La géométrie est une branche en mathématiques, et durant les années précédentes nous avons découvert des théorèmes permettant de calculer la longueur des côtés notamment dans un triangle, à titre d’exemple : Pythagore, Thalès…Mais, ces théorèmes permettent seulement d’établir des relations entre un côté et un autre. Les mathématiciens ont introduit un concept consistant à lier la mesure des côtés avec la mesure des angles dans un triangle rectangle nommé le calcule trigonométrie.
Nous définissons le sinus, le cosinus et tangente par :
Le cercle trigonométrique est une illustration permettant de mettre en évidence les angles en radian et les trois fonctions trigonométriques : Cosinus, Sinus et tangent. Pratiquement, c’est un cercle :
De centre O(0;0) l’origine du plan
De Rayon R=1
Orienté positivement
I un point pour entamer le calcul.
Remarque
Soit M(x,y) un point de cercle corresponde à l'angle t=(OI,OM), alors
x=cos(t)
y=sin(t)
xy=tan(t) Si x=0
Résultats
1. ∀x∈R,−1≤cos(x)≤1 et −1≤sin(x)≤1
2. ∀x∈R,cos2(x)+sin2(x)=1 Car le rayon est 1 et l'origine de cercle c'est O
3 . ∀x∈R,sin(x+2π)=sin(x) et cos(x+2π)=cos(x)
4. ∀x∈R\{2π+kπ avec k∈Z},tan(x)=cos(x)sin(x)
5. Les deux fonctions : Sinus et tangente sont impaires.
1. Si a∈]−∞;−1[U]1;+∞[ alors l'équation n'admet pas de solution
2. Si a=1 alors les solutions de l'équation sont : 2πk avec k∈Z
3. Si a=−1 alors les solutions de l'équation sont: π+2πk avec k∈Z
4. Si −1<a<1 alors ∃α∈]0,π[ vérifiant cos(α)=a
alors l'ensemble des solutions d'équation est :
S={α+2kπ,k∈Z}∪{−α+2kπ,k∈Z}
Généralement, les solutions de l'équation cos(u(x))=cos(v(x)), avec u et v deux fonctions, sont : {u(x)=v(x)+2kπ,k∈Zu(x)=−v(x)+2kπ,k∈Z
Equation sin(x)=a
خاصية
Considérons l'équation sin(x)=a avec a∈R:
1. Si a∈]−∞;−1[∪]1;+∞[ alors l'équation n'admet pas de solution
2. Si a=1 alors les solutions de l'équation sont :2π+2πk avec k∈Z
3. Si a=−1 alors les solutions de l'équation sont :−2π+2πk avec k∈Z
4. Si −1<a<1 alors ∃α∈]−2π,2π[ vérifiant sin(α)=a alors l'ensemble des solutions d'équation est : S={π−α+2kπ,k∈Z}∪{α+2kπ,k∈Z} Généralement, les solutions de l'équation sin(u(x))=sin(v(x)), avec u et v deux fonctions, sont: {u(x)=v(x)+2kπ,k∈Zu(x)=π−v(x)+2kπ,k∈Z
Equation tan(x)=a
Considérons l'équation tan(x)=a(E) avec a∈R, alors il existe un et un seul nombre appartient à l'intervalle ]−2π,2π[ vérifiant :tan(α)=a et l'ensemble des solutions de (E) est :{α+kπ,k∈Z}. Généralement, les solutions de l'équation tan(u(x))=tan(v(x)), avec u(x)=2π+kπ et v(x)=2π+kπ pour tout x∈R et k∈Z Donc les solutions seront l'ensemble des réels x:u(x)=v(x)+kπ,k∈R
La résolution des inéquations liée fortement à la partie précédente, car la première étape pour aboutir à l’ensemble des solutions dans un intervalle est la résolution de l’équation correspondante. Nous traiterons des exemples concrètes afin d’assimiler chaque type d’inéquation :
Inéquation Cosinus
مثال
Résoudre l’inéquation suivante dans [−π,π] : cos(x)≥21
Corrigé exemple
Etape 1 : la résolution de l’équation correspondante, autrement cos(x)=21
cos(x)=21⇔cos(x)=cos(3π)⇔{3π+2kπ,k∈Z−3π+2kπ,k∈Z Puisque nous travaillons dans [−π,π] alors les deux points admissibles sont : 3π et −3π
Etape 2 : il s'agit de déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation en se basant sur les deux points :3π et −3π, puisque l'équation est en cosinus donc nous cherchons les abscisses dont la valeur est plus que 21 mais en restant toujours dans l'intervalle [−π,π] Pour expliciter les solutions il faut revenir au cercle trigonométrique :
Donc l'ensemble des solutions est l'arc :S=[−3π,3π]
Inéquation sinus
مثال
Résoudre l’inéquation suivante dans [0,2π]:sin(x)≥21
Corrigé exemple
Etape 1: la résolution de l'équation correspondante, donc sin(x)=21sin(x)=21⇔sin(x)=sin(6π)⇔{6π+2kπ,k∈Z65π+2kπ,k∈Z
Puisque nous travaillons dans [0,2π] alors les deux points admissibles sont :6π et 65π
Etape 2 : il s'agit de déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation en se basant sur les deux points :6π et 65π,
puisque l'équation est en sinus donc nous cherchons les ordonnées dont la valeur est plus que 21 mais en restant toujours dans l'intervalle [0,2π] Pour expliciter les solutions il faut revenir au cercle trigonométrique
Donc l’ensembles des solutions est l’arc en bleu : S=[6π,65π]
Inéquation de tangente
مثال
Résoudre l’inéquation suivante dans [0,2π]:tan(x)−1≥0
Corrigé exemple
Etape 1 : la résolution de l’équation correspondante, donc tan(x)−1=0⇔tan(x)=1 On a tan(4π)=1 alors tan(x)=1⇔tan(x)=tan(4π)⇔x=4π+kπ,k∈R Puisque nous travaillons dans [0,2π] alors les deux points admissibles sont : 4π et 45π
Etape 2 : il s’agit de déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation en se basant sur les deux points : 4π et 45π puisque l’équation est en tangent donc nous cherchons les points M(x,y) sur le cercle trigonométrique dont la valeur de point d’intersection entre la droite tangente à l’origine et la droite de vecteur directeur OM est supérieur ou égale à 1 mais en restant toujours dans l’intervalle [0,2π]. Pour expliciter les solutions il faut revenir au cercle trigonométrique
Donc l’ensembles des solutions est les deux arcs : S=[4π,2π[∪[45π,23π[