1- On a $U_0=0$ et $U_{n+1}=\frac{2}{5} U_n+1$

Donc: $U_1=\frac{2}{5} U_0+1=1$

$U_2=\frac{2}{5} U_1+1=\frac{2}{5}+1=\frac{7}{5}$

2- Pour $n=0$, on $a: U_0=0$

Donc $U_0<\frac{5}{3}$

Supposons que $U_n<\frac{5}{3}$ et montrons que $U_{n+1}<\frac{5}{3}$

On a:

$\begin{aligned} U_{n+1}-\frac{5}{3} & =\frac{2}{5} U_n+1-\frac{5}{3} \\ & =\frac{2}{5} U_n-\frac{2}{3} \\ & =\frac{2}{5}\left(U_n-\frac{5}{3}\right)\end{aligned}$

Puisque $U_n<\frac{5}{3}$ alors $U_n-\frac{5}{3}<0$

et par la suite $U_{n+1}-\frac{5}{3}<0$

càd $U_{n+1}<\frac{5}{3}$

3-a- On a: $(\forall n \in \mathbb{N})$

$\begin{aligned} U_{n+1}-U_n & =\frac{2}{5} U_n+1-U_n \\ & =\left(\frac{2}{5}-1\right) U_n+1 \\ & =\left(\frac{2-5}{5}\right) U_n+1 \\ & =-\frac{3}{5} U_n+1 \\ & =-\frac{3}{5}\left(U_n-\frac{5}{3}\right) \quad(c q f d)\end{aligned}$

b- On a: $U_{n+1}-U_n=-\frac{3}{5}\left(U_n-\frac{5}{3}\right)$

et puisque: $U_n<\frac{5}{3}$ alors: $U_n-\frac{5}{3}<0$

et par la suite $\quad-\frac{5}{3}\left(U_n-\frac{5}{3}\right)>0$

Càd $\quad U_{n+1}-U_n>0$

D'où la suite $\left(U_n\right)_n$ est croissante.

* $\left(U_n\right)_n$ est croissante et majorée par $\frac{5}{3}$, donc elle est convergente.

4-a- On a: $(\forall n \in \mathbb{N}) ; V_n=U_n-\frac{5}{3}$

Donc: $\quad V_0=U_0-\frac{5}{3}=0-\frac{5}{3}=-\frac{5}{3}$

b- On a: $(\forall n \in \mathbb{N}) ; V_n=U_n-\frac{5}{3}$

Donc: $V_{n+1}=U_{n+1}-\frac{5}{3}=\frac{2}{5}\left(U_n-\frac{5}{3}\right)=\frac{2}{5} V_n$

D'où la suite $\left(V_n\right)_n$ est géométrique de raison $q=\frac{2}{5}$

c-* $\quad V_n=V_0 \cdot q^n=-\frac{5}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^n$

*On a: $(\forall n \in \mathbb{N}) ; V_n=U_n-\frac{5}{3}$

Donc: $\quad(\forall n \in \mathbb{N}) ; U_n=V_n+\frac{5}{3}$

D'où: $\quad(\forall n \in \mathbb{N}) ; U_n=-\frac{5}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^n+\frac{5}{3}$

d- On a: $\quad U_n=-\frac{5}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^n+\frac{5}{3}$

et puisque : $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^n=0$

car: $\quad-1<\frac{2}{5}<1$

alors: $\lim _{n \rightarrow+\infty} U_n=\frac{5}{3}$