi-tangente verticale à gauche dirigée vers le haut.

Demi-tangente verticale à droite dirigée vers le bas.

Demi-tangente verticale à gauche dirigée vers le bas.

3. Point anguleux : la courbe d’une fonction f f admet un point anguleux en a a si f f est dérivable à droite et à gauche de a a mais fd(a)fg(a) f_{d}^{\prime}(a) \neq f_{g}^{\prime}(a) . Par exemple la fonction  f(x)=x24 ~f(x)=\left|x^{2}-4\right|~ en 22 \\[0.2cm] limx2+x240x2=limx2+x24x2=limx2+x+2=4\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\left|x^{2}-4\right|-0}{x-2}=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} x+2=4 \\[0.2cm] limx2x240x2=limx2x2+4x2=limx2+(x+2)=4\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}}\frac{\left|x^{2}-4\right|-0}{x-2}=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-x^{2}+4}{x-2}=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}}-(x+2)=-4\\[0.2cm] Donc,44\quad 4 \neq-4

Dérivabilité sur un intervalle

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