Fiche de cours

GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES NUMÉRIQUES (RAPPEL)

Soit n0n_{0} un entier naturel. On pose I={n∈N / n≥n0}I=\{n \in \mathbb{N}~ /~ n \geq n_{0}\} et on considère la suite numérique (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}.

SUITE MAJORÉE - SUITE MINORÉE - SUITE BORNÉE

تعريف

- On dit que la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est majorée s'il existe un réel MM tel que : (∀n∈I)   un≤M(\forall n \in I) \; ~u_{n} \leq M\\[0.2cm] - On dit que la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est minorée s'il existe un réel mm tel que: (∀n∈I)   un≥m.(\forall n \in I)\; ~u_{n} \geq m.\\[0.2cm] - On dit que la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

MONOTONIE D'UNE SUITE NUMÉRIQUE

تعريف

- On dit que la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est croissante si :

(∀n∈I)un+1−un≥0\\(\forall n \in I) \quad u_{n+1}-u_{n} \geq 0\\[0.2cm]

- On dit que la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est décroissante si :

(∀n∈I)un+1−un≤0\\(\forall n \in I) \quad u_{n+1}-u_{n} \leq 0\\[0.2cm]

- On dit que la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est constante si :

(∀n∈I)un+1=un\\(\forall n \in I) \quad u_{n+1}=u_{n}.

image/svg+xml Remarque

- Si la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est croissante, alors:  (∀n∈I)un≥un0~(\forall n \in I) \quad u_{n} \geq u_{n_{0}}\\[0.2cm] - Si la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est décroissante, alors:  (∀n∈I)un≤un0~(\forall n \in I) \quad u_{n} \leq u_{n_{0}}.

Vidéo Rappel sur les suites : Récurrence, monotonie et suites bornées
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SUITE ARITHMÉTIQUE

تعريف

On dit que la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est arithmétique s'il existe un réel rr (indépendant de nn ) tel que:

(∀n∈I)un+1−un=r(\forall n \in I) \quad u_{n+1}-u_{n}=r

Le nombre rr est appelé la raison de la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}.

خاصية

Si la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est une suite arithmétique de raison rr, alors pour tout (n;p)∈I2:(n ; p) \in I^{2}:\\[0.2cm] un=up+(n−p)r  et  up+up+1+…+un=n−p+12(up+un)u_{n}=u_{p}+(n-p) r \quad ~ \text { et } ~\quad u_{p}+u_{p+1}+\ldots+u_{n}=\frac{n-p+1}{2}\left(u_{p}+u_{n}\right)

Vidéo Rappel sur les suites : Suites arithmétiques
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SUITE GÉOMÉTRIQUE

تعريف

On dit que la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est géométrique s'il existe un réel qq (indépendant de nn ) tel que :

(∀n∈I)un+1=q⋅un(\forall n \in I) \quad u_{n+1}=q \cdot u_{n}

Le nombre qq est appelé la raison de la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}.

خاصية

Si la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est une suite géométrique de raison q∈R∗\{1}q \in \mathbb{R}^{*}\backslash \{1\}, alors pour tout (n;p)∈I2(n ; p) \in I^{2} : un=up⋅qn−p et up+up+1+…+un=up⋅1−qn−p+11−q(n≥p)\\[0.2cm]u_{n}=u_{p} \cdot q^{n-p} \quad \text { et } \quad u_{p}+u_{p+1}+\ldots+u_{n}=u_{p} \cdot \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q} \quad(n \geq p)

Vidéo Rappel sur les suites : Suites géométriques
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LIMITE D'UNE SUITE NUMÉRIQUE

SUITE DE LIMITE INFINIE

تعريف

- On dit que la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} a pour limite +∞+\infty si tout intervalle \\ de type ]A,+∞[ ] A,+\infty[~, où  A>0~A>0, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.\\[0.2cm] On dit alors que la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} diverge vers +∞+\infty et on notera:

lim⁡n→+∞un=+∞  \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty~~ ou   lim⁡un=+∞.~~\lim u_{n}=+\infty.\\

- On dit que la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} a pour limite −∞-\infty si tout intervalle \\ de type ]−∞,−A[]-\infty,-A[, où  A>0~A>0, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.\\[0.2cm] On dit alors que la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} diverge vers −∞-\infty et on notera:

lim⁡n→+∞un=−∞  \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty~~ ou   lim⁡un=−∞~~\lim u_{n}=-\infty

image/svg+xml Remarque

- L'étude de la limite d'une suite numérique se fait seulement quand nn tend vers +∞ +\infty. C'est pour cela l'écriture lim⁡un\lim u_{n} suffit.\\[0.2cm] - Si k∈R+∗k \in \mathbb{R}_{+}^{*} alors on a l'implication :

lim⁡n→+∞un=+∞⇒lim⁡n→+∞kun=+∞\\ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} k u_{n}=+\infty\\[0.2cm]

- Une signification intuitive de l'écriture lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty est la suivante : \\ Chaque fois que l'entier nn prend des valeurs grandes, les termes unu_{n} prennent des valeurs positives et grandes telles qu'on puisse rendre ces termes plus grands que tout nombre AA donné à l'avance, à partir d'un certain rang. \\[0.2cm]- Une signification intuitive de l'écriture lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty est la suivante: \\ Chaque fois que l'entier nn prend des valeurs grandes, les termes unu_{n} prennent des valeurs négatives dont les valeurs absolues sont grandes et telles qu'on puisse rendre ces termes plus petits que tout nombre AA donné à l'avance, à partir d'un certain rang. \\[0.2cm] - On a les équivalences suivantes : lim⁡n→+∞un=+∞⇔lim⁡n→+∞(−un)=−∞\\[0.2cm]\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty \Leftrightarrow \lim\limits_ {n \rightarrow+\infty}\left(-u_{n}\right)=-\infty \\[0.2cm] lim⁡n→+∞un=−∞⇔lim⁡n→+∞(−un)=+∞\lim\limits_ {n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty \Leftrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(-u_{n}\right)=+\infty

LIMITE INFINIE DES SUITES USUELLES

خاصية

Soit pp un entier naturel supérieur ou égal à 4 . Alors: \\

∙\bullet lim⁡n→+∞n=+∞ ;\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n=+\infty  ;

∙\bullet lim⁡n→+∞n2=+∞ ;\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{2}=+\infty  ;

∙\bullet lim⁡n→+∞n3=+∞ ;\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{3}=+\infty  ;

∙\bullet lim⁡n→+∞np=+∞ ;\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n^{p}=+\infty  ;

∙\bullet lim⁡n→+∞n=+∞ ;\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \sqrt{n}=+\infty  ;

∙\bullet lim⁡n→+∞n3=+∞;\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{n}=+\infty ;

∙\bullet lim⁡n→+∞np=+∞ ;\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \sqrt[p]{n}=+\infty  ;

Vidéo Limites des suites de référence
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CONVERGENCE D'UNE SUITE NUMÉRIQUE

تعريف

Étant donné une suite numérique (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} et ℓ∈R\ell \in \mathbb{R}, on dit que (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} tend vers ℓ\ell, ou encore converge vers ℓ\ell, si tout intervalle ouvert centré en ℓ\ell contient tous les termes de la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} à partir d'un certain rang. \\ On écrit:   lim⁡n→+∞un=ℓ  ~~\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n}=\ell~~ ou   lim⁡un=ℓ~~\lim u_{n}=\ell

تعريف

On dit qu'une suite numérique est convergente si elle admet une limite réelle. \\ Dans le cas contraire, on dit qu'elle est divergente.

مثال

Montrons que la suite (un)n≥1\left(u_{n}\right)_{n \geq 1} définie par un=(−1)nu_{n}=(-1)^{n} est divergente :\\

Supposons par l'absurde que la suite (un)n≥1\left(u_{n}\right)_{n \geq 1} converge vers un réel ℓ.\ell.\\ Alors pour tout réel strictement positif rr, l'intervalle ouvert I=]ℓ−r;ℓ+r[\\I=] \ell-r ; \ell+r\left[\right. contient tous les termes de la suite (un)n≥1\left(u_{n}\right)_{n \geq 1} à partir d'un certain rang.\\[0.2cm] Donc pour  r=12, ~r=\frac{1}{2},~ il existe N∈NN \in \mathbb{N} tel que pour tout n≥Nn \geq N, on a : un∈]ℓ−12;ℓ+12[  \\[0.2cm]\left.u_{n} \in\right] \ell-\frac{1}{2} ; \ell+\frac{1}{2}[ ~~; c'est-à-dire :   (∀n≥N)∣(−1)n−ℓ∣<12.~~(\forall n \geq N)\left|(-1)^{n}-\ell\right|<\frac{1}{2}.\\[0.2cm] - Lorsque n≥Nn \geq N et nn est pair, on obtient : ∣1−ℓ∣<12;:~|1-\ell|<\frac{1}{2} ;\\ c'est-à-dire :  ℓ∈]12;32[~\left.\ell \in\right] \frac{1}{2} ; \frac{3}{2}[\\[0.2cm] - Lorsque n≥Nn \geq N et nn est impair, on obtient : ∣−1−ℓ∣<12;:~|-1-\ell|<\frac{1}{2} ;\\ c'est-à-dire :  ℓ∈]−32;−12[.~\left.\ell \in\right]-\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2}[.\\ Ceci est absurde car: ]12;32[∩]−32;−12[=∅ \quad ] \frac{1}{2} ; \frac{3}{2}[\cap]-\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2}[=\varnothing.

image/svg+xml Remarque

- Dire qu'une suite diverge (ou qu'elle est divergente), ne signifie pas qu'elle tend vers l'infinie.Cela signifie exactement que la suite n'a pas de limite ou qu'elle tend vers l'infini.\\ - La limite d'une suite numérique, lorsqu'elle existe, est unique.

CONVERGENCE DES SUITES USUELLES

خاصية

Soit kk un réel et pp un entier naturel non nul.\\ Alors:

lim⁡n→+∞knp=0\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{k}{n^{p}}=0 \quad et lim⁡n→+∞kn=0\quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{k}{\sqrt{n}}=0\\

En particulier :

lim⁡n→+∞1n=0;lim⁡n→+∞1n2=0;lim⁡n→+∞1n=0\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0 \quad ; \quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{2}}=0 \quad ; \quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=0

خاصية

Étant donné une suite numérique (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} et ℓ∈R\ell \in \mathbb{R}, alors on a les équivalences suivantes:

lim⁡n→+∞un=ℓ⇔lim⁡n→+∞(un−ℓ)=0\\ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=\ell \Leftrightarrow \lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}-\ell\right)=0\\

et  lim⁡n→+∞un=ℓ⇔lim⁡n→+∞∣un−ℓ∣=0~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=\ell \Leftrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left|u_{n}-\ell\right|=0

مثال

Soit (un)n≥1\left(u_{n}\right)_{n \geq 1} la suite numérique définie par:   un=3n2+(−1)nn2.~~u_{n}=\frac{3 n^{2}+(-1)^{n}}{n^{2}} .\\

Montrons que   lim⁡n→+∞un=3:~~\lim\limits_ {n \rightarrow+\infty} u_{n}=3:\\

On a pour tout n∈N∗:∣un−3∣=∣3n2+(−1)nn2−3∣=∣(−1)nn2∣=1n2n \in N^{*}:\\[0.2cm]\left|u_{n}-3\right|=\left|\frac{3 n^{2}+(-1)^{n}}{n^{2}}-3\right|=\left|\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right|=\frac{1}{n^{2}}\\[0.2cm] Comme  lim⁡n→+∞1n2=0, ~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{2}}=0, ~ alors  lim⁡n→+∞∣un−3∣=0.~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left|u_{n}-3\right|=0.\\[0.2cm] Par suite:  lim⁡n→+∞un=3~\lim\limits_ {n \rightarrow+\infty} u_{n}=3.

OPÉRATIONS SUR LES LIMITES FINIES

خاصية

Soit (un)n≥n0 \left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}~ et  (vn)n≥n0~\left(v_{n}\right)_{n \geq n_{0}} deux suites numériques convergentes. Alors: \\[0.2cm]- La suite  (un+vn)n≥n0 ~\left(u_{n}+v_{n}\right)_{n \geq n_{0}}~ est convergente et de plus:

lim⁡(un+vn)=lim⁡(un)+lim⁡(vn).\\ \lim \left(u_{n}+v_{n}\right)=\lim \left(u_{n}\right)+\lim \left(v_{n}\right).\\[0.2cm]

- Pour tout λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, la suite  (λun)n≥n0 ~\left(\lambda u_{n}\right)_{n \geq n_{0}}~ est convergente et de plus:

lim⁡(λun)=λlim⁡(un).\\ \lim \left(\lambda u_{n}\right)=\lambda \lim \left(u_{n}\right).\\[0.2cm]

- La suite  (unvn)n≥n0 ~\left(u_{n} v_{n}\right)_{n \geq n_{0}}~ est convergente et de plus :

lim⁡(unvn)=lim⁡(un)×lim⁡(vn).\\ \lim \left(u_{n} v_{n}\right)=\lim \left(u_{n}\right) \times \lim \left(v_{n}\right).\\[0.2cm]

- Si  lim⁡(vn)≠0, ~\lim \left(v_{n}\right) \neq 0, ~ alors la suite  (unvn)n≥n0 ~\left(\frac{u_{n}}{v_{n}}\right)_{n \geq n_{0}}~ est convergente et de plus:

lim⁡(unvn)=lim⁡(un)lim⁡(vn)\\ \lim \left(\frac{u_{n}}{v_{n}}\right)=\frac{\lim \left(u_{n}\right)}{\lim \left(v_{n}\right)}

مثال

1) Soit (un)n≥1\left(u_{n}\right)_{n \geq 1} la suite numérique définie pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} par:

un=3−1n+4n\\ u_{n}=3-\frac{1}{n}+\frac{4}{\sqrt{n}}\\[0.2cm]

On a : lim⁡n→+∞un=3−lim⁡n→+∞1n+lim⁡n→+∞4n=3\\[0.2cm] \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=3-\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}+\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{4}{\sqrt{n}}=3 \\[0.2cm] (car   lim⁡n→+∞1n=lim⁡n→+∞4n=0)~~ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{4}{\sqrt{n}}=0)\\[0.3cm]

2) Soit (vn)\left(v_{n}\right) la suite définie par :  vn=2n+73n−2.~v_{n}=\frac{2 \sqrt{n}+7}{3 n-2}.\\[0.2cm] On a:  lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞n(2+7n)n(3−2n)=lim⁡n→+∞1n×2+7n3−2n~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{n}\left(2+\frac{7}{\sqrt{n}}\right)}{n\left(3-\frac{2}{n}\right)}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \times \frac{2+\frac{7}{\sqrt{n}}}{3-\frac{2}{n}}\\[0.2cm] Puisque  lim⁡n→+∞1n=lim⁡n→+∞2n=lim⁡n→+∞7n=0,~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{2}{n}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{7}{\sqrt{n}}=0,\\[0.2cm] alors  lim⁡n→+∞vn=0~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}=0\\[0.3cm]

3) Calculons la limite de la suite  (wn) ~\left(w_{n}\right)~ définie par:

wn=4n2+2n+1−2n.\\w_{n}=\sqrt{4 n^{2}+2 n+1}-2 n.\\[0.2cm]

On a: lim⁡n→+∞wn=lim⁡n→+∞(4n2+2n+1−2n)=lim⁡n→+∞4n2+2n+1−4n24n2+2n+1+2n=lim⁡n→+∞2n+14n2+2n+1+2n\\ \begin{aligned} \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} w_{n} &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{4 n^{2}+2 n+1}-2 n\right)\\[0.2cm] &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{4 n^{2}+2 n+1-4 n^{2}}{\sqrt{4 n^{2}+2 n+1}+2 n}\\[0.2cm] &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{2 n+1}{\sqrt{4 n^{2}+2 n+1}+2 n}\end{aligned}\\[0.2cm] Par conséquent: lim⁡n→+∞wn=lim⁡n→+∞n(2+1n)n2(4+2n+1n2)+2n=lim⁡n→+∞n(2+1n)n((4+2n+1n2)+2)=lim⁡n→+∞2+1n(4+2n+1n2)+2\\ \begin{aligned} \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} w_{n}&=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n^{2}\left(4+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)}+2 n}\\[0.2cm] &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}{n\left(\sqrt{\left(4+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)}+2\right)} \\[0.2cm] &=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{2+\frac{1}{n}}{\sqrt{\left(4+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)+2}}\end{aligned} \\[0.2cm] Puisque  lim⁡n→+∞1n=0  ~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0~~ et   lim⁡n→+∞1n2=0~~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{2}}=0\\[0.2cm] alors:   lim⁡n→+∞wn=2+04+2=12~~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} w_{n}=\frac{2+0}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2}

تطبيق

Calculer la limite de chacune des suites suivantes définies par: un=2n−77n+3;vn=n2−3n+4n2+5n+7wn=2n−3n3+3n2+1;xn=(n+4)(−3n2+1)5n3+8nan=n+3−n+2;bn=9n2−4n+5−3n+2cn=(n+1)1n53\begin{aligned} u_{n}=\frac{2 \sqrt{n}-7}{7 \sqrt{n}+3} \quad \quad ; \quad \quad &v_{n}=\frac{n^{2}-3 n+4}{n^{2}+5 n+7} \\[0.3cm] w_{n}=\frac{2 n-3}{n^{3}+3 n^{2}+1}\quad \quad ; \quad \quad & x_{n}=\frac{(n+4)\left(-3 n^{2}+1\right)}{5 n^{3}+8 n}\\[0.3cm] a_{n}=\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2} \quad \quad ; \quad \quad & b_{n}=\sqrt{9 n^{2}-4 n+5}-3 n+2 \\[0.3cm] c_{n}=(n+1) \sqrt[3]{\frac{1}{n^{5}}}\end{aligned}

EXTENSION DES OPÉRATIONS SUR LA LIMITE D'UNE SUITE

On admet que les résultats sur les limites des fonctions restent valables pour les limites des suites: \\ - Limite de la somme :

lim⁡un\lim u_{n} ℓ\ell ℓ\ell ℓ\ell +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty
lim⁡vn\lim v_{n} ℓ′\ell^{\prime} +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty
lim⁡(un+vn)\lim (u_{n}+v_{n}) ℓ+ℓ′\ell+\ell^{\prime} +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty −∞-\infty F.IF.I

Limite du produit :

lim⁡un\lim u_{n} ℓ\ell +∞+\infty +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty +∞+\infty +∞ ou −∞+\infty ~\text{ou} \\ ~-\infty
lim⁡vn\lim v_{n} ℓ′\ell^{\prime} ℓ′>0\ell^{\prime}>0 ℓ′<0\ell^{\prime}<0 +∞+\infty −∞-\infty +∞+\infty 00
lim⁡(un.vn)\lim (u_{n}.v_{n}) ℓ.ℓ′\ell.\ell^{\prime} +∞+\infty −∞-\infty −∞-\infty +∞+\infty +∞+\infty F.IF.I

Limite de l'inverse:

lim⁡un\lim u_{n} ℓ≠0\ell \neq 0 +∞ ou −∞+\infty ~\text{ou}~ -\infty 00
lim⁡1un\lim \frac{1}{u_{n}} 1ℓ\frac{1}{\ell} 00 lim⁡1∣un∣=+∞\lim \frac{1}{\left|u_{n}\right|}=+\infty

LIMITES ET ORDRE

Soit  (un)n≥n0et⁡(vn)n≥n0~\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} \operatorname{et}\left(v_{n}\right)_{n \geq n_{0}} deux suites numériques convergentes. Alors: \\[0.2cm] - Si la suite (un)n≥n0\left(u_{n}\right)_{n \geq n_{0}} est positive, alors:   lim⁡un≥0~~\lim u_{n} \geq 0\\[0.2cm] - Si un≤vnu_{n} \leq v_{n} pour tout entier n≥n0n \geq n_{0}, alors:   lim⁡un≤lim⁡vn~~\lim u_{n} \leq \lim v_{n}.

image/svg+xml Remarque

- Une suite strictement positive (à partir d'un certain rang) et convergente peut avoir une limite nulle. Par exemple:\\ On a :  1n>0~\frac{1}{n}>0 pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, mais  lim⁡n→+∞1n=0.~\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0.\\[0.2cm] De façon générale, le passage à la limite fait perdre les inégalités strictes.\\[0.2cm] - Si (un)n≥6\left(u_{n}\right)_{n \geq{6}} est une suite convergente pour laquelle on souhaite montrer que la limite est strictement positive, alors il suffit de chercher un réel m>0m>0 tel que un≥mu_{n} \geq m à partir d'un certain rang.

MONOTONIE ET CONVERGENCE

نظرية

- Toute suite croissante majorée est convergente. \\[0.2cm] - Toute suite décroissante minorée est convergente.\\ Ce résultat porte le nom de "" Théorème de la convergence monotone "".

انتباه

  Le théorème ci-dessus assure la convergence de la suite mais ne détermine pas sa limite.

CRITÈRES DE CONVERGENCE DE LA LIMITE D'UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE

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Les suites numériques
Sommaire du cours
  1. GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES NUMÉRIQUES (RAPPEL)
    1. SUITE MAJORÉE - SUITE MINORÉE - SUITE BORNÉE
    2. MONOTONIE D'UNE SUITE NUMÉRIQUE
    3. SUITE ARITHMÉTIQUE
    4. SUITE GÉOMÉTRIQUE
  2. LIMITE D'UNE SUITE NUMÉRIQUE
  3. CRITÈRES DE CONVERGENCE DE LA LIMITE D'UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE
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