L’objectif ultime de cette année en analyse consiste à tracer toutes fonctions. A ce stade, nous avons appris les connaissances nécessaires pour y arriver. En effet, nous avons commencé par la notion de la fonction pour clarifier ses caractéristiques : domaine de définition, la parité, la monotonie…, puis les limites pour définir les notions de voisinage et de convergence.
Alors, nous traiterons dans ce cours une nouvelle notion en analyse qui est la dérivation, un concept totalement local, autrement nous vérifions la dérivabilité de la fonction en chaque point de son Df. En plus, la dérivation est liée aux variations de la fonction, et elle permet de déterminer son comportement et évidemment elle permet d’aboutir à des interprétations géométriques extrêmement importantes servant à anticiper le trajet de la fonction.
Ensuite, il faut savoir que nous avons déjà confronté cette notion mais sans la nommée, précisément le calcul du coefficient directeur d’une fonction affine, c'est un nombre qui caractérise la « pente » de la droite.
Graphiquement,
Coefficient directeur = varaitions des abcisses Varations des ordonneˊs =ΔxΔy
Nous appellerons ce coefficient : le nombre dérivé, qui est unique et constant même si on change les coordonnés car la fonction est affine.
Notion de dérivabilité
Dérivabilité au point
تعريف
Soit f une fonction numérique de domaine définition Df, soit I⊂Df un intervalle ouvert tel que a appartient à l'intérieur de I. On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel l tel que :
x→alimx−af(x)−f(a)=l∈R
Dans ce cas, on appelle l le nombre dérivé de f en a, et on le note f′(a).
Remarque
On peut reformuler la définition précédente par un changement de variable. On pose x=a+h, alors x→a quand h→0
Donc, la fonction f est dérivable en a si et seulement si h→0limhf(a+h)−f(a)=l=f′(a)∈R
Interprétation géométrique
Soit f une fonction dérivable en a. Alors le nombre f′(a) est la pente de la droite tangente à (Cf), la représentation graphique de f, au point A(a,f(a)).
Soit f une fonction numérique de courbe (Cf) et de domaine définition Df soit I⊂Df un intervalle ouvert tel que a appartient à l'intérieur de I.
Si f est dérivable en a
Alors (Cf) admet une tangente en A(a,f(a)) d'équation cartésienne :
y=f′(a)(x−a)+f(a)
Dérivabilité à droite et à gauche
تعريف
Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle [a,a+α[ avec α>0. On dit que la fonction f est dérivable à droite de a s'il existe un nombre réel ld tel que :
Dans ce cas, on appelle ld le nombre dérivé à droite de f en a et on le note fd′(a).
تعريف
Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle ]a−α,a] avec α>0. On dit que la fonction f dérivable à gauche de a, s'il existe un nombre réel lg tel que :
Donc f n’est pas dérivable à droite en 0⇒ admet une demi-tangente verticale dirigée vers le haut puisque on a « 0+» et « +∞» (le même signe)
Remarque
L’interprétation géométrique du cas précédent se découle des signes de point de convergence et le résultat de la limite. Généralement, nous avons 4 cas
x→a±limx−af(x)−f(a)=±∞
حيلة
Les cas possibles
«a+» et «+∞ »
«a−» et «−∞ »
«a+» et «−∞ »
«a−» et «+∞ »
Interprétation géométrique
Demi-tangente verticale à droite dirigée vers le haut.
Demi-tangente verticale à gauche dirigée vers le haut.
Demi-tangente verticale à droite dirigée vers le bas.
Demi-tangente verticale à gauche dirigée vers le bas.
3. Point anguleux : la courbe d’une fonction f admet un point anguleux en a si f est dérivable à droite et à gauche de a mais fd′(a)=fg′(a). Par exemple la fonction f(x)=∣∣x2−4∣∣ en 2x→2+limx−2∣x2−4∣−0=x→2+limx−2x2−4=x→2+limx+2=4x→2−limx−2∣x2−4∣−0=x→2−limx−2−x2+4=x→2+lim−(x+2)=−4 Donc,4=−4
Dérivabilité sur un intervalle
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