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Maths
Dérivation et étude des fonctions
2ème année bac Sciences Math A Mathématiques Dérivation et étude des fonctions fiche de cours
Dérivabilité des fonctions numériques
Dérivabilité d'une fonction en un point
تعريف
Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert $$\\ \left]a-r;a+r\right[$$ (r$$>$$0).
On dit que $$f$$ est dérivable en $$\textbf{a}$$ si la limite:
$$\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \quad$$ ou $$\quad \lim \limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}$$
existe et est finie. Cette limite est appelée nombre dérivé de $$f$$ en $$\textbf{a}$$ et est notée $f'(a)$.
Dérivabilité à droite
تعريف
Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert $$ \left]a;a+r\right[\\ $$ (r$$>$$0). $\\[0.2cm]$ On dit que $f$ est dérivable à droite de $$\textbf{a}$$ si et seulement si la limite:
$$\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\quad $$ ou $$\quad \lim\limits_{h\to 0^+} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}\\$$
existe et est finie. cette limite est appelée nombre dérivé de $$f$$ en $${a^+}$$ et est notée $$~{f'_d(a)}$$
Dérivabilité à gauche
تعريف
Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert $$\left]a-r;a\right[\\$$ (r$$>$$0). $\\[0.2cm]$ On dit que $$f$$ est dérivable à gauche de $${a}$$ si et seulement si la limite:
$$ \lim\limits_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \quad$$ ou $$\quad \lim\limits_{h\to 0^-} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}\\$$
existe et est finie. $$\\$$ cette limite est appelée nombre dérivé de $$f$$ en $${a^-}$$ et est notée $$~{f'_g(a)}$$
خاصية
Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre $${a}~$$: $$\\f$$ est dérivable en $${a}$$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche de $${a}~$$ et :
$${f'_g(a)}={f'_d(a)}$$
La vidéo suivante explique l'interprétation graphique d'une fonction en un point "à gauche et à droite" :
Et pour l'interprétation graphique de la non dérivabilité d'une fonction en un point "à gauche et à droite" :
Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle
خاصية
- Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur un intervalle $$I.\\$$ On dit que $$f$$ est dérivable sur $$I$$ si elle est dérivable en tout point $$x$$ de $$I$$
- On note $$f'$$ la fonction qui à tous $$x \in I$$ associe le nombre dérivé de $$f$$ en $$x$$. On l'appelle la fonction dérivée de $$f$$, et on écrit:
$$ f'(x)= \frac{df}{dx}$$
Opérations sur les fonctions dérivables
خاصية
Soient $$f$$ et $$g$$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $$I$$ et ($$ \alpha \in \mathbb{R}$$) , on a:
- $$(f+g)'=f'+g' \\[0.2cm]$$
- $$(\alpha f)'=\alpha f' \\[0.2cm]$$
- $$(f.g)'=f'.g+g'.f \\[0.2cm]$$
- $$(f^n)'=n.f'.f^{n-1} \\[0.2cm]$$
- Si la fonction $$g$$ ne s'annule pas sur $$I$$ alors: $$\\ (\frac{1}{g})'=-\frac{g'}{g^2}~~$$ et $$~~(\frac{f}{g})'=\frac{f'.g-g'.f}{g^2}\\[0.2cm]$$
- Si la fonction $$f$$ est strictement positive sur $$I$$ alors: $$(\sqrt{f})'=\frac{f'}{2\sqrt{f}}$$
Dérivation et continuité
نظرية
Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur un intervalle $$I$$ et $${a}$$ un $$\\$$élément de $$I$$.
- si $$f$$ est dérivable en $a$ alors elle est continue en $a$
- Si $$f$$ est dérivable sur l'intervalle $I$ alors elle est continue sur $I$ .
ما يجب معرفته
- $$f$$ continue en $${a}$$ n'implique pas que $f$ est dérivable en $a$ .
- $$f$$ est continue sur un intervalle $$I$$ n'implique pas que $$f$$ est dérivable $\\$ sur $$I$$
تطبيق
Soit $f$ une fonction définie par: $$\quad \forall x \in \mathbb{R}~~$$ $$f(x)=x $$
$$f$$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.
Dérivée de la fonction composée
نظرية
Soient $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $$I$$ et $$g$$ une fonction définie sur un intervalle $$J$$ tels que $$f(I)\subset J$$ et $$\textbf{a}$$ un élément de $$I$$.
- Si $f$ est dérivable en $$\textbf{a}~$$ et $$~g$$ dérivable en $$\textbf{b = f(a)} \\$$ alors: $$ g\circ f$$ est dérivable en $$\textbf{a}~$$ et $$~(\displaystyle g\circ f(a))' = f'(a) g'(f(a))\\[0.2cm]$$
- Si $$f$$ est dérivable sur $$I~$$ et $$~g$$ dérivable sur $$f(I) \\$$ alors: $$\displaystyle g\circ f$$ est dérivable sur $I~$ et $$~\textbf(\forall x\in I)$$ on a :
$$(\displaystyle g\circ f(x))'= f'(x).g'(f(x))$$
تطبيق
Soit $$f$$ une fonction numérique définie par: $$~h(x)=\sin(\sqrt{x+1})\\$$ On a : $$~h= g \circ f~$$ telle que
$$f:x \rightarrow \sqrt{x+1}~~$$ et $$~~g:x \rightarrow \sin(x)$$
La fonction $$f$$ est dérivable sur $$~]-1;+\infty[~$$ et $$~g~$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}\\$$ et on a $$~f(]-1;+\infty[) \subset \mathbb{R}\\$$ Par conséquent, la fonction $$h$$ est dérivable sur $$]-1;+\infty[$$ et on a:
$$\forall x \in ]-1;+\infty[$$ $$~~~h'(x)=f'(x).g'(f(x))=\frac{\cos(\sqrt{x+1})}{2\sqrt{x+1}}$$
La Fonction réciproque
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