L’étude des fonctions numériques est importante dans tous les domaines des mathématiques pures et appliquées, y compris les mathématiques appliquées à l'économie, à la finance et aux affaires. Par exemple, le langage de l'analyse économique regorge de termes tels que les fonctions d'offre et de demande, les fonctions de coût, les fonctions de production et les fonctions de consommation.

Donc, dans ce chapitre, nous allons introduire quelques concepts majeurs tels que les asymptotes, les branches paraboliques, la convexité et l'axe de symétrie, qui nous sont utiles pour étudier le comportement de n'importe quelle fonction.

Asymptotes

Asymptote verticale

تعريف

Soit  aR~a \in \mathbb{R}, lorsque limxa+f(x)=±  \lim\limits _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\pm \infty ~~ ou   limxaf(x)=±~~\lim\limits _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\pm \infty .

La droite d'équation  x=a ~x=a ~ est une asymptote verticale à (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right)

مثال

Soit la fonction définie par :

f(x)=2x3x5f(x)=\frac{2 x-3}{x-5}

Déterminons limx5+f(x)\lim\limits _{x \rightarrow 5^{+}} f(x) et limx5f(x)\lim\limits _{x \rightarrow 5^{-}} f(x) et interprétons géométriquement les résultats.

\bullet limx5+x5=0+\lim\limits _{x \rightarrow 5^{+}} x-5=0^{+}\quad et limx5x5=0\quad\lim\limits _{x \rightarrow 5^{-}} x-5=0^{-}

\bullet limx52x3=5\lim\limits _{x \rightarrow 5} 2 x-3=5

\bullet Alors limx5+2x3x5=+\lim\limits _{x \rightarrow 5^{+}} \frac{2 x-3}{x-5}=+\infty \quad et limx52x3x5=\quad\lim\limits _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{2 x-3}{x-5}=-\infty

Donc la droite d'équation x=5x=5 est asymptote à (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right).

Asymptote horizontale

تعريف

Soit lRl \in \mathbb{R}, lorsque  limx±f(x)=l~\lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=l.

La droite d'équation y=ly=l est une asymptote horizontale à (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) au voisinage de + +\infty~ ou de  ~-\infty.

مثال

Soit la fonction définie par:

f(x)=2x3x5f(x)=\frac{2 x-3}{x-5}

Déterminons limx±f(x) \lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)~ ou  limxf(x)~\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x) et interprétons géométriquement les résultats.

\bullet limx+f(x)=2\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2\quad et limxf(x)=2\quad\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=2

Donc la droite  y=2 ~y=2~ est asymptote horizontale à (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right).

Asymptote oblique

تعريف

Si  limx±(f(x)(ax+b))=0 ~\lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-(a x+b))=0 ~ tels que aR a \in \mathbb{R}^{*} ~ et  bR ~b \in \mathbb{R}~.

Alors la droite d'équation  y=ax+b ~y=a x+b ~ est une asymptote à (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) au voisinage de  + ~+\infty~ ou  ~-\infty

مثال

Soit la fonction :

f(x)=x2+3x+1x+1f(x)=\frac{-x^{2}+3 x+1}{x+1}

On a :

f(x)(x+4)=x2+3x+1x+1(x+4)=x2+3x+1(x+4)(x+1)x+1=x2+3x+1(x2x+4x+4)x+1=x2+3x+1+x23x4x+1=3x+1\begin{aligned}f(x)-(-x+4)&=\frac{-x^{2}+3 x+1}{x+1}-(-x+4) \\[0.2cm]&=\frac{-x^{2}+3 x+1-(-x+4)(x+1)}{x+1} \\[0.2cm]&=\frac{-x^{2}+3 x+1-\left(-x^{2}-x+4 x+4\right)}{x+1} \\[0.2cm]&=\frac{-x^{2}+3 x+1+x^{2}-3 x-4}{x+1}=-\frac{3}{x+1}\end{aligned}

Et on a limx±3x+1=0.\quad \lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty}-\frac{3}{x+1}=0 .

Donc,  Δ:y=x+4 ~\Delta: y=-x+4~ est asymptote à (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right).

حيلة

Soit Δ\Delta la droite d'équation y=ax+b.y=a x+b .

(Δ)(\Delta) est une asymptote à (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) si et seulement si elle existe une fonction hh tel que :

f(x)=ax+b+h(x)f(x)=a x+b+h(x)\quad et limx±h(x)=0\quad\lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty} h(x)=0

مثال

Soit la fonction définie sur R\mathbb{R}^{*} par :

f(x)=x1+1xf(x)=x-1+\frac{1}{x}

On a  limx+1x=0, ~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=0,~ donc la droite d'équation  y=x1 ~y=x-1~ est une asymptote à (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) au voisinage de ++\infty\\[0.2cm]

On a  limx1x=0, ~\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x}=0,~ donc la droite d'équation  y=x1 ~y=x-1~ est une asymptote à (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) au voisinage de -\infty.

خاصية

La droite d'équation y=ax+by=a x+b est une asymptote à (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) si et seulement si :

\bullet limx+f(x)x=a\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=a\quad et limx+(f(x)ax)=b\quad \lim\limits _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-a x)=b

ou :

\bullet limxf(x)x=a\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=a\quad et limx(f(x)ax)=b\quad \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}(f(x)-a x)=b

حيلة

Pour étudier la position de (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) par rapport à son asymptote il suffit d'étudier le signe de f(x)(ax+b)f(x)-(a x+b)

مثال

Si on prend l'exemple précédent :

f(x)=x2+3x+1x+1f(x)=\frac{-x^{2}+3 x+1}{x+1}

f(x)(x+4)=3x+1f(x)-(-x+4)=-\frac{3}{x+1}

\bullet Si x>1:x+1>0f(x)(x+4)<0x>-1: \quad \quad x+1>0 \Rightarrow f(x)-(-x+4)<0

Alors (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) au-dessous de la droite (D):y=x+4(D): y=-x+4

\bullet Si x<1:x<-1: x+1<0f(x)(x+4)>0\quad \quad x+1<0 \Rightarrow f(x)-(-x+4)>0

Alors (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) au-dessus de la droite (D):y=x+4(D): y=-x+4

Branches paraboliques

Branches paraboliques de direction (OX) et (OY)

تعريف

1. Si  limx+f(x)=±~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\pm \infty\quad et limx+f(x)x=0\quad \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0

(ou  limxf(x)=±~\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty\quad et limxf(x)x=0)\quad \left.\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=0\right.)

On dit que (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) présente une branche parabolique de direction asymptotique (OX)(OX).

2. Si  limx+f(x)=±~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\pm \infty \quad et limx+f(x)x=±\quad\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\pm \infty

(ou  limxf(x)=±~\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty \quad et limxf(x)x=±)\quad \left.\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=\pm \infty\right.)

On dit que (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) présente une branche parabolique de direction asymptotique (OY).(OY).


3. Si  limx+f(x)=±~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\pm \infty \quad et limx+f(x)x=a0\quad \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0\quad et limx+(f(x)ax)=b\quad\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-a x)=b

(ou limxf(x)=±\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty\quad et limxf(x)x=a0\quad\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0\quad et limx(f(x)ax)=b)\quad\left.\lim\limits _{x \rightarrow-\infty}(f(x)-a x)=b\right.)

On dit que la droite (Δ)(\Delta) d'équation y=ax+by=a x+b est une asymptote à (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) au voisinage de ++\infty (ou au voisinage de )-\infty).

4. Si limx+f(x)=±\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\pm \infty\quad et limx±f(x)x=a0\quad\lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0

et  limx+(f(x)ax)=±~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-a x)=\pm \infty

(ou limxf(x)=±\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty\quad et limxf(x)x=a0\quad\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0

et limx(f(x)ax)=±)\left.\lim\limits _{x \rightarrow-\infty}(f(x)-a x)=\pm \infty\right.)

on dit que (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) admet une branche parabolique de direction la droite (Δ)(\Delta) d'équation y=axy=a x.

مثال

1. f(x)=xf(x)=\sqrt{x} :

limx+f(x)=limx+x=+\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}=+\infty

Et  limx+f(x)x=limx+xx=limx+1x=0~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0

Donc (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) admet une branche parabolique de direction asymptotique (OX)(O X) au voisinage de ++\infty\\[0.2cm]

2. f(x)=x2f(x)=x^{2}

limx+f(x)=limx+x2=+\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} x^{2}=+\infty

Et  limx+f(x)x=limx+x=+~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty

Donc (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) admet une branche parabolique de direction asymptote (OY)(OY) au voisinage de ++\infty\\[0.2cm]

3. f(x)=xxf(x)=x-\sqrt{x}

On a Df=R+D_{f}=\mathbb{R}^{+}

et limx+f(x)=limx+x(x1)=+\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)=+\infty

Et limx+f(x)x=limx+xxx=limx+11x=1\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-\sqrt{x}}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} 1-\frac{1}{\sqrt{x}}=1

Or limx+f(x)x=limx+x=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)-x=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}-\sqrt{x}=-\infty

Donc (Cf)\left(\mathcal{C}_{f}\right) admet une branche parabolique de direction la droite d'équation y=xy=x

Vidéo Introduction et concepts de base
15 min
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Convexité – Point d’inflexion

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