Le concept de limite est une partie importante du fondement de l'analyse mathématique. Ne pas le maîtriser entraînera des problèmes lorsque nous discuterons des concepts de convergence, de continuité et de dérivée dans les prochains chapitres. Si les élèves comprennent le concept de limites, les concepts connexes deviendront plus faciles à utiliser.

Historiquement, les principes de base du calcul ont été introduits à l'aide de deux problèmes : le problème de la tangente et le problème de l'aire. Comme nous le verrons dans ce chapitre et les chapitres suivants, les solutions à ces deux problèmes font appel à la notion de limites.

Limite à l’infini

Limite finie en +∞ , en -∞

Activité

Considérons la fonction :

f:R\{1}Rx2xx1\begin{aligned} f: \mathbb{R} \backslash\{1\} &\rightarrow \mathbb{R} \\ x &\rightarrow\frac{2 x}{x-1}\end{aligned}

La courbe représentative de ff :

  • A partir de la courbe et du tableau, lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes positives, c'est-à-dire lorsque xx tend vers +,f(x)+\infty, f(x) tend vers 2.2 . On dit que la limite de f(x)f(x) est 22 quand xx tend vers ++\infty\\[0.2cm] et on écrit limx+f(x)=2\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2\\[0.2cm]
  • A partir de la courbe et du tableau, lorsque xx est négatif et s'éloigne de plus en plus de 00 , c'est-à-dire lorsque xx tend vers ,f(x)-\infty, f(x) tend vers 2.2 . On dit que la limite de f(x)f(x) est 22 quand xx tend vers -\infty\\[0.2cm] et on écrit limxf(x)=2\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=2.

Définition

  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a,+[] a,+\infty[ avec aa un réel quelconque .On dit que la fonction ff tend vers ll quand xx tend vers ++\infty si : \\[0.2cm] (ε>0)(B>0)(xDf)(x>Bf(x)l<ε).(\forall \varepsilon>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x>B \Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon) .\\[0.2cm] Et on écrit : limx+f(x)=l\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l \\[0.2cm]
  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle de la forme ],a[]-\infty, a[ avec aa un réel quelconque .On dit que la fonction ff tend vers ll quand xx tend vers -\infty si : \\[0.2cm] (ε>0)(B>0)(xDf)(x<Bf(x)l<ε).(\forall \varepsilon>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x<-B \Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon). \\[0.2cm] Et on écrit: limxf(x)=l\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=l

À retenir

L’interprétation géométrique

- limx+f(x)=l\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l,la courbe de la fonction se rapproche de plus en plus de la droite d'équation y=ly=l quand xx tend vers ++\infty.

- limxf(x)=l\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=l, la courbe de la fonction se rapproche de plus en plus de la droite d'équation y=ly=l quand xx tend vers -\infty.

-Et alors on dit que la droite y=ly=l est une asymptote horizontale.

Attention

- Si ff est paire : limxf(x)=limx+f(x)\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)\\[0.2cm] - Si ff est impaire : limxf(x)=limx+f(x)\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)

À retenir

La position de la courbe par rapport à l’asymptote horizontale

Cette position se détermine par le signe de f(x)lf(x)-l.

1- Si f(x)l0f(x)-l \geq 0, alors CfC_{f} est au-dessus de l'asymptote.

2- Si f(x)l0f(x)-l \leq 0, alors CfC_{f} est au-dessous de l'asymptote.

image/svg+xml Remarque

Cas des fonctions usuelles

Les fonctions :

xkx ; xkx ; xkxn ; (k,n)R×Nx \longmapsto \frac{k}{|x|}~ ;~ x \longmapsto \frac{k}{\sqrt{|x|}}~ ; ~x \longmapsto \frac{k}{|x|^{n}} ~; ~\forall(k, n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N}^{*}

Toutes les courbes représentatives de ces fonctions admettent l’axe des abscisses comme asymptote.

Exemple

  • Soit:f(x)=1x2+1f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}

Déterminons limx+f(x)\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x) et limxf(x):\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x):

xR:\forall x \in \mathbb{R}^{*}: On a x2+1x2x^{2}+1 \geq x^{2}

Alors :f(x)1x2:|f(x)| \leq \frac{1}{x^{2}} et on a limx+1x2=limx1x2=0\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x^{2}}=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x^{2}}=0

Donc: limx+f(x)=limxf(x)=0\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0

  • Soit: f(x)=5x2+1x2f(x)=\frac{-5 x^{2}+1}{x^{2}}

Montrons que limxf(x)=5\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-5 :

limxf(x)(5)=limx5x2+1+5x2x2=limx1x2=0\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)-(-5)=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{-5 x^{2}+1+5 x^{2}}{x^{2}}=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x^{2}}=0

Donc: limxf(x)=5\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-5

Limite infinie en +∞ , en -∞

Activité

Considérons la fonction f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} xx3x \mapsto x^{3} La courbe représentative de ff :

  • A partir de la courbe et du tableau, lorsque xx prend des valeurs de plus en plus grandes positives, c'est-à-dire lorsque xx tend vers +,f(x)+\infty, f(x) tend vers +.+\infty.\\[0.2cm] On dit que la limite de f(x)f(x) est ++\infty quand xx tend vers ++\infty\\[0.2cm] et on écrit  limx+f(x)=+~\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty \\[0.2cm]
  • A partir de la courbe et du tableau, lorsque xx est négatif et s'éloigne de plus en plus de 00 , c'est-à-dire lorsque xx tend vers ,f(x)-\infty, f(x) tend vers .-\infty.\\[0.2cm] On dit que la limite de f(x)f(x) est -\infty quand xx tend vers -\infty\\[0.2cm] et on écrit limxf(x)=.\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty .

Définition

  • Soit ff une fonction définie sur intervalle de la forme ]a,+[] a,+\infty[aa un réel quelconque. On dit que la fonction ff tend vers ++\infty quand xx tend vers ++\infty si : (A>0)(B>0)(xDf) (x>Bf(x)>A).\\[0.2cm](\forall A>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)~(x>B \Rightarrow f(x)>A) .\\[0.2cm] Et on écrit : limx+f(x)=+\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\\[0.2cm]
  • limx+f(x)=  \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty ~~ si :(A>0)(B>0)(xDf)(x>Bf(x)<A)\\[0.2cm](\forall A>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x>B \Rightarrow f(x)<-A)\\[0.2cm]
  • limxf(x)=  \lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty~~ si  :(A>0)(B>0)(xDf)(x<Bf(x)<A)\\[0.2cm](\forall A>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x<-B \Rightarrow f(x)<-A)\\[0.2cm]
  • limxf(x)=+  \lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty~~ si : (A>0)(B>0)(xDf)(x<Bf(x)>A)\\[0.2cm](\forall A>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x<-B \Rightarrow f(x)>A).

image/svg+xml Remarque

Cas des fonctions usuelles

Soit  nN:~ n \in \mathbb{N}^{*} :\quad limx+xn=+\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} x^{n}=+\infty \\[0.2cm] si nn est paire : limxxn=\quad \lim\limits _{x \rightarrow-\infty} x^{n}=-\infty \\[0.2cm] si nn est impaire : limx+x=+\quad \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}=+\infty

Vidéo Limites à l'infini
15 min
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Limite en un réel a

Activité

Considérons les fonctions f:{RRxx3  f: \left\{\begin{array}{lcl}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ x \rightarrow x^{3} \end{array}\right.~ et  g:{RRx1x~ g: \left\{\begin{array}{lcl}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ x \rightarrow \frac{1}{x} \end{array}\right.

  • A partir du tableau, lorsque xx se rapproche de 00 , c'est-à-dire lorsque xx tend vers 00 , f(x)f(x) tend vers 0.0 . On dit que la limite de f(x)f(x) est 0 quand xx tend vers 0 et on écrit limx0f(x)=0\lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x)=0 

  • A partir du tableau, lorsque xx se rapproche de 0, c'est-à-dire lorsque xx tend vers 0, g(x)g(x) tend vers ++\infty. On dit que la limite de g(x)g(x) est ++\infty quand xx tend vers 00 et on écrit limx0g(x)=+\lim\limits _{x \rightarrow 0} g(x)=+\infty.

Définition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle de la forme ]ar,a+r[] a-r, a+r[ ou un intervalle de la forme ]ar,a+r[{r}] a-r, a+r\left[-\{r\}\right. tel que rR+.r \in \mathbb{R}^{+*} .

ff tend vers ll quand xx tend vers aa si :

(ε>0)(α>0)(xDf)(0<xa<αf(x)l<ε)(\forall \varepsilon>0)(\exists \alpha>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(0<|x-a|<\alpha \Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon)

et on écrit limxaf(x)=l\lim\limits _{x \rightarrow a} f(x)=l

Propriété

Si f f   admet une limite  l ~l~  en aa alors cette limite est unique. 

image/svg+xml Remarque

  • limxaf(x)=llimxaf(x)=l\lim\limits _{x \rightarrow a}|f(x)|=l \Leftrightarrow \lim\limits _{x \rightarrow a} f(x)=l ou limxaf(x)=l\lim\limits _{x \rightarrow a} f(x)=-l
  • Cas des fonctions usuelles:

Soit nN:limx0xn=0n \in \mathbb{N}^{*}: \quad \lim\limits _{x \rightarrow 0} x^{n}=0

Exemple

limx0x=0;\lim\limits _{x \rightarrow 0} x=0 ;

limx0x4=0\lim\limits _{x \rightarrow 0} x^{4}=0

Vidéo Limites quand x tend vers un réel
15 min
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Limite à droite , limite à gauche

Activité

Considérons la fonction f:{R\{2}Rχx2xx2f: \left\{\begin{array}{lcl}\mathbb{R} \backslash \{2\} \rightarrow \mathbb{R} \\ \chi \rightarrow \frac{|x-2| x}{x-2}\end{array}\right.

  • A partir de la courbe et du tableau, lorsque xx se rapproche de 22 sur la droite, f(x)f(x) se rapproche de 22 \\[0.2cm] On dit que la limite de f(x)f(x) est 2 quand xx tend vers 22 à droite et on écrit limx2x>2f(x)=2\lim\limits _{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} f(x)=2\\[0.2cm]
  • A partir de la courbe et du tableau, lorsque xx se rapproche de 22 sur la gauche, f(x)f(x) se rapproche de 2-2\\[0.2cm] On dit que la limite de f(x)f(x) est 2-2 quand xx tend vers 22 à gauche et on écrit limx2x<2f(x)=2\lim\limits _{\substack{x \rightarrow 2 \\ \rightarrow x<2}} f(x)=-2.

Définition

  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a,a+r[] a, a+r\left[\right. tel que rR+.r \in \mathbb{R}^{+*} .\\[0.2cm] ff tend vers ll quand xx tend vers aa à droite si la proposition suivante est vraie: \\[0.2cm] (ε>0)(α>0)(xDf)(a<x<a+αf(x)l<ε)(\forall \varepsilon>0)(\exists \alpha>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(a<x<a+\alpha \Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon) \\[0.2cm] Et on écrit  limxaf(x)=l ~\lim\limits _{x \rightarrow a} f(x)=l~ ou  limxa+f(x)=l~\lim\limits _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=l\\[0.2cm]
  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle de la forme ]ar,a[] a-r, a\left[\right. tel que rR+.r \in \mathbb{R}^{+*} .\\[0.2cm] ff tend vers ll quand xx tend vers aa à gauche si la proposition suivante est vraie :(ε>0)(α>0)(xDf)(aα<x<af(x)l<ε)\\[0.2cm](\forall \varepsilon>0)(\exists \alpha>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(a-\alpha<x<a \Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon)\\[0.2cm] E on écrit  limxaf(x)=l ~\lim\limits _{x \rightarrow a} f(x)=l~ ou  limxaf(x)=l~\lim\limits _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=l

Théorème

Une fonction ff admet une limite ll en aa si et seulement si elle admet une limite à droite de aa égale à sa limite à gauche de aa égale à ll\\[0.2cm] limxaf(x)=llimxa+f(x)=l \lim\limits _{x \rightarrow a} f(x)=l \Leftrightarrow \lim\limits _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=l~ et  limxaf(x)=l~\lim\limits _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=l

Opérations sur les limites finies

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