La géométrie est une branche en mathématiques, et durant les années précédentes nous avons découvert des théorèmes permettant de calculer la longueur des côtés notamment dans un triangle, à titre d’exemple : Pythagore, Thalès…Mais, ces théorèmes permettent seulement d’établir des relations entre un côté et un autre. Les mathématiciens ont introduit un concept consistant à lier la mesure des côtés avec la mesure des angles dans un triangle rectangle nommé le calcule trigonométrie.\\

Nous définissons le sinus, le cosinus et tangente par :\\

sin(ACB^)= coˆteˊ opposeˊ aˋ ACB^ Hypoteˊnuse cos(ACB^)= coˆteˊ adjacent aˋ ACB^ Hypoteˊnuse tan(ACB^)= coˆteˊ opposeˊ aˋ ACB^ coˆteˊ adjacent aˋ ACB^\begin{aligned}\sin (\widehat{ACB}) &=\frac{\text { côté opposé à } \widehat{ACB}}{\text { Hypoténuse }} \\[0.2cm] \cos (\widehat{ACB}) &=\frac{\text { côté adjacent à } \widehat{ACB}}{\text { Hypoténuse }} \\[0.2cm] \tan (\widehat{ACB}) &=\frac{\text { côté opposé à } \widehat{ACB}}{\text { côté adjacent à } \widehat{ACB}}\end{aligned}

Rappel

Notions de base

تعريف

Le cercle trigonométrique est une illustration permettant de mettre en évidence les angles en radian et les trois fonctions trigonométriques : Cosinus, Sinus et tangent. Pratiquement, c’est un cercle :

  • De centre O(0;0)O(0;0) l’origine du plan
  • De Rayon  R=1~R=1
  • Orienté positivement
  • II un point pour entamer le calcul.

image/svg+xml Remarque

Soit M(x,y)\boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) un point de cercle corresponde à l'angle t=(OI,OM)\boldsymbol{t}=(\overrightarrow{\boldsymbol{O I}}, \overrightarrow{\boldsymbol{OM}}), alors

  • x=cos(t)\quad x=\cos (t)
  • y=sin(t)\quad y=\sin (t)
  • yx=tan(t) \quad \frac{y}{x}=\tan (t) Si x0x \neq 0

Résultats

1. xR,  1cos(x)1 \forall x \in \mathbb{R}, ~~ -1 \leq \cos (x) \leq 1~ et  1sin(x)1~-1 \leq \sin (x) \leq 1\\[0.2cm]

2. xR,  cos2(x)+sin2(x)=1 \forall x \in \mathbb{R}, ~~\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1~ Car le rayon est 11 et l'origine de cercle c'est OO\\[0.2cm]

3 . xR,  sin(x+2π)=sin(x)  \forall x \in \mathbb{R}, ~~ \sin (x+2 \pi)=\sin (x)~ et  cos(x+2π)=cos(x)~\cos (x+2 \pi)=\cos (x)\\[0.2cm]

4. xR \{π2+kπ \forall x \in \mathbb{R}~ \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi\right. ~ avec  kZ},  tan(x)=sin(x)cos(x)~\left.k \in Z\right\}, ~~\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \\[0.2cm]

5. Les deux fonctions : Sinus et tangente sont impaires. \\[0.2cm]

6. La fonction Cosinus est paire.

Le tableau des angles usuelles

Vidéo Notions de base
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Les équations trigonométriques

Equation  cos(x)=a ~\cos (x)=a

خاصية

Considérons l'équation cos(x)=a\cos (x)=a avec aR:a \in \mathbb{R}:

1. Si a];1[U]1;+[a \in]-\infty ;-1[\mathrm{U}] 1 ;+\infty[ alors l'équation n'admet pas de solution \\[0.2cm]

2. Si a=1a=1 alors les solutions de l'équation sont : 2πk 2 \pi k avec kZk \in Z\\[0.2cm]

3. Si a=1a=-1 alors les solutions de l'équation sont: π+2πk \pi+2 \pi k avec kZk \in Z\\[0.2cm]

4. Si 1<a<1-1<a<1 alors α]0,π[\exists \alpha \in] 0, \pi[ vérifiant cos(α)=a\cos (\alpha)=a

alors l'ensemble des solutions d'équation est :

S={α+2kπ,kZ}{α+2kπ,kZ}S=\{\alpha+2 k \pi, k \in Z\} \cup\{-\alpha+2 k \pi, k \in Z\}\\[0.2cm]

Généralement, les solutions de l'équation cos(u(x))=cos(v(x))\cos (u(x))=\cos (v(x)) , avec uu et vv deux fonctions,\\[0.2cm]  sont : {u(x)=v(x)+2kπ, kZu(x)=v(x)+2kπ, kZ\left\{\begin{array}{l}u(x)=v(x)+2 k \pi, ~k \in Z \\[0.2cm] u(x)=-v(x)+2 k \pi,~ k \in Z\end{array} \right.

Equation  sin(x)=a ~\sin (x)=a

خاصية

Considérons l'équation sin(x)=a\sin (x)=a avec aR:a \in \mathbb{R}: \\[0.2cm]

1. Si a];1[]1;+[a \in]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[ alors l'équation n'admet pas de solution \\[0.2cm]

2. Si a=1a=1 alors les solutions de l'équation sont :π2+2πk : \frac{\pi}{2}+2 \pi k~ avec kZk \in Z\\[0.2cm]

3. Si a=1a=-1 alors les solutions de l'équation sont :π2+2πk :-\frac{\pi}{2}+2 \pi k~ avec kZk \in Z\\[0.2cm]

4. Si 1<a<1-1<a<1 alors α]π2,π2[\exists \alpha \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ vérifiant sin(α)=a\sin (\alpha)=a alors l'ensemble des solutions d'équation est : S={πα+2kπ,kZ}\\[0.2cm]S=\{\pi-\alpha+2 k \pi, k \in Z\} \cup {α+2kπ,kZ}\{\alpha+2 k \pi, k \in Z\}\\[0.2cm] Généralement, les solutions de l'équation sin(u(x))=sin(v(x))\sin (u(x))=\sin (v(x)) , avec uu et vv deux \\[0.2cm] fonctions, sont: {u(x)=v(x)+2kπ,kZu(x)=πv(x)+2kπ,kZ\left\{\begin{array}{c}u(x)=v(x)+2 k \pi, k \in Z \\[0.2cm] u(x)=\pi-v(x)+2 k \pi, k \in Z\end{array}\right.

Equation  tan(x)=a ~\tan (x)=a

Considérons l'équation tan(x)=a\tan (x)=a\quad (E) avec aR, a \in \mathbb{R},~ alors il existe un et un seul nombre appartient à l'intervalle ]π2,π2[]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ vérifiant :tan(α)=a: \tan (\alpha)=a et l'ensemble des solutions de (E)(E) est :{α+kπ,kZ}.:\{\alpha+k \pi, k \in Z\} . \\[0.2cm] Généralement, les solutions de l'équation tan(u(x))=tan(v(x))\tan (u(x))=\tan (v(x)) , \\[0.2cm] avec u(x)π2+kπ u(x) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi ~ et  v(x)π2+kπ ~v(x) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi ~ pour tout  xR ~ x \in \mathbb{R} ~ et  kZ~ k \in \mathbb{Z}\\[0.2cm] Donc les solutions seront l'ensemble des réels x: u(x)=v(x)+kπ, kRx : ~u(x)=v(x)+k \pi,~ k \in \mathbb{R}

Vidéo Les équations trigonométriques
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Les inéquations trigonométriques

La résolution des inéquations liée fortement à la partie précédente, car la première étape pour aboutir à l’ensemble des solutions dans un intervalle est la résolution de l’équation correspondante. Nous traiterons des exemples concrètes afin d’assimiler chaque type d’inéquation :

Inéquation Cosinus

مثال

Résoudre l’inéquation suivante dans [π,π] [-\pi, \pi] : cos(x)12\cos (x) \geq \frac{1}{2}

Corrigé exemple

Etape 1 : la résolution de l’équation correspondante, autrement cos(x)=12 \cos (x)=\frac{1}{2}

cos(x)=12cos(x)=cos(π3){π3+2kπ,kZπ3+2kπ,kZ\cos (x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos (x)=\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\left \{\begin{array}{c}\frac{\pi}{3}+2 k \pi, k \in Z \\[0.2cm]-\frac{\pi}{3}+2 k \pi, k \in Z\end{array}\right.\\[0.2cm] Puisque nous travaillons dans [π,π][-\pi, \pi]  alors les deux points admissibles sont : π3\frac{\pi}{3}  et π3-\frac{\pi}{3}\\[0.2cm]

Etape 2 : il s'agit de déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation en se basant sur les deux points :π3: \frac{\pi}{3} et π3-\frac{\pi}{3}, puisque l'équation est en cosinus donc nous cherchons les abscisses dont la valeur est plus que 12\frac{1}{2} mais en restant toujours dans l'intervalle [π,π][-\pi, \pi] \\[0.2cm] Pour expliciter les solutions il faut revenir au cercle trigonométrique : 

Donc l'ensemble des solutions est l'arc :S=[π3,π3] S=\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]

انتباه

L'ensemble de solution est lié à l’intervalle que nous avons fixé au début, si nous changions cet intervalle pour la même équation, nous obtiendrions d'autres solutions. Par exemple, si  I=[0,2π] ~I=[0,2 \pi] \\ alors  S=[0,π3][2π3,2π]~S=\left[0, \frac{\pi}{3}\right] \cup\left[\frac{2 \pi}{3}, 2 \pi\right]

Inéquation sinus

مثال

Résoudre l’inéquation suivante dans [0,2π]:[0,2 \pi]: sin(x)12\sin (x) \geq \frac{1}{2}

Corrigé exemple

Etape 1: la résolution de l'équation correspondante, donc sin(x)=12\sin (x)=\frac{1}{2}\\[0.2cm] sin(x)=12sin(x)=sin(π6){π6+2kπ,kZ5π6+2kπ,kZ\sin (x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (x)=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{\pi}{6}+2 k \pi, k \in Z \\[0.2cm]\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi, k \in Z\end{array}\right.\\[0.2cm]

Puisque nous travaillons dans [0,2π][0,2 \pi] alors les deux points admissibles sont :π6: \frac{\pi}{6} et 5π6\frac{5 \pi}{6}\\[0.3cm]

Etape 2 : il s'agit de déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation en se basant sur les deux points :π6: \frac{\pi}{6} et 5π6,\frac{5 \pi}{6},

puisque l'équation est en sinus donc nous cherchons les ordonnées dont la valeur est plus que 12\frac{1}{2} mais en restant toujours dans l'intervalle [0,2π] [0,2 \pi]\\[0.2cm] Pour expliciter les solutions il faut revenir au cercle trigonométrique

Donc l’ensembles des solutions est l’arc en bleu : S=[π6,5π6] S=\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]

Inéquation de tangente

مثال

Résoudre l’inéquation suivante dans [0,2π]:tan(x)10 [0,2 \pi]: \tan (x)-1 \geq 0

Corrigé exemple

Etape 1 : la résolution de l’équation correspondante, \\[0.2cm] donc  tan(x)1=0tan(x)=1~\tan (x)-1=0 \Leftrightarrow \tan (x)=1\\[0.2cm] On a  tan(π4)=1~\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)=1\\[0.2cm] alors  tan(x)=1tan(x)=tan(π4)x=π4+kπ,kR~\tan (x)=1 \Leftrightarrow \tan (x)=\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{R}\\[0.2cm] Puisque nous travaillons dans [0,2π][0,2 \pi]  alors les deux points admissibles sont : π4\frac{\pi}{4}  et 5π4\frac{5 \pi}{4}\\[0.3cm]

Etape 2 : il s’agit de déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation en se basant sur les deux points : π4 \frac{\pi}{4} et 5π4\frac{5 \pi}{4} \\[0.2cm] puisque l’équation est en tangent donc nous cherchons les points M(x,y)M(x,y) sur le cercle trigonométrique dont la valeur de point d’intersection entre la droite tangente à l’origine et la droite de vecteur directeur OM \overrightarrow{O M} est supérieur ou égale à 11 mais en restant toujours dans l’intervalle [0,2π]. [0,2 \pi].\\[0.2cm] Pour expliciter les solutions il faut revenir au cercle trigonométrique

Donc l’ensembles des solutions est les deux arcs  : S=[π4,π2[[5π4,3π2[ S=\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\left[\cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}[\right.\right.\right.

Vidéo Les inéquations trigonométriques
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Formules Trigonométriques

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