تعريف
La fonction $f$ est un procédé qui à chaque nombre $x$ appartenant à l’ensemble $ D_{f} $ associe un nombre $ f(x) \in F.$
On note :
$\begin{aligned} f :~ D_{f} &\rightarrow F\\ x &\rightarrow f(x)\end{aligned}$
On dit que $~ f(x)$ est l'image de $x$ par la fonction $f$.
On dit que $x$ est l'antécédent de $f(x)$ par la fonction $f$.
تعريف
Le domaine de définition d’une fonction $f $ est l’ensemble de nombres réels qui possèdent une image calculable par cette fonction. On note $ D_{f} $ l’ensemble de définition de la fonction $f$.
تطبيق
$\begin{aligned} \text{1-} ~f: D_{f} &\mapsto F\\x &\mapsto x^{2}+x+1 \end{aligned}\\$
est une fonction dite polynomiale avec $~D_{f}=\mathbb{R}\\[0.3cm]$ 2- $g(x)=\frac{2 x}{x-1}\quad$ est une fonction sous forme d'une fraction $\\$ avec $D_{g}=\mathbb{R} \backslash\{1\}\\[0.2cm]$ En effet, $g$ est bien défini si et seulement si le dominateur est non nul . $\\$ Donc $ D_{g}=\{x \in \mathbb{R}~ / ~x-1 \neq 0\}=\{x \in \mathbb{R} ~ / ~x \neq 1\}$ d'où le résultat . $\\[0.3cm]$ 3- $h(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x+1}} \quad $ est une fonction irrationnelle avec $D_{h}= ]\frac{-1}{2},+\infty]$ $\\$
En effet, $ h$ est bien défini si et seulement $ \sqrt{2 x+1} \neq 0~$ et $ ~2 x+1 \geq 0\\[0.2cm]$ Donc
$\begin{aligned}D_{h} &=\{x \in \mathbb{R} / \sqrt{2 x+1} \neq 0 \}~~\text{et}~~2 x+1 \geq 0 \\[0.2cm]& ={x \in \mathbb{R}~/ ~2 x+1 \neq 0 ~~\text{et} ~~2 x+1 \geq 0} \\[0.2cm]& \left.={x \in \mathbb{R}~~ / ~~2 x+1>0}\\= ]\frac{-1}{2},+\infty\right.[\end{aligned}$
ما يجب معرفته
La représentation graphique ou courbe d'une fonction est l'ensemble, noté $\left(C_{f}\right),$ des points $M(x, f(x))~$ tel que $x\in D_{f} .$
On écrit $\quad \left(C_f\right)=\left\{M(x, f(x)) ~/ ~x \in D_{f}\right\}$.
تطبيق
1- La représentation graphique de la fonction $ f(x)=2 x $ est une droite passant par l’origine. $\\[0.2cm]$ 2- La représentation graphique de la fonction $ g(x)=\frac{x^{2}}{2}$ est une parabole
3- La représentation graphique de $ ~h(x)=\frac{2 x-1}{\sqrt{x^{2}+1}} $
تعريف
Une fonction $f $ de domaine de définition $D_{f}$ est paire si et seulement si $\\$ pour tout $ x \in D_{f} $ :
خاصية
Une fonction $f$ est paire si et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
تطبيق
$ f(x)=x^{2} $: $\\$ En utilisant la définition , $~D_{f}=\mathbb{R} $ car $ f $ est polynomiale. $\\$ Soit $ x \in \mathbb{R} $ alors évidement $-x \in \mathbb{R} \\$ Alors ,$ ~f(x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x) $
d'où la fonction est paire .$\\$
Graphiquement, la fonction est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées comme l’illustre la figure ci-dessous :$\\$
تعريف
Une fonction $f$ de domaine de définition $D_{f}$ est impaire si et seulement si $\\$ pour tout $ x \in D_{f}$ :
خاصية
Une fonction $f$ est paire si et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.
تطبيق
$ f(x)=x^{3} : \\$ En utilisant la définition, $D_{f}=\mathbb{R}$ car $ f $ est polynomiale. $\\$ Soit $ x \in \mathbb{R}~ $ alors évidement $-x \in \mathbb{R} \\$
Alors, $~ f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$ d'où la fonction est impaire. $\\$
Graphiquement, la fonction est symétrique par rapport à l’origine du repère comme l’illustre la figure ci-dessous : $\\$
تعريف
Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}$, soit $m$ et $M$ deux réels. Alors,
$\bullet$ $f $ est majorée par $ ~M \Leftrightarrow \forall x \in D_{f} ,~ f(x) \leq M \\[0.2cm]$
$\bullet$ $f$ est minorée par $ ~m \Leftrightarrow \forall x \in D_{f} , ~f(x) \geq m \\[0.2cm] $
$\begin{aligned} \bullet~ f ~\text{est bornée} ~&\Leftrightarrow ~f~ \text{est majorée et minorée}\\ ~&\Leftrightarrow \forall x \in D_{f}, ~m \leq f(x) \leq M \end{aligned}$
ما يجب معرفته
Parfois le nombre $m$ ou $M$ n’est pas donné explicitement, c’est aux étudiants de le déterminer, dans ce cas la définition est :
$\bullet$ $f $ est majorée $\Leftrightarrow \exists ~M \in \mathbb{R}, ~\forall x \in D_{f}, ~f(x) \leq M \\[0.2cm]$
$\bullet$ $ f $ est minorée $\Leftrightarrow \exists ~m \in \mathbb{R}, ~\forall x \in D_{f}, ~f(x) \geq m \\[0.2cm]$
$\begin{aligned} \bullet ~ f ~\text{est bornée}~ &\Leftrightarrow f ~\text{est majorée et minorée} \\ &\Leftrightarrow \exists ~(m, M) \in {\mathbb{R}} \times {\mathbb{R}} , ~\forall {x} \in {D}_{f},~m \leq f(x) \leq M \end{aligned}$
تطبيق
1- $f(x)=x^{2}$ est minorée par $0$ car $~\forall x \in \mathbb{R} , ~x^{2} \geq 0 \\[0.3cm]$ 2- Soit $ g $ la fonction définie sur $[1,+\infty[~$ par $~g(x)=\frac{1}{x} \\[0.2cm]$ Alors, $g $ est majorée par $ 1$ puisque $\forall x \in\left[1,+\infty\left[, ~x \geq 1 \Rightarrow \frac{1}{x} \leq 1\right.\right. \\[0.3cm]$ 3- Les deux fonctions: $h_{1}(x)=\sin (x)$ et ${h}_{2}(x)=\cos (x) $ sont bornées car :
$ \forall x \in \mathbb{R} ,~-1 \leq \sin (x) \leq 1 \quad$ et $\quad-1 \leq \cos (x) \leq 1 $
1- Le graphe d’une fonction majorée par $M$ situé au-dessous de la droite $y=M $ $\\$La fonction ici c'est $ f(x)=-x^{2}$ est majorée par $1$ car $-x^{2} \leq 0 \leq 1 \\[0.3cm]$ 2- Le graphe d’une fonction minorée par $m$ situé au-dessus de la droite $y=m $
$\\$La fonction ici c'est $ f(x)=x^{2}$ est minorée par $-1$ car $x^{2} \geq 0 \geq-1 \\[0.3cm]$ 3- Le graphe d’une fonction bornée situé entre deux droites $ y=M$ et $y=m $
$\\$La fonction ici c'est $ f(x)=\sin (x) $
تعريف
Soit $ f $ une fonction numérique de domaine définition $ D_{f}$, soit $ \alpha \in D_{f} $
$\forall x \in D_{f}, \quad f(x) \leq f(\alpha)\\$
On écrit, $ \quad\max _{x \in D_{f}} f(x)=f(\alpha)\\[0.2cm]$
$\forall x \in D_{f}, \quad f(x) \geq f(\alpha)\\$
On écrit, $\quad \min _{x \in D_{f}} f(x)=f(\alpha)$
تعريف
Soit $f $ une fonction numérique de domaine définition $D_{f} $
$\forall x \in I,~~ f(x) \leq f(\alpha) \\[0.2cm]$
$\forall x \in I, ~~f(x) \geq f(\alpha)$
Un extrême absolu est relatif mais le contraire ce n’est pas toujours correct.
حيلة
تطبيق
Soit $f$ la fonction définie par $ f(x)=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3} $
حيلة
Pour montrer que la fonction $f$ est majorée par $M$ ou minorée par $m$ on effectue la différence entre le nombre et la fonction puis on vérifie le signe du résultat obtenu
Corrigé de l’exercice
1- La fonction est une fraction alors, $D_{f}=\left\{x \in \mathbb{R} / x^{2}+3 x+3 \neq 0\right\}\\[0.2cm]$ Puisque $~\Delta=3^{2}-4 \times 3=-3<0~$ donc $~x^{2}+3 x+3>0~$ (signe de coefficient de $x^{2}$ ) $\\[0.2cm]$ D'où $D_{f}=\mathbb{R}\\[0.3cm]$ 2- L’astuce de cette question c’est d’effectuer à chaque fois la différence entre le nombre et la fonction puis on vérifie le signe du résultat obtenu.
3. $1$ est minimum car l'équation $f(x)=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}=1~$ admet une solution dans $\mathbb{R}.\\[0.2cm]$ En effet, $\\$
$\begin{aligned} \frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}=1 & \Leftrightarrow 2 x^{2}+7 x+7=x^{2}+3 x+3 \\ & \Leftrightarrow x^{2}+4 x+4=(x+2)^{2}=0\\ &\Leftrightarrow x=-2 \end{aligned}$ $\\[0.2cm]$ Donc $\quad \forall x \in \mathbb{R}, ~~f(x) \geq f(-2)$ $\\[0.2cm]\frac{7}{3}$ est un maximum puisque $f(0)=\frac{7}{3}~$ donc $~\forall x \in \mathbb{R} \quad f(x) \leq f(0)$
تعريف
Soit $ f $ une fonction numérique de domaine de définition $ D_{f}$ et $I \subset D_{f}$ un intervalle.
$\forall(x, y) \in I^{2}, \quad x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y) $
$\forall(x, y) \in I^{2}, \quad x<y \Rightarrow f(x)<f(y) $
ما يجب معرفته
La fonction croissante garde le même ordre des éléments.
تطبيق
تعريف
Soit $ f $ une fonction numérique de domaine de définition $ D_{f}$ et $ I \subset D_{f}$ un intervalle.
$\forall(x, y) \in I^{2}, \quad x \leq y \Rightarrow f(x) \geq f(y) $
$\forall(x, y) \in I^{2}, \quad x<y \Rightarrow f(x)>f(y) $
ما يجب معرفته
La fonction décroissante ne garde pas le même ordre des éléments
تطبيق
تعريف
Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}$ et $I \subset D_{f} $ un intervalle.
ما يجب معرفته
Une fonction qui s'écrit sous forme $f(x)=a$ avec $a \in \mathbb{R}$ est dite constante.
تعريف
Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}, ~I \subset D_{f}$ un intervalle et $(a, b) \in I^{2}$ tel que $a \neq b .\\[0.2cm]$ Alors, le nombre $T_{(a, b)}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ s'appelle le taux d'accroissement ou de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $b$.
نظرية
Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f},~ I \subset D_{f}$ un intervalle.
تطبيق
1- Soit $f$ la fonction définie par : $\quad \forall x \in \mathbb{R}^{*}, ~~f(x)=\frac{1}{x}$
On considère l'intervalle $: I=\mathbb{R}^{*+}$ alors $f$ est décroissante sur $I\\[0.2cm]$ En effet, soit $(a, b) \in I^{2}~$ avec $~a \neq b, \\$
$T_{(a, b)}=\frac{f(a)-f(b)}{a b}=\frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}{a-b}=-\frac{1}{a b} \leq 0\\[0.5cm]$ 2- Soit $g$ la fonction définie par $\forall x \in \mathbb{R}^{+}, ~g(x)=\sqrt{x}\\$ On considère l'intervalle $: J=\mathbb{R}^{+}$ alors la fonction est croissante sur $J\\[0.2cm]$ En effet, $(a, b) \in J^{2},~ a \neq b$,
$T_{(a, b)}=\frac{g(a)-g(b)}{a-b}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \geq 0\\[0.5cm]$ 3- Soit $g$ la fonction définie par $h(x)=4 x^{2}+1\\$ On considère l'intervalle $: K=\mathbb{R}^{+}~$ alors la fonction $g$ est croissante sur $K\\$ En effet, $(a, b) \in K^{2} ,~a \neq b$ $\\[0.2cm] \begin{aligned}T_{(a, b)}=\frac{h(a)-h(b)}{a-b} &=\frac{4 a^{2}+1-4 b^{2}-1}{a-b} \\&=\frac{4(a-b)(a+b)}{(a-b)}=4(a+b) \geq 0\end{aligned}$
خاصية
Soit $f$ une fonction numérique paire de domaine définition $D_{f} .\\$ soit $I \subset D_{f} \cap \mathbb{R}^{+}$ un intervalle et $I^{\prime}$ son symétrique par rapport l'origine.
Soit $f$ une fonction numérique impaire de domaine définition $D_{f}.\\$ soit $I \subset D_{f} \cap \mathbb{R}^{+}$ un intervalle et $I^{\prime}$ son symétrique par rapport l'origine.
ما يجب معرفته
Un intervalle $ I^{\prime}$ est symétrique par rapport à l'origine de $I $ revient à tracer le schéma suivant: Par exemple, si $~I=[a, b] ~$ alors $~I^{\prime}=[-b,-a] $
برهان
Nous allons montrer la proposition dans le cas où la fonction $f$ est pair, l'autre cas se fait par le même raisonnement. $\\[0.2cm]$ En effet, on suppose que $f$ une fonction numérique paire de domaine de définition $D_{f} .\\$
soit $I \subset$ $D_{f} \cap \mathbb{R}^{+}$ un intervalle et $I^{\prime}$ son symétrique par rapport l'origine.$\\$
Soit $\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right) \in I^{\prime} \times I^{\prime}$ alors
$\\\exists(a, b) \in I \times I ~$ tels que $: ~~a^{\prime}=-a$ et $b^{\prime}=-b\\[0.2cm]$ $T_{f}^{\prime}=\frac{f\left(a^{\prime}\right)-f\left(b^{\prime}\right)}{a^{\prime}-b^{\prime}}=\frac{f(-a)-f(-b)}{b-a}$ $\quad=-\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=-T_{f}\\[0.2cm]$
Donc si $f$ est croissante sur $I$ alors $T_{f} \geq 0$ donc
$T_{f}^{\prime} \leq 0 \Rightarrow f~$ est décroissante sur $I^{\prime}$ et vice versa.
تعريف
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I$ et $g$ la fonction définie sur l'intervalle $J\\$ tel que : $f(I) \subset J,$ autrement dit $(\forall x \in I, ~~f(x) \in J)\\$ La composée de $f$ et $g$ est la fonction notée: $g \circ f$ définie sur $I$ par:
$\forall x \in I, \quad g\circ f(x)=g(f(x))\\[0.2cm]$
Le schéma suivant illustre bien les trois fonctions $f, g$ et $g\circ f$ :
ما يجب معرفته
Le domaine de définition d’une fonction composée est :
$\\[0.2cm]D_{g \circ f}=\left\{x \in \mathbb{R} / ~x \in D_{f} ~~\text { et }~~ f(x) \in D_{g}\right\}$
خاصية
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dont les ensembles des définitions respectifs $D_{f}$ et $D_{g}$
soient $I$ un intervalle de $D_{f}$ et $J$ un intervalle de $D_{g}$ tels que $f(I)=J$
تطبيق
Soit les fonctions $ g(x)=x^{2}+5 x-1$ et $f(x)=3 x+2 $
Corrigé
1- Les fonctions $f$ et $g$ sont polynomiales alors $D_{f}=\mathbb{R}~$ et $~D_{g}=\mathbb{R}\\[0.2cm]$ En plus, $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}~$ et $~g(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ donc on a le droit de parler de $f\circ g$ et $g\circ f\\[0.2cm]$ D'après la remarque ci-dessus, $ D_{f\circ g }=\mathbb{R}=D_{g\circ f } \\[0.5cm]$ 2- Soit $ x \in \mathbb{R},~$ alors
$f\circ g(x)=f(g(x))=f\left(x^{2}+5 x-1\right)=3 x^{2}+15 x-1 \\$
Soit $x \in \mathbb{R}, $ alors :
$\begin{aligned} g\circ f(x)&=g(f(x))\\ &=g(3 x+2) \\ &=(3 x+2)^{2}+5(3 x+2)-1\\ &=9 x^{2}+27x+13\end{aligned}$
حيلة
Nous déterminons la monotonie d’une fonction non usuelle en cherchant à l’écrire comme une composée de deux fonctions dont la monotonie est connue.
$x \leq y \Rightarrow x^{2} \leq y^{2}$ $\Rightarrow x^{2}+1 \leq y^{2}+1 \Rightarrow h_{1}(x) \leq h_{2}(y)$
et $~h_{2}\left(\mathbb{R}^{+}\right)=\left[1,+\infty\left[\right.\right.\\[0.2cm]$ en effet : soit $x \in \mathbb{R}^{+} \Rightarrow x^{2}+1 \geq 1$ $\Rightarrow h_{2}(x) \in[1,+\infty[\\[.2cm]$ Inversement, soit $x \in[1,+\infty[$ on pose $y=\sqrt{x-1}\\$
Donc $x=y^{2}+1$ avec $y \in \mathbb{R}^{+}~\Rightarrow x \in h_{2}\left(\mathbb{R}^{+}\right) \\$
Par la suite, $h_{1}$ est croissante sur $[1,+\infty[\\$
Donc, $h$ est croissante sur $\mathbb{R}^{+}$
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