Calcul des probabilités

Vocabulaire des probabilités

Dans une expérience aléatoire on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat $\\[0.2cm]$ On associe alors l'ensemble $\Omega$ des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. $\\[0.2cm]$ Le nombre d'éléments distincts de $\Omega$ est appelé le cardinal de $\Omega$, on le note : $Card ( \Omega)\\[0.2cm]$
Un événement correspond à une partie de l'univers et les événements formés d'un seul élément sont appelés événements élémentaires. $\\[0.2cm]$

Si $A$ et $B$ sont deux événements, $\bar{A}$ est l'événement contraire de $A$ , $~A \cup B$ est la réunion de $A$ et $B$, $~A \cap B$ est l'intersection de $A$ et $B . \\[0.2cm]$ $A$ et $B$ sont incompatibles si et seulement si $~A \cap B =\empty .\\[0.2cm]$ L'événement $G= \Omega$ est l'événement certain. L'événement $M= \empty$ est l'événement impossible, et on a : $~A \cap \bar{A}= \empty~$ et $~A \cup \bar{A} = \Omega$.

Arrangement avec répétition :

Arrangement sans répétition

Combinaisons :

La probabilité d'un événement

1) Une situation équiprobable est une expérience où toutes les éventualités ont la même probabilité d'être réalisées et si $A$ est un événement alors : $\\$

$P(A)=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} \\[0.3cm]$

2) La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. $\\[0.3cm]$ 3) La probabilité $P(A)$ d'un événement $A$ est telle :$\\$

$0 \leq P(A) \leq 1 ~~$ et $~~P(\Omega)=1 ~~$ et $~~P(\empty)=0 \\[0.3cm]$

4) $~p(\bar{A})= 1- p(A) \\[0.3cm]$ 5) Si deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles alors : $\\$

$P(A \cup B)=P(A)+P(B) \\[0.3cm]$

6) Si $A$ et $B$ sont deux événements d'une expérience aléatoire, alors : $\\$ $P( A \cup B)= P(A)+P(B)- P(A \cap B) \\[0.2cm]$ $P(B \backslash A)=P(B) -P(A)$

Probabilité conditionnelle

Si $A$ un événement de probabilité non nulle $\\[0.2cm]$ La probabilité de $B$ sachant $A$ est : $\\$

$P_A (B)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\[0.2cm]$

Si $A$ et $B$ sont tous deux de probabilité non nulle , alors les probabilités conditionnelles $~P( A /B )~$et $~P(B / A)~$ sont toutes les deux définies et on a :$\\$

$P(A \cap B)= P(A) \times P_A (B) = P(B) \times P_B (A) $

Probabilités totales

Si $~A_1 , A_2 , ... , A_n~$ forment une partition de l'univers $\Omega$ et si pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$ , $~P(A_i) \neq 0 ~$ alors pour tout événement $B$ on a : $\\[0.2cm]$ $p(B)=p(B \cap A_1) + p(B \cap A_2)+ ... +p(B \cap A_n)\\[0.2cm]$ $p(B)=p(A_1)P_{A_1}(B)+p(A_2)P_{A_2}(B)+... + p(A_n)P_{A_n}(B)\\[0.2cm]$ Cette égalité est nommée loi de probabilités totales .

Evénements indépendants