Définition
Soit un point de l'espace et des vecteurs non coplanaires.
- Le quadruplet est appelé repère dans l'espace.
- Le triplet est appelé base des vecteurs de l'espace.
Théorème
Soit un repère dans l'espace.
Pour tout point de l'espace, il existe un triplet unique de nombres réels tel que
.
Définition
Le triplet est appelé triplet des coordonnées du point dans le repère et on note
On dit que dans le repère : est l'abscisse de ; est l'ordonnée de et est la cote de .
- est le triplet des coordonnées du vecteur dans la base , on note , et on écrit .
Propriété
Dire que les vecteurs et sont égaux équivaut à dire que : et
Soit et deux vecteurs :
- pour tout nombre réel , le vecteur a pour coordonnées
- Le vecteur a pour coordonnées :
Soit et deux points.
- Le vecteur a pour coordonnées :
Le milieu de a pour coordonnées :
Propriété
- Dire que les vecteurs et , non nuls sont colinéaires équivaut a dire que les déterminants extraits :
et sont tous nuls
Autrement dit : et sont non colinéaires si et seulement si l'un au moins des trois déterminants
et est non nul
Définition
Soient et et des vecteurs de l'espace.
Le déterminant du triplet est le nombre réel:
II est noté
Exemple
On considère les vecteurs ,
- et sont colinéaires car :
- et sont non colinéaires car:
Propriété
Soient et des vecteurs de l'espace.
Les vecteurs et sont coplanaires si et seulement si
Théorème
Soient un point et un vecteur non nul. L'ensemble des points qui vérifient :
est la droite passant par et de vecteur directeur .
Définition
Le système
est appelé représentation paramétrique de la droite passant par le point et de vecteur directeur .
Soit et deux droites définies par leurs représentations paramétriques :
Pour étudier la position relative des deux droites et , on suit les étapes suivantes :
Tout d'abord on commence par vérifier si l'un des déterminants est non nul.
alors et ne sont pas parallèles.
Donc nous allons résoudre le système suivant :
- Si le système a une solution alors et se coupent ,
- Sinon et sont coplanaires.
alors et sont parallèles ;
- Et si alors
- Sinon et sont strictement parallèles.
Exemple
Soient et
Le système
est une représentation paramétrique de la droite .
On remplace par le nombre et on obtient le point de la droite (D.
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