1.
$$ \begin{aligned}\text { Soit } ~M(x, y, 2)=S & \Leftrightarrow \Omega M=r^{2} \Leftrightarrow(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(2-2)^{2}=3^{2} \\ & \Leftrightarrow x^{2}-4 x+4+y^{2}-2 y+1+z^{2}-4 z+4=9 \\ & \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-2 y-4 z=0 \end{aligned} $$
donc:$\left(S^{\prime}\right): ~x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-2 y-4 z=0 $
2. Soit $(P)$ Le plan passant par $A(-1 ; 0,3)$ et $\vec{u}(4 ; 0:-3)$ est un vecteur normal
on a : $\quad (P): a x+b y+c z+d=0 $
$(P): ~4 x+0 y-3 z+d=0 \quad \text{avec} ~\vec{u}(4,0,-3) $
$d=? $
on a $(P)$ passe par $A \Rightarrow 4 x_{A}-3 x_{A}+d=0 $
donc: $~4 \times(-1)-3 \times(3)+d=0 $
$\Rightarrow -4-9+d=0 \Rightarrow \quad d=13$
d’où $~(P): ~4 x-3 z+13=0 $
3 .a) On a la droite $$(\Delta)$$ passe par le point $$\Omega$$
Et puisque le vecteur $$\vec{u}(4,0,-3)$$ est un vecteur normal au plan $$(P)$$ et la droite $$(\Delta)$$ est perpendiculaire au plan $$(P)$$
Donc le vecteur $$\vec{u}(4,0,-3)$$ est un vecteur directeur de la droite $$(\Delta)$$
$$ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=2+4 t \\ y=1 \\ z=2-3 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R} ~~\text { donc: } ~(\Delta)=\left\{\begin{array}{l} x=2+4 t \\ y=1 \\ z=2-3 t \end{array} \quad(t \in \mathbb{R})\right.\right. $$
3 .b)
$$ \begin{array}{l} (\Delta):\left\{\begin{array}{l} x=2+4 t \\ y=1 \\ z=2-3 t \end{array}~~ / t \in \mathbb{R}, ~(p): 4 x-3 z+13=0\right. \end{array}$$
$$H \in (p) \Leftrightarrow 4 x_{H}-3 z_{H}+13=0$$
$\Leftrightarrow 4(2+4 t)-3(2-3 t)+13=0$
$$\Leftrightarrow 8+16 t-6+9 t+13=0 $$
$\Leftrightarrow 25 t+15=0 $
$\Leftrightarrow t=\frac{-15}{25} $
$$\Leftrightarrow t=\frac{-3}{5} $$
$$ \left\{\begin{array}{l} x=-4 \cdot\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{2}{5} \\ y=1 \\ z=2-3\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{19}{5} \end{array} \quad\right. \text { donc: } $$ $$ H\left(-\frac{2}{5}, 1, \frac{19}{5}\right) $$
4 .a)
$$ \begin{aligned} \ d(\Omega,(P)) &=\frac{|4 \times 2-3 \times 2+13|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}} \\ &=\frac{|8-6+13|}{\sqrt{16+9}}=\frac{15}{5}=3 \end{aligned} $$
4 .b) On a $$d(\Omega,(P))=3$$ et $$R=3 \quad$$ donc $$d=R$$
Donc le plan $$(P)$$ est tangent à la sphère $$(S)$$ en un point
Et ce point de tangence est la projection orthogonale de point $$\Omega $$ sur $$(P):$$ point d'intersection de la droite $$(\Delta)$$ et du plan $(P)$, c'est le point $H$
