-
-
Maths
Calcul Trigonométrique
1ère année bac Sciences Expérimentales Maths Calcul Trigonométrique fiche de cours
La géométrie est une branche en mathématiques, et durant les années précédentes nous avons découvert des théorèmes permettant de calculer la longueur des côtés notamment dans un triangle, à titre d’exemple : Pythagore, Thalès…Mais, ces théorèmes permettent seulement d’établir des relations entre un côté et un autre. Les mathématiciens ont introduit un concept consistant à lier la mesure des côtés avec la mesure des angles dans un triangle rectangle nommé le calcule trigonométrie.$\\$
Nous définissons le sinus, le cosinus et tangente par :$\\$
$\begin{aligned}\sin (\widehat{ACB}) &=\frac{\text { côté opposé à } \widehat{ACB}}{\text { Hypoténuse }} \\[0.2cm] \cos (\widehat{ACB}) &=\frac{\text { côté adjacent à } \widehat{ACB}}{\text { Hypoténuse }} \\[0.2cm] \tan (\widehat{ACB}) &=\frac{\text { côté opposé à } \widehat{ACB}}{\text { côté adjacent à } \widehat{ACB}}\end{aligned}$
Rappel
Notions de base
تعريف
Le cercle trigonométrique est une illustration permettant de mettre en évidence les angles en radian et les trois fonctions trigonométriques : Cosinus, Sinus et tangent. Pratiquement, c’est un cercle :
- De centre $O(0;0)$ l’origine du plan
- De Rayon $~R=1$
- Orienté positivement
- $I$ un point pour entamer le calcul.
Remarque
Soit $\boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ un point de cercle corresponde à l'angle $\boldsymbol{t}=(\overrightarrow{\boldsymbol{O I}}, \overrightarrow{\boldsymbol{OM}})$, alors
Résultats
1. $\forall x \in \mathbb{R}, ~~ -1 \leq \cos (x) \leq 1~$ et $~-1 \leq \sin (x) \leq 1\\[0.2cm]$
2. $\forall x \in \mathbb{R}, ~~\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1~$ Car le rayon est $1$ et l'origine de cercle c'est $O\\[0.2cm]$
3 . $ \forall x \in \mathbb{R}, ~~ \sin (x+2 \pi)=\sin (x)~$ et $~\cos (x+2 \pi)=\cos (x)\\[0.2cm]$
4. $\forall x \in \mathbb{R}~ \backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi\right. ~$ avec $~\left.k \in Z\right\}, ~~\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \\[0.2cm]$
5. Les deux fonctions : Sinus et tangente sont impaires. $\\[0.2cm]$
6. La fonction Cosinus est paire.
Le tableau des angles usuelles
Les équations trigonométriques
Equation $ ~\cos (x)=a $
خاصية
Considérons l'équation $\cos (x)=a$ avec $a \in \mathbb{R}: $
1. Si $a \in]-\infty ;-1[\mathrm{U}] 1 ;+\infty[$ alors l'équation n'admet pas de solution $\\[0.2cm]$
2. Si $a=1$ alors les solutions de l'équation sont : $ 2 \pi k$ avec $k \in Z\\[0.2cm]$
3. Si $a=-1$ alors les solutions de l'équation sont: $ \pi+2 \pi k$ avec $k \in Z\\[0.2cm]$
4. Si $-1<a<1$ alors $\exists \alpha \in] 0, \pi[$ vérifiant $\cos (\alpha)=a$
alors l'ensemble des solutions d'équation est :
$S=\{\alpha+2 k \pi, k \in Z\} \cup\{-\alpha+2 k \pi, k \in Z\}\\[0.2cm]$
Généralement, les solutions de l'équation $\cos (u(x))=\cos (v(x)) $, avec $u$ et $v$ deux fonctions,$\\[0.2cm]$ sont : $\left\{\begin{array}{l}u(x)=v(x)+2 k \pi, ~k \in Z \\[0.2cm] u(x)=-v(x)+2 k \pi,~ k \in Z\end{array} \right. $
Equation $ ~\sin (x)=a $
خاصية
Considérons l'équation $\sin (x)=a$ avec $a \in \mathbb{R}: \\[0.2cm]$
1. Si $a \in]-\infty ;-1[\cup] 1 ;+\infty[$ alors l'équation n'admet pas de solution $\\[0.2cm]$
2. Si $a=1$ alors les solutions de l'équation sont $: \frac{\pi}{2}+2 \pi k~$ avec $k \in Z\\[0.2cm]$
3. Si $a=-1$ alors les solutions de l'équation sont $:-\frac{\pi}{2}+2 \pi k~$ avec $k \in Z\\[0.2cm]$
4. Si $-1<a<1$ alors $\exists \alpha \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ vérifiant $\sin (\alpha)=a$ alors l'ensemble des solutions d'équation est : $\\[0.2cm]S=\{\pi-\alpha+2 k \pi, k \in Z\} \cup$ $\{\alpha+2 k \pi, k \in Z\}\\[0.2cm]$ Généralement, les solutions de l'équation $\sin (u(x))=\sin (v(x)) $, avec $u$ et $v$ deux $\\[0.2cm]$ fonctions, sont: $\left\{\begin{array}{c}u(x)=v(x)+2 k \pi, k \in Z \\[0.2cm] u(x)=\pi-v(x)+2 k \pi, k \in Z\end{array}\right.$
Equation $ ~\tan (x)=a $
Considérons l'équation $\tan (x)=a\quad $(E) avec $a \in \mathbb{R},~$ alors il existe un et un seul nombre appartient à l'intervalle $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ vérifiant $: \tan (\alpha)=a$ et l'ensemble des solutions de $(E) $ est $:\{\alpha+k \pi, k \in Z\} . \\[0.2cm]$ Généralement, les solutions de l'équation $\tan (u(x))=\tan (v(x)) $, $\\[0.2cm]$ avec $u(x) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi ~$ et $~v(x) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi ~$ pour tout $~ x \in \mathbb{R} ~$ et $~ k \in \mathbb{Z}\\[0.2cm]$ Donc les solutions seront l'ensemble des réels $x : ~u(x)=v(x)+k \pi,~ k \in \mathbb{R}$
Les inéquations trigonométriques
La résolution des inéquations liée fortement à la partie précédente, car la première étape pour aboutir à l’ensemble des solutions dans un intervalle est la résolution de l’équation correspondante. Nous traiterons des exemples concrètes afin d’assimiler chaque type d’inéquation :
Inéquation Cosinus
مثال
Résoudre l’inéquation suivante dans $ [-\pi, \pi] $ : $\cos (x) \geq \frac{1}{2}$ Corrigé exemple Etape 1 : la résolution de l’équation correspondante, autrement $ \cos (x)=\frac{1}{2} $ $\cos (x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos (x)=\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\left \{\begin{array}{c}\frac{\pi}{3}+2 k \pi, k \in Z \\[0.2cm]-\frac{\pi}{3}+2 k \pi, k \in Z\end{array}\right.\\[0.2cm]$ Puisque nous travaillons dans $[-\pi, \pi]$ alors les deux points admissibles sont : $\frac{\pi}{3}$ et $-\frac{\pi}{3}\\[0.2cm]$ Etape 2 : il s'agit de déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation en se basant sur les deux points $: \frac{\pi}{3}$ et $-\frac{\pi}{3}$, puisque l'équation est en cosinus donc nous cherchons les abscisses dont la valeur est plus que $\frac{1}{2}$ mais en restant toujours dans l'intervalle $[-\pi, \pi] \\[0.2cm]$ Pour expliciter les solutions il faut revenir au cercle trigonométrique : Donc l'ensemble des solutions est l'arc :$ S=\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$
Inéquation sinus
مثال
Résoudre l’inéquation suivante dans $[0,2 \pi]: $ $\sin (x) \geq \frac{1}{2}$ Corrigé exemple Etape 1: la résolution de l'équation correspondante, donc $\sin (x)=\frac{1}{2}\\[0.2cm]$ $\sin (x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (x)=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{\pi}{6}+2 k \pi, k \in Z \\[0.2cm]\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi, k \in Z\end{array}\right.\\[0.2cm]$ Puisque nous travaillons dans $[0,2 \pi] $ alors les deux points admissibles sont $: \frac{\pi}{6}$ et $\frac{5 \pi}{6}\\[0.3cm]$ Etape 2 : il s'agit de déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation en se basant sur les deux points $: \frac{\pi}{6}$ et $\frac{5 \pi}{6},$ puisque l'équation est en sinus donc nous cherchons les ordonnées dont la valeur est plus que $\frac{1}{2}$ mais en restant toujours dans l'intervalle $ [0,2 \pi]\\[0.2cm]$ Pour expliciter les solutions il faut revenir au cercle trigonométrique Donc l’ensembles des solutions est l’arc en bleu : $ S=\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right] $
Inéquation de tangente
مثال
Résoudre l’inéquation suivante dans $ [0,2 \pi]: \tan (x)-1 \geq 0 $ Corrigé exemple Etape 1 : la résolution de l’équation correspondante, $\\[0.2cm]$ donc $~\tan (x)-1=0 \Leftrightarrow \tan (x)=1\\[0.2cm]$ On a $~\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)=1\\[0.2cm]$ alors $~\tan (x)=1 \Leftrightarrow \tan (x)=\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{R}\\[0.2cm]$ Puisque nous travaillons dans $[0,2 \pi]$ alors les deux points admissibles sont : $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{5 \pi}{4}\\[0.3cm]$ Etape 2 : il s’agit de déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation en se basant sur les deux points : $ \frac{\pi}{4}$ et $\frac{5 \pi}{4} \\[0.2cm]$ puisque l’équation est en tangent donc nous cherchons les points $M(x,y)$ sur le cercle trigonométrique dont la valeur de point d’intersection entre la droite tangente à l’origine et la droite de vecteur directeur $ \overrightarrow{O M}$ est supérieur ou égale à $1$ mais en restant toujours dans l’intervalle $ [0,2 \pi].\\[0.2cm]$ Pour expliciter les solutions il faut revenir au cercle trigonométrique Donc l’ensembles des solutions est les deux arcs : $ S=\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\left[\cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}[\right.\right.\right. $
Formules Trigonométriques
Pour continuer cette fiche de cours, Inscris-toi gratuitement sur Kezakoo
- Fiches de cours illimitées
- Une vidéo gratuite par leçon
- 2 exercices gratuits par leçon
- Un test gratuit par leçon
Signaler une erreur