Repère dans l'espace - Base des vecteurs de l'espace

Définition

Soit OO un point de l'espace ;i,j; \vec{i}, \vec{j} et k\vec{k} des vecteurs non coplanaires.

- Le quadruplet (O,i,j,k)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) est appelé repère dans l'espace.

- Le triplet (i,j,k)(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) est appelé base des vecteurs de l'espace.

Théorème

Soit (O,i,j,k)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) un repère dans l'espace.

Pour tout point MM de l'espace, il existe un triplet unique de nombres réels (x,y,z)(x, y, z) tel que

OM=xi+yj+zk\overrightarrow{OM}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}.

Définition

Le triplet (x,y,z)(x, y, z) est appelé triplet des coordonnées du point MM dans le repère (O,i,j,k)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) et on note M(x,y,z)M(x, y, z)

On dit que dans le repère (O,i,j,k)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) : xx est l'abscisse de MM; yy est l'ordonnée de MM et zz est la cote de MM.

- (x,y,z)(x, y, z) est le triplet des coordonnées du vecteur OM\overrightarrow{O M} dans la base (i,j,k)(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on note  OM(x,y,z) ~\overrightarrow{O M}(x, y, z)~, et on écrit  OM=xi+yj+zk~\overrightarrow{OM}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}.

Dans tout ce qui suit, on considère l'espace rapporté au repère (O,i,j,k)(\mathrm{O}, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}).

Propriété

 \bullet ~ Dire que les vecteurs  u(x,y,z) ~\vec{u}(x, y, z)~ et  u(x,y,z) ~\vec{u}^{\prime}\left(x', y', z'\right)~ sont égaux équivaut à dire que :  x=x, y=y ~x=x^{\prime}, ~y=y^{\prime}~ et  z=z~z=z^{\prime}

 \bullet ~ Soit  u(x,y,z) ~\vec{u}(x, y, z)~ et  u(x,y,z)~\vec{u}^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) deux vecteurs :

- pour tout nombre réel α\alpha, le vecteur αu\alpha \vec{u} a pour coordonnées (αx,αy,αz)(\alpha x, \alpha y, \alpha z)

- Le vecteur u+u\vec{u}+\vec{u}^{\prime} a pour coordonnées :  (x+x, y+y, z+z)~\left(x+x^{\prime}, ~y+y^{\prime}, ~z+z^{\prime}\right)

 \bullet ~ Soit  A(xA,yA,zA) ~A\left(x_A, y_A, z_A\right)~ et  B(xB,yB,zB) ~B\left(x_B, y_B, z_B\right)~ deux points.

- Le vecteur AB\overrightarrow{A B} a pour coordonnées :

(xBxA,yByA,zBzA)\left(x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A\right)

Le milieu de [AB][A B] a pour coordonnées :

(xA+xB2,yA+yB2,zA+zB2)(\frac{x_{A}+\mathrm{x}_B}{2}, \frac{y_{A}+y_B}{2},\frac{z_A+z_{B}}{2})

Colinéarité de deux vecteurs

Propriété

- Dire que les vecteurs  u(x,y,z) ~\vec{u}(x, y, z)~ et  u(x,y,z) ~\vec{u}^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)~, non nuls sont colinéaires équivaut a dire que les déterminants extraits :

xxyy , yyzz \left|\begin{array}{ll}x & x^{\prime} \\ y & y^{\prime}\end{array}\right|~,~\left|\begin{array}{ll}y & y^{\prime} \\ z & z^{\prime}\end{array}\right|~ et  zzxx ~\left|\begin{array}{cc}z & z^{\prime} \\ x & x^{\prime}\end{array}\right|~ sont tous nuls

Autrement dit : u\vec{u} et v\vec{v} sont non colinéaires si et seulement si l'un au moins des trois déterminants

xxyy , yyzz \left|\begin{array}{ll}x & x^{\prime} \\ y & y^{\prime}\end{array}\right|~,~\left|\begin{array}{ll}y & y^{\prime} \\ z & z^{\prime}\end{array}\right|~ et  zzxx ~\left|\begin{array}{cc}z & z^{\prime} \\ x & x^{\prime}\end{array}\right|~ est non nul

Trois vecteurs coplanaires

Définition

Soient  u1(x1,y1,z1) ~\vec{u}_1\left(x_1, y_1, z_1\right)~ et  u2(x2,y2,z2) ~\vec{u}_2\left(x_2, y_2, z_2\right)~ et  u3(x3,y3,z3) ~\vec{u}_3\left(x_3, y_3, z_3\right)~ des vecteurs de l'espace.

Le déterminant du triplet  (u1,u2,u3) ~\left(\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, \overrightarrow{u_3}\right)~ est le nombre réel:

x1y2y3z2z3+y1z2z3x2x3+z1x2x3y2y3x_1\left|\begin{array}{ll}y_2 & y_3 \\ z_2 & z_3\end{array}\right|+y_1\left|\begin{array}{ll}z_2 & z_3 \\ x_2 & x_3\end{array}\right|+z_1\left|\begin{array}{cc}x_2 & x_3 \\ y_2 & y_3\end{array}\right|

II est noté : det(u1,u2,u3):~ \operatorname{det}\left(\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, \overrightarrow{u_3}\right)

Exemple

On considère les vecteurs u(1,2,4) \vec{u}(1,2,-4)~ ,  v(12,1,2)  et  w(1,1,2)~\vec{v}\left(\frac{1}{2}, 1,-2\right)~ \text { et }~ \vec{w}(1,1,-2)

- u\vec{u} et v\vec{v} sont colinéaires car :

11221=0  et  42112=0  et  2142=0\left|\begin{array}{ll}1 & \frac{1}{2} \\2 & 1\end{array}\right|=0~ \text { et }~\left|\begin{array}{rr}-4 & -2 \\1 & \frac{1}{2}\end{array}\right|=0~ \text { et }~\left|\begin{array}{rr}2 & 1 \\-4 & -2\end{array}\right|=0

- u\vec{u} et w\vec{w} sont non colinéaires car:

11210\left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\2 & 1\end{array}\right| \neq 0

Propriété

Soient u1(x1,y1,z1),u2(x2,y2,z2) \vec{u}_1 \left(x_1, y_1, z_1\right), \vec{u}_2\left(x_2, y_2, z_2\right)~ et  u3(x3,y3,z3) ~\vec{u}_3\left(x_3, y_3, z_3\right)~ des vecteurs de l'espace.

Les vecteurs  u1 , u2 ~\vec{u}_1 ~, ~\vec{u}_2~ et  u3 ~\vec{u}_3~ sont coplanaires si et seulement si  det(u1,u2,u3)=0~\operatorname{det}\left(\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\right)=0

Vidéo Repère et base
15 min
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Représentation paramétrique d'une droite

Théorème

Soient A(a,b,c)\mathrm{A}(a , b , c) un point et u(α,β,γ)\vec{u}(\alpha, \beta, \gamma) un vecteur non nul. L'ensemble des points M(x,y,z)M(x, y, z) qui vérifient :

{x=a+αty=b+βtz=c+γt;tR\left\{\begin{array}{l}x=a+\alpha t \\y=b+\beta t \\z=c+\gamma t\end{array} ; t \in \mathbb{R}\right.

est la droite passant par A\mathrm{A} et de vecteur directeur u\vec{u}.

Définition

Le système {x=a+aty=b+βtz=c+γt(tR)\left\{\begin{array}{l}x=a+a t \\ y=b+\beta t \\ z=c+\gamma t\end{array}(t \in \mathbb{R})\right.

est appelé représentation paramétrique de la droite passant par le point A(a,b,c)\mathrm{A}(a , b , c) et de vecteur directeur u(α,β,γ)\vec{u}(\alpha, \beta, \gamma).

Positions relatives de deux droites

Soit (D)(D) et (D)(D') deux droites définies par leurs représentations paramétriques :

(D): {x=a+αty=b+βtz=c+γt(tR) (D): {x=a+αsy=b+βsz=c+γs(sR)(D) : ~\left\{\begin{array}{l}x=a+\alpha t \\ y=b+\beta t \\ z=c+\gamma t\end{array} \quad(t \in \mathbb{R})\right.\quad  (D') : ~\left\{\begin{array}{l}x=a^{\prime}+\alpha^{\prime} s \\ y=b^{\prime}+\beta^{\prime} s \\ z=c^{\prime}+\gamma^{\prime} s\end{array} \quad(s \in \mathbb{R})\right.

Pour étudier la position relative des deux droites (D)(D) et (D)(D'), on suit les étapes suivantes :

Tout d'abord on commence par vérifier si l'un des déterminants est non nul.

  • 1er cas : Si oui

alors (D)(D) et (D)(D') ne sont pas parallèles.

Donc nous allons résoudre le système suivant : S {a+αt=a+αsb+βt=b+βsc+γt=c+γs\mathscr{S}~\left\{\begin{array}{l}a+\alpha t=a^{\prime}+\alpha^{\prime} s \\b+\beta t=b^{\prime}+\beta^{\prime} s \\c+\gamma t=c^{\prime}+\gamma^{\prime} s\end{array}\right.

- Si le système S\mathscr{S} a une solution alors (D)(D) et (D)(D') se coupent ,

-  Sinon (D)(D) et (D)(D') sont coplanaires.

  • 2ème cas : Si non

alors (D)(D) et (D)(D') sont parallèles ;

- Et si A(a,b,c)(D)A(a, b, c) \in\left(D^{\prime}\right) alors  (D)=(D)~(D)=(D')

- Sinon (D)(D) et (D)(D') sont strictement parallèles.

Exemple

Soient  A(4,3,5) ~A(4,-3,5)~ et  u(3,2,1)~\vec{u}(3,-2,1)

Le système {x=4+3ty=32tz=5+t(tR)\left\{\begin{array}{l}x=4+3 t \\ y=-3-2 t \\ z=5+t\end{array} \quad(t \in \mathbb{R})\right.

est une représentation paramétrique de la droite D(A,u)D(A, \vec{u}).

On remplace tt par le nombre 22 et on obtient le point B(10,7,7)B(10,-7,7) de la droite (D)).

Représentation paramétrique d'un plan

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