Notion de fonction numérique : Définitions et propriétés

Notion de fonction et Domaine de Définition

تعريف

La fonction ff est un procédé qui à chaque nombre xx appartenant à l’ensemble Df D_{f} associe un nombre f(x)F. f(x) \in F. 

On note :

f: DfFxf(x)\begin{aligned} f :~ D_{f} &\rightarrow F\\ x &\rightarrow f(x)\end{aligned}

On dit que  f(x)~ f(x)  est l'image de xx par la fonction ff.

On dit que xx est l'antécédent de f(x)f(x) par la fonction ff.

تعريف

Le domaine de définition d’une fonction ff est l’ensemble de nombres réels qui possèdent une image calculable par cette fonction. On note Df D_{f} l’ensemble de définition de la fonction ff.

تطبيق

1- f:DfFxx2+x+1\begin{aligned} \text{1-} ~f: D_{f} &\mapsto F\\x &\mapsto x^{2}+x+1 \end{aligned}\\

est une fonction dite polynomiale avec  Df=R~D_{f}=\mathbb{R}\\[0.3cm] 2- g(x)=2xx1g(x)=\frac{2 x}{x-1}\quad est une fonction sous forme d'une fraction \\ avec Dg=R\{1}D_{g}=\mathbb{R} \backslash\{1\}\\[0.2cm] En effet, gg est bien défini si et seulement si le dominateur est non nul . \\ Donc Dg={xR / x10}={xR / x1} D_{g}=\{x \in \mathbb{R}~ / ~x-1 \neq 0\}=\{x \in \mathbb{R} ~ / ~x \neq 1\}  d'où le résultat . \\[0.3cm] 3- h(x)=12x+1h(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x+1}} \quad est une fonction irrationnelle avec Dh=]12,+]D_{h}= ]\frac{-1}{2},+\infty] \\

En effet, h h  est bien défini si et seulement 2x+10  \sqrt{2 x+1} \neq 0~ et  2x+10 ~2 x+1 \geq 0\\[0.2cm] Donc

Dh={xR/2x+10}  et  2x+10=xR / 2x+10  et  2x+10=xR  /  2x+1>0=]12,+[\begin{aligned}D_{h} &=\{x \in \mathbb{R} / \sqrt{2 x+1} \neq 0 \}~~\text{et}~~2 x+1 \geq 0 \\[0.2cm]& ={x \in \mathbb{R}~/ ~2 x+1 \neq 0 ~~\text{et} ~~2 x+1 \geq 0} \\[0.2cm]& \left.={x \in \mathbb{R}~~ / ~~2 x+1>0}\\= ]\frac{-1}{2},+\infty\right.[\end{aligned}

ما يجب معرفته

  • Pour toutes les fonctions polynomiales Df=R D_{f}=\mathbb{R}\\[0.2cm]
  • Pour les fonctions de type Q(x)P(x):Df={xR/P(x)0}\frac{Q(x)}{P(x)} : \quad D_{f}=\{x \in \mathbb{R} / P(x) \neq 0\}\\[0.2cm]
  • Pour les fonctions de type P(x):Df={xR/P(x)0} \sqrt{P(x)} : \quad D_{f}=\{x \in \mathbb{R} / P(x) \geq 0\}

Vidéo Fonction et domaine de définition
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Représentation graphique d’une fonction

La représentation graphique ou courbe d'une fonction est l'ensemble, noté (Cf),\left(C_{f}\right),  des points M(x,f(x)) M(x, f(x))~ tel que xDf.x\in D_{f} .

On écrit (Cf)={M(x,f(x)) / xDf}\quad \left(C_f\right)=\left\{M(x, f(x)) ~/ ~x \in D_{f}\right\}.

تطبيق

1- La représentation graphique de la fonction f(x)=2x f(x)=2 x est une droite passant par l’origine. \\[0.2cm] 2- La représentation graphique de la fonction g(x)=x22 g(x)=\frac{x^{2}}{2} est une parabole

3- La représentation graphique de  h(x)=2x1x2+1 ~h(x)=\frac{2 x-1}{\sqrt{x^{2}+1}}

Vidéo Représentation graphique d'une fonction
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La parité

Fonction paire

تعريف

Une fonction ff de domaine de définition DfD_{f} est paire si et seulement si \\ pour tout xDf x \in D_{f} :

  • xDf-x \in D_{f}
  • f(x)=f(x)f(-x)=f(x)

خاصية

Une fonction ff est paire si et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

تطبيق

f(x)=x2 f(x)=x^{2} : \\ En utilisant la définition ,  Df=R~D_{f}=\mathbb{R} car f f est polynomiale. \\ Soit xR x \in \mathbb{R} alors évidement xR-x \in \mathbb{R} \\ Alors , f(x)=(x)2=x2=f(x) ~f(x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)

d'où la fonction est paire .\\

Graphiquement, la fonction est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées comme l’illustre la figure ci-dessous :\\

La fonction impaire

تعريف

Une fonction ff  de domaine de définition DfD_{f} est impaire si et seulement si \\ pour tout xDf x \in D_{f} :

  • xDf -x \in D_{f}
  • f(x)=f(x) f(-x)=-f(x)

خاصية

  Une fonction ff est paire si et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

تطبيق

f(x)=x3: f(x)=x^{3} : \\ En utilisant la définition, Df=RD_{f}=\mathbb{R}  car f f est polynomiale. \\ Soit xR  x \in \mathbb{R}~ alors évidement xR-x \in \mathbb{R} \\

Alors,  f(x)=(x)3=x3=f(x)~ f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x) d'où la fonction est impaire. \\

Graphiquement, la fonction est symétrique par rapport à l’origine du repère comme l’illustre la figure ci-dessous : \\

انتباه

Il faut toujours vérifier la première condition qui consiste à assurer l’appartenance de x-x au domaine d’étude. Par exemple, f(x)=x3 f(x)=x^{3} est impaire sur R\mathbb{R} mais elle n’a pas de parité sur [0,+[ [0,+\infty[ .

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La fonction majorée, minorée, bornée

تعريف

Soit ff une fonction numérique de domaine définition DfD_{f}, soit mm  et MM deux réels. Alors,

\bullet ff est majorée par  MxDf, f(x)M ~M \Leftrightarrow \forall x \in D_{f} ,~ f(x) \leq M \\[0.2cm]

\bullet ff est minorée par  mxDf, f(x)m ~m \Leftrightarrow \forall x \in D_{f} , ~f(x) \geq m \\[0.2cm]

 f est borneˊe  f est majoreˊe et minoreˊe xDf, mf(x)M\begin{aligned} \bullet~ f ~\text{est bornée} ~&\Leftrightarrow ~f~ \text{est majorée et minorée}\\ ~&\Leftrightarrow \forall x \in D_{f}, ~m \leq f(x) \leq M \end{aligned}

ما يجب معرفته

Parfois le nombre mm ou MM n’est pas donné explicitement, c’est aux étudiants de le déterminer, dans ce cas la définition est :

\bullet ff est majorée  MR, xDf, f(x)M\Leftrightarrow \exists ~M \in \mathbb{R}, ~\forall x \in D_{f}, ~f(x) \leq M \\[0.2cm]

\bullet f f est minorée  mR, xDf, f(x)m\Leftrightarrow \exists ~m \in \mathbb{R}, ~\forall x \in D_{f}, ~f(x) \geq m \\[0.2cm]

 f est borneˊe  f est majoreˊe et minoreˊe (m,M)R×R, xDf, mf(x)M\begin{aligned} \bullet ~ f ~\text{est bornée}~  &\Leftrightarrow f ~\text{est majorée et minorée} \\ &\Leftrightarrow \exists ~(m, M) \in {\mathbb{R}} \times {\mathbb{R}} , ~\forall {x} \in {D}_{f},~m \leq f(x) \leq M \end{aligned}

تطبيق

1- f(x)=x2f(x)=x^{2} est minorée par 00 car  xR, x20~\forall x \in \mathbb{R} , ~x^{2} \geq 0 \\[0.3cm] 2- Soit g g la fonction définie sur [1,+[ [1,+\infty[~ par  g(x)=1x~g(x)=\frac{1}{x} \\[0.2cm]  Alors, gg est majorée par 1 1  puisque x[1,+[, x11x1\forall x \in\left[1,+\infty\left[, ~x \geq 1 \Rightarrow \frac{1}{x} \leq 1\right.\right. \\[0.3cm] 3- Les deux fonctions: h1(x)=sin(x)h_{1}(x)=\sin (x) et h2(x)=cos(x){h}_{2}(x)=\cos (x) sont bornées car :

xR, 1sin(x)1 \forall x \in \mathbb{R} ,~-1 \leq \sin (x) \leq 1 \quad  et 1cos(x)1\quad-1 \leq \cos (x) \leq 1

Interprétation géométrique :

1- Le graphe d’une fonction majorée par MM situé au-dessous de la droite y=My=M \\La fonction ici c'est f(x)=x2 f(x)=-x^{2} est majorée par 11 car x201-x^{2} \leq 0 \leq 1 \\[0.3cm] 2- Le graphe d’une fonction minorée par mm situé au-dessus de la droite y=my=m \\La fonction ici c'est f(x)=x2 f(x)=x^{2} est minorée par 1-1  car x201x^{2} \geq 0 \geq-1 \\[0.3cm] 3- Le graphe d’une fonction bornée situé entre deux droites y=M y=M et y=my=m \\La fonction ici c'est f(x)=sin(x) f(x)=\sin (x)

Vidéo Fonction majorée, minoré et bornée
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Les extremums d’une fonction

Extremums absolus

تعريف

Soit f f une fonction numérique de domaine définition Df D_{f},  soit αDf \alpha \in D_{f}

  • On dit que la fonction f f admet un maximum absolu en α \alpha ou le nombre f(α)f(\alpha)  est un maximum absolu si et seulement si

xDf,f(x)f(α)\forall x \in D_{f}, \quad f(x) \leq f(\alpha)\\

On écrit, maxxDff(x)=f(α) \quad\max _{x \in D_{f}} f(x)=f(\alpha)\\[0.2cm]

  • On dit que la fonction ff admet un minimum absolu en α\alpha ou le nombre f(α)f(\alpha) est un minimum absolu si et seulement si

xDf,f(x)f(α)\forall x \in D_{f}, \quad f(x) \geq f(\alpha)\\

On écrit, minxDff(x)=f(α)\quad \min _{x \in D_{f}} f(x)=f(\alpha)

Résultats :
  • Si ff admet un maximum absolu en α\alpha  alors f(α)f(\alpha) est un majorant de ff sur  DfD_{f}\\[0.2cm]
  • Si ff admet un minimum absolu en α\alpha alors f(α)f(\alpha) est un minorant de ff sur  DfD_{f}

Extremums relatifs

تعريف

Soit ff une fonction numérique de domaine définition DfD_{f}

  • On dit que la fonction ff admet un maximum relatif en α\alpha s'il existe un intervalle ouvert IDfI \subset D_{f} contenant α\alpha tel que :

xI,  f(x)f(α)\forall x \in I,~~ f(x) \leq f(\alpha) \\[0.2cm]

  • On dit que la fonction ff admet un minimum relatif en α\alpha s'il existe un intervalle ouvert IDfI \subset D_{f} contenant α\alpha tel que :

xI,  f(x)f(α)\forall x \in I, ~~f(x) \geq f(\alpha)

Résultats

Un extrême absolu est relatif mais le contraire ce n’est pas toujours correct.

حيلة

  • MM est un maximum de la fonction ff \Leftrightarrow (ff est majorée par MM et l'équation f(x)=Mf(x) = M  admet une solution) \\[0.2cm]
  • mm est un minimum de la fonction ff \Leftrightarrow (ff est minorée par mm et l'équation f(x)=mf(x) = m admet une solution)

تطبيق

Soit ff la fonction définie par f(x)=2x2+7x+7x2+3x+3 f(x)=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}

  1. Déterminer Df D_{f}
  2. Montrer que ff est majorée par 73 \frac{7}{3} et minorée par11
  3. En déduire que 13\frac{1}{3} est un maximum et 1 1 est un minimum

حيلة

Pour montrer que la fonction ff est majorée par MM ou minorée par mm on effectue la différence entre le nombre et la fonction puis on vérifie le signe du résultat obtenu

Corrigé de l’exercice

1- La fonction est une fraction alors, Df={xR/x2+3x+30}D_{f}=\left\{x \in \mathbb{R} / x^{2}+3 x+3 \neq 0\right\}\\[0.2cm] Puisque  Δ=324×3=3<0 ~\Delta=3^{2}-4 \times 3=-3<0~ donc  x2+3x+3>0 ~x^{2}+3 x+3>0~ (signe de coefficient de x2x^{2} ) \\[0.2cm] D'où Df=RD_{f}=\mathbb{R}\\[0.3cm] 2- L’astuce de cette question c’est d’effectuer à chaque fois la différence entre le nombre et la fonction puis on vérifie le signe du résultat obtenu.

  • f(x)1=2x2+7x+7x2+3x+31=x2+4x+4x2+3x+3=(x+2)2x2+3x+30f(x)-1=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}-1=\frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}+3 x+3}=\frac{(x+2)^{2}}{x^{2}+3 x+3} \geq 0\\[0.2cm] car (x+2)20 (x+2)^{2} \geq 0~  et   x2+3x+3>0~x^{2}+3 x+3>0\\[0.2cm] donc xR,  f(x)1  \quad \forall x \in \mathbb{R}, ~~f(x) \geq 1~~  d'où le résultat \\[0.2cm]
  • 73f(x)=732x2+7x+7x2+3x+3=x23(x2+3x+3)0\frac{7}{3}-f(x)=\frac{7}{3}-\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}=\frac{x^{2}}{3\left(x^{2}+3 x+3\right)} \geq 0\\[0.2cm] car x20x^{2} \geq 0  et x2+3x+3>0 x^{2}+3 x+3>0\\[0.2cm]  donc xR,  f(x)73  \quad \forall x \in \mathbb{R}, ~~f(x) \leq \frac{7}{3} ~~ d'où le résultat.\\[0.3cm]

3. 11 est minimum car l'équation f(x)=2x2+7x+7x2+3x+3=1 f(x)=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}=1~ admet une solution dans R.\mathbb{R}.\\[0.2cm] En effet, \\

2x2+7x+7x2+3x+3=12x2+7x+7=x2+3x+3x2+4x+4=(x+2)2=0x=2\begin{aligned} \frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}=1 & \Leftrightarrow 2 x^{2}+7 x+7=x^{2}+3 x+3 \\ & \Leftrightarrow x^{2}+4 x+4=(x+2)^{2}=0\\ &\Leftrightarrow x=-2 \end{aligned} \\[0.2cm] Donc xR,  f(x)f(2)\quad \forall x \in \mathbb{R}, ~~f(x) \geq f(-2) 73\\[0.2cm]\frac{7}{3} est un maximum puisque f(0)=73 f(0)=\frac{7}{3}~ donc  xRf(x)f(0)~\forall x \in \mathbb{R} \quad f(x) \leq f(0) 

Vidéo Les extrémums d'une fonction
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Les variations d’une fonction

تعريف

Soit f f une fonction numérique de domaine de définition Df D_{f}  et IDfI \subset D_{f}  un intervalle.

  • ff est une fonction croissante sur l'intervalle II  cela revient à écrire:

(x,y)I2,xyf(x)f(y)\forall(x, y) \in I^{2}, \quad x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)

  • ff est une fonction strictement croissante sur l'intervalle I I  cela revient à écrire:

(x,y)I2,x<yf(x)<f(y)\forall(x, y) \in I^{2}, \quad x<y \Rightarrow f(x)<f(y)

ما يجب معرفته

La fonction croissante garde le même ordre des éléments.

Interprétation géométrique :

 

تطبيق

  1. f(x)=2x, f(x)=2 x,\quad fonction strictement croissante sur R\mathbb{R}
  2. f(x)=x42, f(x)=\frac{x^{4}}{2},\quad fonction strictement croissante sur R+\mathbb{R}^{+}
  3. f(x)=x,f(x)=\sqrt{x},\quad fonction strictement croissante sur R+\mathbb{R}^{+}

تعريف

Soit f f une fonction numérique de domaine de définition Df D_{f}  et IDf I \subset D_{f}  un intervalle.

  • f f  est une fonction décroissante sur l'intervalle II  cela revient à écrire: 

(x,y)I2,xyf(x)f(y)\forall(x, y) \in I^{2}, \quad x \leq y \Rightarrow f(x) \geq f(y)

  • f f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle II cela revient à écrire :

(x,y)I2,x<yf(x)>f(y)\forall(x, y) \in I^{2}, \quad x<y \Rightarrow f(x)>f(y)

ما يجب معرفته

La fonction décroissante ne garde pas le même ordre des éléments

Interprétation géométrique :

تطبيق

  1. f(x)=x,  f(x)=-x,~  fonction strictement décroissante sur R\mathbb{R}
  2. f(x)=1x,  f(x)=\frac{1}{x},~ fonction strictement décroissante sur R+\mathbb{R}^{*+}

تعريف

Soit ff une fonction numérique de domaine définition DfD_{f} et IDfI \subset D_{f} un intervalle.

  • On dit que ff  est monotone sur l'intervalle I I  si elle est croissante ou décroissante sur II .
  • On dit que ff  est strictement monotone sur l'intervalle II si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.I. 

ما يجب معرفته

Une fonction qui s'écrit sous forme f(x)=af(x)=a  avec aRa \in \mathbb{R}  est dite constante.

Le taux de variation

تعريف

Soit ff une fonction numérique de domaine définition Df, IDfD_{f}, ~I \subset D_{f} un intervalle et (a,b)I2(a, b) \in I^{2} tel que ab.a \neq b .\\[0.2cm] Alors, le nombre T(a,b)=f(a)f(b)abT_{(a, b)}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b} s'appelle le taux d'accroissement ou de variation de la fonction ff entre aa et bb.

نظرية

Soit ff une fonction numérique de domaine définition Df, IDfD_{f},~ I \subset D_{f} un intervalle.

  • ff  est croissante sur  I  (a,b)I2 / ab,T(a,b)0I~ \Leftrightarrow~\forall(a, b) \in I^{2} ~/ ~a \neq b, \quad T_{(a, b)} \geq 0 \\[0.2cm]
  • ff  est décroissante sur I  (α,b)I2 / ab,T(a,b)0I ~ \Leftrightarrow ~ \forall(\alpha, b) \in I^{2} ~/ ~a \neq b,\quad T_{(a, b)} \leq 0

تطبيق

1- Soit ff la fonction définie par : xR,  f(x)=1x\quad \forall x \in \mathbb{R}^{*}, ~~f(x)=\frac{1}{x}

On considère l'intervalle :I=R+: I=\mathbb{R}^{*+} alors ff est décroissante sur II\\[0.2cm] En effet, soit (a,b)I2 (a, b) \in I^{2}~ avec  ab,~a \neq b, \\

T(a,b)=f(a)f(b)ab=1a1bab=1ab0T_{(a, b)}=\frac{f(a)-f(b)}{a b}=\frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}{a-b}=-\frac{1}{a b} \leq 0\\[0.5cm] 2- Soit gg la fonction définie par xR+, g(x)=x\forall x \in \mathbb{R}^{+}, ~g(x)=\sqrt{x}\\ On considère l'intervalle :J=R+: J=\mathbb{R}^{+} alors la fonction est croissante sur JJ\\[0.2cm] En effet, (a,b)J2, ab(a, b) \in J^{2},~ a \neq b,

T(a,b)=g(a)g(b)ab=abab=(ab)(a+b)(ab)(a+b)=1a+b0T_{(a, b)}=\frac{g(a)-g(b)}{a-b}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \geq 0\\[0.5cm] 3- Soit gg la fonction définie par h(x)=4x2+1h(x)=4 x^{2}+1\\ On considère l'intervalle :K=R+ : K=\mathbb{R}^{+}~ alors la fonction gg est croissante sur KK\\ En effet, (a,b)K2, ab(a, b) \in K^{2} ,~a \neq b T(a,b)=h(a)h(b)ab=4a2+14b21ab=4(ab)(a+b)(ab)=4(a+b)0\\[0.2cm] \begin{aligned}T_{(a, b)}=\frac{h(a)-h(b)}{a-b} &=\frac{4 a^{2}+1-4 b^{2}-1}{a-b} \\&=\frac{4(a-b)(a+b)}{(a-b)}=4(a+b) \geq 0\end{aligned}

La variation et la parité

خاصية

Soit ff une fonction numérique paire de domaine définition Df.D_{f} .\\ soit IDfR+I \subset D_{f} \cap \mathbb{R}^{+} un intervalle et II^{\prime} son symétrique par rapport l'origine.

  • Si ff est croissante sur II alors elle est décroissante sur I.I^{\prime} .
  • Si ff est décroissante sur II alors elle est croissante sur I.I^{\prime} .\\[0.2cm]

Soit ff une fonction numérique impaire de domaine définition Df.D_{f}.\\ soit IDfR+I \subset D_{f} \cap \mathbb{R}^{+} un intervalle et II^{\prime} son symétrique par rapport l'origine.

  • Si ff est croissante sur II alors elle est croissante sur I.I^{\prime} .
  • Si ff est décroissante sur II alors elle est décroissante sur I.I^{\prime} .

ما يجب معرفته

Un intervalle I I^{\prime}  est symétrique par rapport à l'origine de  II revient à tracer le schéma suivant: Par exemple, si  I=[a,b] ~I=[a, b] ~ alors  I=[b,a]~I^{\prime}=[-b,-a]

برهان

Nous allons montrer la proposition dans le cas où la fonction ff est pair, l'autre cas se fait par le même raisonnement. \\[0.2cm] En effet, on suppose que ff une fonction numérique paire de domaine de définition Df.D_{f} .\\

soit II \subset DfR+D_{f} \cap \mathbb{R}^{+} un intervalle et II^{\prime} son symétrique par rapport l'origine.\\

Soit (a,b)I×I\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right) \in I^{\prime} \times I^{\prime} alors

(a,b)I×I \\\exists(a, b) \in I \times I ~ tels que :  a=a: ~~a^{\prime}=-a et b=bb^{\prime}=-b\\[0.2cm] Tf=f(a)f(b)ab=f(a)f(b)baT_{f}^{\prime}=\frac{f\left(a^{\prime}\right)-f\left(b^{\prime}\right)}{a^{\prime}-b^{\prime}}=\frac{f(-a)-f(-b)}{b-a} =f(a)f(b)ab=Tf\quad=-\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=-T_{f}\\[0.2cm]

Donc si ff est croissante sur II  alors Tf0T_{f} \geq 0 donc

Tf0f T_{f}^{\prime} \leq 0 \Rightarrow f~ est décroissante sur II^{\prime}  et vice versa.

Composée de deux fonctions

تعريف

Soit ff la fonction définie sur l'intervalle II et gg la fonction définie sur l'intervalle JJ\\ tel que : f(I)J,f(I) \subset J,  autrement dit (xI,  f(x)J)(\forall x \in I, ~~f(x) \in J)\\ La composée de ff et gg est la fonction notée: gfg \circ f définie sur II par:

xI,gf(x)=g(f(x))\forall x \in I, \quad g\circ f(x)=g(f(x))\\[0.2cm]

Le schéma suivant illustre bien les trois fonctions f,gf, g et gfg\circ f

ما يجب معرفته

Le domaine de définition d’une fonction composée est :

Dgf={xR/ xDf   et   f(x)Dg}\\[0.2cm]D_{g \circ f}=\left\{x \in \mathbb{R} / ~x \in D_{f} ~~\text { et }~~ f(x) \in D_{g}\right\}

خاصية

Soient ff et gg deux fonctions dont les ensembles des définitions respectifs DfD_{f} et DgD_{g}

soient II un intervalle de DfD_{f} et JJ un intervalle de DgD_{g} tels que f(I)=Jf(I)=J

  • Si ff est croissante sur II et gg est croissante sur J=f(I)J=f(I) alors gfg\circ f est croissante sur II. \\[0.2cm]
  • Si ff est décroissante sur II et gg est décroissante sur J=f(I)J=f(I) alors gfg\circ f est croissante sur II. \\[0.2cm]
  • Si ff est croissante sur II et gg est décroissante sur J=f(I)J=f(I) alors gfg\circ f est décroissante sur II. \\[0.2cm]
  • Si ff est décroissante sur II et gg est croissante sur J=f(I)J=f(I) alors gfg\circ f est décroissante sur II.

تطبيق

Soit les fonctions g(x)=x2+5x1 g(x)=x^{2}+5 x-1  et f(x)=3x+2f(x)=3 x+2

  1. Déterminer Df,Dg D_{f}, D_{g}  et  DfgD_{f\circ g }  et DgfD_{g\circ f }
  2. Calculer fgf\circ g  et  gfg\circ f
  3. Soit h(x)=x2+1h(x)=\sqrt{x^{2}+1}  , alors déterminer la monotonie de hh  sur R+\mathbb{R}^{+}

Corrigé

1- Les fonctions ff et gg sont polynomiales alors Df=R D_{f}=\mathbb{R}~ et  Dg=R~D_{g}=\mathbb{R}\\[0.2cm] En plus, f(R)=R f(\mathbb{R})=\mathbb{R}~ et  g(R)=R~g(\mathbb{R})=\mathbb{R} donc on a le droit de parler de fgf\circ g et gfg\circ f\\[0.2cm] D'après la remarque ci-dessus, Dfg=R=Dgf D_{f\circ g }=\mathbb{R}=D_{g\circ f } \\[0.5cm] 2- Soit xR,  x \in \mathbb{R},~  alors

fg(x)=f(g(x))=f(x2+5x1)=3x2+15x1f\circ g(x)=f(g(x))=f\left(x^{2}+5 x-1\right)=3 x^{2}+15 x-1 \\

Soit xR,x \in \mathbb{R},   alors :

gf(x)=g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)2+5(3x+2)1=9x2+27x+13\begin{aligned} g\circ f(x)&=g(f(x))\\ &=g(3 x+2) \\ &=(3 x+2)^{2}+5(3 x+2)-1\\ &=9 x^{2}+27x+13\end{aligned}

حيلة

Nous déterminons la monotonie d’une fonction non usuelle en cherchant à l’écrire comme une composée de deux fonctions dont la monotonie est connue.

3- L'astuce c'est de remarquer que la fonction hh est une composée de deux fonctions usuelles : xR+, h1(x)=x\\[0.2cm] \forall x \in \mathbb{R}^{+},~ h_{1}(x)=\sqrt{x}\quad et xR, h2(x)=x2+1\quad\forall x \in \mathbb{R}, ~h_{2}(x)=x^{2}+1\\[0.2cm] Puisque x2+10x^{2}+1 \geq 0 pour tout xR x \in \mathbb{R}~ donc h2(R)R+h_{2}(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}^{+}\\[0.2cm] Donc, on a le droit de définir la fonction: h(x)=h1h2(x), xRh(x)=h_{1} \circ h_{2}(x), ~\forall x \in \mathbb{R}\\[0.2cm] Or, h2h_{2} est croissante sur R+,\mathbb{R}^{+}, \\[0.2cm] en effet (x,y)R+,\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{+},

xyx2y2x \leq y \Rightarrow x^{2} \leq y^{2} x2+1y2+1h1(x)h2(y)\Rightarrow x^{2}+1 \leq y^{2}+1 \Rightarrow h_{1}(x) \leq h_{2}(y)

et  h2(R+)=[1,+[~h_{2}\left(\mathbb{R}^{+}\right)=\left[1,+\infty\left[\right.\right.\\[0.2cm] en effet : soit xR+x2+11x \in \mathbb{R}^{+} \Rightarrow x^{2}+1 \geq 1 h2(x)[1,+[\Rightarrow h_{2}(x) \in[1,+\infty[\\[.2cm] Inversement, soit x[1,+[x \in[1,+\infty[ on pose y=x1y=\sqrt{x-1}\\

Donc x=y2+1x=y^{2}+1 avec yR+ xh2(R+)y \in \mathbb{R}^{+}~\Rightarrow x \in h_{2}\left(\mathbb{R}^{+}\right) \\

Par la suite, h1h_{1} est croissante sur [1,+[[1,+\infty[\\

Donc, hh est croissante sur R+\mathbb{R}^{+}

Vidéo La composition de deux fonctions
15 min
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Les fonctions périodiques

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