Notion de fonction numérique : Définitions et propriétés
Notion de fonction et Domaine de Définition
تعريف
La fonction f est un procédé qui à chaque nombre x appartenant à l’ensemble Df associe un nombre f(x)∈F.
On note :
f:Dfx→F→f(x)
On dit que f(x) est l'image de x par la fonction f.
On dit que x est l'antécédent de f(x) par la fonction f.
تعريف
Le domaine de définition d’une fonction f est l’ensemble de nombres réels qui possèdent une image calculable par cette fonction. On note Df l’ensemble de définition de la fonction f.
تطبيق
1-f:Dfx↦F↦x2+x+1
est une fonction dite polynomiale avec Df=R 2- g(x)=x−12x est une fonction sous forme d'une fraction avec Dg=R\{1} En effet, g est bien défini si et seulement si le dominateur est non nul . Donc Dg={x∈R/x−1=0}={x∈R/x=1} d'où le résultat . 3- h(x)=2x+11 est une fonction irrationnelle avec Dh=]2−1,+∞]
En effet, h est bien défini si et seulement 2x+1=0 et 2x+1≥0 Donc
La représentation graphique ou courbe d'une fonction est l'ensemble, noté (Cf), des points M(x,f(x)) tel que x∈Df.
On écrit (Cf)={M(x,f(x))/x∈Df}.
تطبيق
1- La représentation graphique de la fonction f(x)=2x est une droite passant par l’origine. 2- La représentation graphique de la fonction g(x)=2x2 est une parabole
3- La représentation graphique de h(x)=x2+12x−1
VidéoReprésentation graphique d'une fonction 15 min
Soit f une fonction numérique de domaine définition Df, soit m et M deux réels. Alors,
∙f est majorée par M⇔∀x∈Df,f(x)≤M
∙f est minorée par m⇔∀x∈Df,f(x)≥m
∙fest borneˊe⇔fest majoreˊe et minoreˊe⇔∀x∈Df,m≤f(x)≤M
ما يجب معرفته
Parfois le nombre m ou M n’est pas donné explicitement, c’est aux étudiants de le déterminer, dans ce cas la définition est :
∙f est majorée ⇔∃M∈R,∀x∈Df,f(x)≤M
∙f est minorée ⇔∃m∈R,∀x∈Df,f(x)≥m
∙fest borneˊe⇔fest majoreˊe et minoreˊe⇔∃(m,M)∈R×R,∀x∈Df,m≤f(x)≤M
تطبيق
1- f(x)=x2 est minorée par 0 car ∀x∈R,x2≥0 2- Soit g la fonction définie sur [1,+∞[ par g(x)=x1 Alors, g est majorée par 1 puisque ∀x∈[1,+∞[,x≥1⇒x1≤1 3- Les deux fonctions: h1(x)=sin(x) et h2(x)=cos(x) sont bornées car :
∀x∈R,−1≤sin(x)≤1 et −1≤cos(x)≤1
Interprétation géométrique :
1- Le graphe d’une fonction majorée par M situé au-dessous de la droite y=MLa fonction ici c'est f(x)=−x2 est majorée par 1 car −x2≤0≤1 2- Le graphe d’une fonction minorée par m situé au-dessus de la droite y=mLa fonction ici c'est f(x)=x2 est minorée par −1 car x2≥0≥−1 3- Le graphe d’une fonction bornée situé entre deux droites y=M et y=mLa fonction ici c'est f(x)=sin(x)
Soit f une fonction numérique de domaine définition Df, soit α∈Df
On dit que la fonction f admet un maximum absolu en α ou le nombre f(α) est un maximum absolu si et seulement si
∀x∈Df,f(x)≤f(α)
On écrit, maxx∈Dff(x)=f(α)
On dit que la fonction f admet un minimum absolu en α ou le nombre f(α) est un minimum absolu si et seulement si
∀x∈Df,f(x)≥f(α)
On écrit, minx∈Dff(x)=f(α)
Résultats :
Si f admet un maximum absolu en α alors f(α) est un majorant de f sur Df
Si f admet un minimum absolu en α alors f(α) est un minorant de f sur Df
Extremums relatifs
تعريف
Soit f une fonction numérique de domaine définition Df
On dit que la fonction f admet un maximum relatif en α s'il existe un intervalle ouvert I⊂Df contenant α tel que :
∀x∈I,f(x)≤f(α)
On dit que la fonction f admet un minimum relatif en α s'il existe un intervalle ouvert I⊂Df contenant α tel que :
∀x∈I,f(x)≥f(α)
Résultats
Un extrême absolu est relatif mais le contraire ce n’est pas toujours correct.
حيلة
M est un maximum de la fonction f⇔ (f est majorée par M et l'équation f(x)=M admet une solution)
m est un minimum de la fonction f⇔ (f est minorée par m et l'équation f(x)=m admet une solution)
تطبيق
Soit f la fonction définie par f(x)=x2+3x+32x2+7x+7
Déterminer Df
Montrer que f est majorée par 37 et minorée par1
En déduire que 31 est un maximum et 1 est un minimum
حيلة
Pour montrer que la fonction f est majorée par M ou minorée par m on effectue la différence entre le nombre et la fonction puis on vérifie le signe du résultat obtenu
Corrigé de l’exercice
1- La fonction est une fraction alors, Df={x∈R/x2+3x+3=0} Puisque Δ=32−4×3=−3<0 donc x2+3x+3>0 (signe de coefficient de x2 ) D'où Df=R 2- L’astuce de cette question c’est d’effectuer à chaque fois la différence entre le nombre et la fonction puis on vérifie le signe du résultat obtenu.
f(x)−1=x2+3x+32x2+7x+7−1=x2+3x+3x2+4x+4=x2+3x+3(x+2)2≥0 car (x+2)2≥0 et x2+3x+3>0 donc ∀x∈R,f(x)≥1 d'où le résultat
37−f(x)=37−x2+3x+32x2+7x+7=3(x2+3x+3)x2≥0 car x2≥0 et x2+3x+3>0 donc ∀x∈R,f(x)≤37 d'où le résultat.
3. 1 est minimum car l'équation f(x)=x2+3x+32x2+7x+7=1 admet une solution dans R. En effet,
x2+3x+32x2+7x+7=1⇔2x2+7x+7=x2+3x+3⇔x2+4x+4=(x+2)2=0⇔x=−2 Donc ∀x∈R,f(x)≥f(−2)37 est un maximum puisque f(0)=37 donc ∀x∈Rf(x)≤f(0)
Soit f une fonction numérique de domaine de définition Df et I⊂Df un intervalle.
f est une fonction croissante sur l'intervalle I cela revient à écrire:
∀(x,y)∈I2,x≤y⇒f(x)≤f(y)
f est une fonction strictement croissante sur l'intervalle I cela revient à écrire:
∀(x,y)∈I2,x<y⇒f(x)<f(y)
ما يجب معرفته
La fonction croissante garde le même ordre des éléments.
Interprétation géométrique :
تطبيق
f(x)=2x, fonction strictement croissante sur R
f(x)=2x4, fonction strictement croissante sur R+
f(x)=x, fonction strictement croissante sur R+
تعريف
Soit f une fonction numérique de domaine de définition Df et I⊂Df un intervalle.
f est une fonction décroissante sur l'intervalle I cela revient à écrire:
∀(x,y)∈I2,x≤y⇒f(x)≥f(y)
f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle I cela revient à écrire :
∀(x,y)∈I2,x<y⇒f(x)>f(y)
ما يجب معرفته
La fonction décroissante ne garde pas le même ordre des éléments
Interprétation géométrique :
تطبيق
f(x)=−x, fonction strictement décroissante sur R
f(x)=x1, fonction strictement décroissante sur R∗+
تعريف
Soit f une fonction numérique de domaine définition Df et I⊂Df un intervalle.
On dit que f est monotone sur l'intervalle I si elle est croissante ou décroissante sur I.
On dit que f est strictement monotone sur l'intervalle I si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.
ما يجب معرفته
Une fonction qui s'écrit sous forme f(x)=a avec a∈R est dite constante.
Le taux de variation
تعريف
Soit f une fonction numérique de domaine définition Df,I⊂Df un intervalle et (a,b)∈I2 tel que a=b. Alors, le nombre T(a,b)=a−bf(a)−f(b) s'appelle le taux d'accroissement ou de variation de la fonction f entre a et b.
نظرية
Soit f une fonction numérique de domaine définition Df,I⊂Df un intervalle.
f est croissante sur I⇔∀(a,b)∈I2/a=b,T(a,b)≥0
f est décroissante sur I⇔∀(α,b)∈I2/a=b,T(a,b)≤0
تطبيق
1- Soit f la fonction définie par : ∀x∈R∗,f(x)=x1
On considère l'intervalle :I=R∗+ alors f est décroissante sur I En effet, soit (a,b)∈I2 avec a=b,
T(a,b)=abf(a)−f(b)=a−ba1−b1=−ab1≤0 2- Soit g la fonction définie par ∀x∈R+,g(x)=x On considère l'intervalle :J=R+ alors la fonction est croissante sur J En effet, (a,b)∈J2,a=b,
T(a,b)=a−bg(a)−g(b)=a−ba−b=(a−b)(a+b)(a−b)(a+b)=a+b1≥0 3- Soit g la fonction définie par h(x)=4x2+1 On considère l'intervalle :K=R+ alors la fonction g est croissante sur K En effet, (a,b)∈K2,a=bT(a,b)=a−bh(a)−h(b)=a−b4a2+1−4b2−1=(a−b)4(a−b)(a+b)=4(a+b)≥0
La variation et la parité
خاصية
Soit f une fonction numérique paire de domaine définition Df. soit I⊂Df∩R+ un intervalle et I′ son symétrique par rapport l'origine.
Si f est croissante sur I alors elle est décroissante sur I′.
Si f est décroissante sur I alors elle est croissante sur I′.
Soit f une fonction numérique impaire de domaine définition Df. soit I⊂Df∩R+ un intervalle et I′ son symétrique par rapport l'origine.
Si f est croissante sur I alors elle est croissante sur I′.
Si f est décroissante sur I alors elle est décroissante sur I′.
ما يجب معرفته
Un intervalle I′ est symétrique par rapport à l'origine de I revient à tracer le schéma suivant: Par exemple, si I=[a,b] alors I′=[−b,−a]
برهان
Nous allons montrer la proposition dans le cas où la fonction f est pair, l'autre cas se fait par le même raisonnement. En effet, on suppose que f une fonction numérique paire de domaine de définition Df.
soit I⊂Df∩R+ un intervalle et I′ son symétrique par rapport l'origine.
Soit (a′,b′)∈I′×I′ alors
∃(a,b)∈I×I tels que :a′=−a et b′=−bTf′=a′−b′f(a′)−f(b′)=b−af(−a)−f(−b)=−a−bf(a)−f(b)=−Tf
Donc si f est croissante sur I alors Tf≥0 donc
Tf′≤0⇒f est décroissante sur I′ et vice versa.
Composée de deux fonctions
تعريف
Soit f la fonction définie sur l'intervalle I et g la fonction définie sur l'intervalle J tel que : f(I)⊂J, autrement dit (∀x∈I,f(x)∈J) La composée de f et g est la fonction notée: g∘f définie sur I par:
∀x∈I,g∘f(x)=g(f(x))
Le schéma suivant illustre bien les trois fonctions f,g et g∘f :
ما يجب معرفته
Le domaine de définition d’une fonction composée est :
Dg∘f={x∈R/x∈Df et f(x)∈Dg}
خاصية
Soient f et g deux fonctions dont les ensembles des définitions respectifs Df et Dg
soient I un intervalle de Df et J un intervalle de Dg tels que f(I)=J
Si f est croissante sur I et g est croissante sur J=f(I) alors g∘f est croissante sur I.
Si f est décroissante sur I et g est décroissante sur J=f(I) alors g∘f est croissante sur I.
Si f est croissante sur I et g est décroissante sur J=f(I) alors g∘f est décroissante sur I.
Si f est décroissante sur I et g est croissante sur J=f(I) alors g∘f est décroissante sur I.
تطبيق
Soit les fonctions g(x)=x2+5x−1 et f(x)=3x+2
Déterminer Df,Dg et Df∘g et Dg∘f
Calculer f∘g et g∘f
Soit h(x)=x2+1 , alors déterminer la monotonie de h sur R+
Corrigé
1- Les fonctions f et g sont polynomiales alors Df=R et Dg=R En plus, f(R)=R et g(R)=R donc on a le droit de parler de f∘g et g∘f D'après la remarque ci-dessus, Df∘g=R=Dg∘f 2- Soit x∈R, alors
Nous déterminons la monotonie d’une fonction non usuelle en cherchant à l’écrire comme une composée de deux fonctions dont la monotonie est connue.
3- L'astuce c'est de remarquer que la fonction h est une composée de deux fonctions usuelles : ∀x∈R+,h1(x)=x et ∀x∈R,h2(x)=x2+1 Puisque x2+1≥0 pour tout x∈R donc h2(R)⊂R+ Donc, on a le droit de définir la fonction: h(x)=h1∘h2(x),∀x∈R Or, h2 est croissante sur R+, en effet ∀(x,y)∈R+,
x≤y⇒x2≤y2⇒x2+1≤y2+1⇒h1(x)≤h2(y)
et h2(R+)=[1,+∞[ en effet : soit x∈R+⇒x2+1≥1⇒h2(x)∈[1,+∞[ Inversement, soit x∈[1,+∞[ on pose y=x−1